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  • 2021-06-30 发布

2018~2019学年度第二学期期中三校联考高二数学(理科)

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1 2018~2019 学年度第二学期期中三校联考高二数 学(理科) 说明:本试卷共 页, 小题,满分 分,考试用时 分钟。 一、选择题(每小题 分): 1.已知 ,其中 为虚数单位,则 ( ) A. B. C. D. 2.若函数 在 时取得极值,则 ( ) A. B. C. D. 3.已知 , 是 的导函数,则 ( ) A. B. C. D. 4.若函数 , 为常数,则 ( ) A. B. C. D. 5.我们知道:在平面内,点 到直线 的距离公式为 。通过 类比的方法,可求得在空间中,点 到平面 的距离为( ) A. B. C. D. 6.已知函数 , ,下列结论中正确的是( ) A.函数 有极小值 B.函数 有极大值 C.函数 有一个零点 D.函数 没有零点 7.如图,下有七张卡片,现这样组成一个三位数:甲从这七张卡片中随机抽出一张,把卡片上的数字 写在百位,然后把卡片放回;乙再从这七张卡片中随机抽出一张,把卡片上的数字写在十位,然后 把卡片放回;丙又从这七张卡片中随机抽出一张,把卡片上的数字写在个位,然后把卡片放回。 则这样组成的三位数的个数为( ) A. B. C. D. 4 22 150 120 5 2a i b ii + = + ( , )a b R∈ i a b− = 3− 2− 1− 1 3 2( ) 3 9f x x ax x= + + − 3x = − a = 2 3 4 5 ( ) x xf x e e−= − '( )f x ( )f x ' (2)f = 0 2 2e e−+ 2 2e e−− 1 ( ) sin cosf x xα= − α '( )f α = sinα sinα− sin cosα α+ 2sinα 0 0( , )x y 0Ax By C+ + = 2 2 | |Ax By Cd A B + += + (2, 4,1) 2 2 3 0x y z+ + + = 3 5 5 21 7 3 5 ( ) xf x e x= − 0x > ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x 21 48 64 81 2 3111 2 4 2 8. 改革开放以来,中国经济飞速发展,科学技术突飞猛进。高铁、核电、桥梁、激光、 通信、人工 智能、航空航天、移动支付、量子通讯、特高压输电等许多技术都领先于世界。厉害了,我的国! 把“厉害了我的国”这六个字随机地排成一排,其中“厉”、“害”这两个字必须相邻(可以交换顺 序),“了”、“的”这两个助词不能相邻,则不同排法的种数为( )。 A. B. C. D. 9. 现有命题“ , ”,不知真假。请你用 数学归纳法去探究,此命题的真假情况为( ) A.不能用数学归纳法去判断真假 B.一定为真命题 C.加上条件 后才是真命题,否则为假 D.存在一个很大常数 ,当 时,命题为假 10.王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁,他们都特别擅长短跑,在某次运动会上,他们四人 要组成一个 米接力队,王老师要安排他们四个人的出场顺序,以下是他们四人的对话。 甲:我不跑第一棒和第二棒;乙:我不跑第一棒和第四棒; 丙:我也不跑第一棒和第四棒;丁:如果乙不跑第二棒,我就不跑第一棒。 王老师听了他们四人的对话,安排了一种合理的出场顺序,满足了他们的所有要求,据此我们可以 断定,在王老师安排的出场顺序中,跑第三棒的人是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 11.如图, 为可导函数,直线 是 曲线 在 处的切线,令 , 是 的导函数,则 ( ) A. B. C. D. 12.过坐标原点 作曲线 的切线 ,则曲线 、直线 与 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A. B. C. D. 二.填空题: 13. 定积分 。 14.已知函数 ,则 的单调递增区间为 。 5G 72 108 144 288 1 11 11 2 3 4 5 6 ( 1) ( 1) ( )4 4 2 n n nn+ +− + − + − + + − = + − + n N+∈ 9n ≤ m n m> 4 100× ( )y f x= : 2l y kx= + ( )y f x= 3x = ( ) ( )g x xf x= '( )g x ( )g x '(3)g = 1− 0 2 4 O :C xy e= l C l y 12 e − 1e − 2e − 2 e 1 0 (3 ) _____________xx e dx+ =∫ 2( ) 5 2ln 2f x x x x= − + ( )f x ______________________ 3 15.已知: , , , 根据以上等式,可猜想出的一般结论是 。 16.函数 在 上有两个极值点,则实数 的取值范围是 。 三.解答题: 17.(满分 分)已知 为实数,设复数 。 (1)当复数 为纯虚数时,求 的值; (2)当复数 对应的点在直线 的下方,求 的取值范围。 18.(满分 分)已知函数 。 (1)求曲线 在点 处的切线方程; (2)求函数 在区间 上的值域。 19.(满分 分)设函数 。 (1)求 在区间 的最值; (2)若 有且只有两个零点,求 的值。 1cos 3 2 π = 2 1cos cos5 5 4 π π = 2 3 1cos cos cos7 7 7 8 π π π =  ___________________________________________ 2( ) xf x e ax= − (0, )+∞ a __________________ 10 m 2 2( 5 6) ( 2 15)z m m m m i= + + + − − z m z 7 0x y− + = m 12 ( ) cosxf x e x= ( )y f x= (0, (0))f ( )f x [0, ]2 π 12 3 2( ) 6 9f x x x x a= − + + ( )f x [ 2,2]x∈ − ( )f x a 4 20.(满分 分)下面图形都是由小正三角形构成的,设第 个图形中的黑点总数为 。 (1)写出 , , , 的值; (2)归纳出 与 的关系(不用证明),并求出 的表达式。 21.(满分 分)“既要金山银山,又要绿水青山”。某风景区在一个直径 为 米的半圆形花圆中 设计一条观光线路。打算在半圆弧上任选一点 (与 不重合),沿 修一条直线段小路,在路 的两侧(注意是两侧)种植绿化带;再沿弧 修一条弧形小路,在小路的一侧(注意是一侧)种植 绿化带,小路与绿化带的宽度忽略不计。 (1)设 (弧度),将绿化带的总长度表示为 的函数 ; (2)求绿化带的总长度 的最大值。 22.(满分 12 分)已知函数 , 。 (1)讨论函数 的单调性; (2)若函数 有极小值,求该极小值的取值范围。 12 n ( )f n ( )n N+∈ (2)f (3)f (4)f (5)f ( 1)f n + ( )f n ( )f n 12 AB 100 C ,A B AC BC BAC θ∠ = θ ( )f θ ( )f θ 2( ) 2 ln 2f x x m x m= − − m R∈ ( )f x ( )f x ① ② ③ ④  5 2018~2019 学年度第二学期期中三校联考 高二数学(理科)答案 13. 14. 15. 16. 17.解:①由题意得: ,解之得 ,所以, 。------- 分 ②复数 对应的点的坐标为 , 直线 的下方的点的坐标 应满足 , 即: , 解之得 ,所以 的取值范围为 。---------------------- 分。 18.解:(1)因为 ,所以切点为 ; 又因为 ,所以 ,即切线斜率 。 所以切线方程为: 。 即 在点 处的切线方程为 。---------------------6 分 (2)令 ,因为 ,所以 。 当 时, , 单调递增;当 时, , 单调递减; 所以 ; 又因为 , ,所以 ; 所以 在 上的值域为 。--------------------------------------12 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B A B D C C B C B A 1 2 e+ 1(0, ), (2, )2 +∞ 2 1cos cos cos ( ) ,2 1 2 1 2 1 2 nn n Nn n n π π π +• • • = ∈+ + + ( , )2 e +∞ 2 2 5 6 0 2 15 0 m m m m  + + = − − ≠ 2 3 5 3 x x x x = − = −  ≠ − ≠ − 或 且 2m = − 5 z 2 2( 5 6, 2 15)m m m m+ + − − 7 0x y− + = ( , )x y 7 0x y− + > 2 2( 5 6) ( 2 15) 7 0m m m m+ + − − − + > 4m > − m ( 4, )− + ∞ 10 0(0) cos0 1f e= = (0,1) '( ) cos sin (cos sin )x x xf x e x e x e x x= − = − '(0) 1f = 1k = 1y x= + ( )y f x= (0, (0))f 1 0x y− + = '( ) (cos sin ) 0xf x e x x= − = [0, ]2x π∈ 4x π= [0, ]4x π∈ '( ) 0f x > ( )f x [ , ]4 2x π π∈ '( ) 0f x < ( )f x 4 4 max 2( ) ( ) cos4 4 2f x f e e π ππ π= = = (0) 1f = ( ) 02f π = min( ) 0f x = ( )f x [0, ]2 π 42[0, ]2 e π 6 19.解:① ,令 可得: 或 (舍去) 因为 , , , 所以 , 。----------------------------6 分 ②令 ,可得 。 设 ,则 , 令 ,得 或 ,列表如下: 递减 有极小值 递增 有极大值 递减 所以 的大致图象如下: 要使 有且只有两个零点, 只需直线 与 的图象有两个不同交点, 所以 或 。------------------------12 分 2'( ) 3 12 9f x x x= − + '( ) 0f x = 1x = 3x = (1) 4f a= + ( 2) 50f a− = − + (2) 2f a= + min( ) 50f x a= − + max( ) 4f x a= + 3 2( ) 6 9 0f x x x x a= − + + = 3 26 9a x x x= − + − 3 2( ) 6 9g x x x x= − + − 2'( ) 3 12 9g x x x= − + − '( ) 0g x = 1x = 3x = x ( ,1)−∞ 1 (1,3) 3 (3, )+∞ '( )f x − 0 + 0 − ( )f x 4− 0 ( )g x 3 26 9a x x x= − + − y a= ( )g x 4a = − 0a = 7 20.解:(1) , , , ; ---------------------------4 分 (2)因为 ; ; ; ; 观察猜想: 是一个首项为 公差为 的等差数列, 即 。 因为 ; ; ; ; ; 把上述式子累加可得到: ; 又因为 ,所以 。-------------------------------------------------12 分 21.解:(1)设圆心为 ,连结 。 在直角 中, , 的弧长 ; 所以 ,其中 。--------------------------6 分 (2) , , 令 ,可得 ,所以 。 当 时, , 单调递增; 当 时, , 单调递减; 所以 。 所以绿化带的总长度 的最大值为 米。------------------------12 分 (2) 12f = (3) 27f = (4) 48f = (5) 75f = (2) (1) 9f f− = (3) (2) 15f f− = (4) (3) 21f f− = (5) (4) 27f f− = ( 1) ( )f n f n+ − 9 6 ( 1) ( ) 9 ( 1) 6 6 3f n f n n n+ − = + − × = + (2) (1) 9f f− = (3) (2) 15f f− = (4) (3) 21f f− = (5) (4) 27f f− =  ( ) ( 1) 6 3f n f n n− − = − 2(9 6 3) ( 1)( ) (1) 3 32 n nf n f n + − −− = = − (1) 3f = 2( ) 3f n n= O ,OC BC ABC∆ cos 100cosAC AB θ θ= = BC 50 2 100θ θ= × = ( ) 200cos 100f θ θ θ= + (0, )2 πθ ∈ '( ) 200sin 100f θ θ= − + (0, )2 πθ ∈ '( ) 0f θ = 1sin 2 θ = 6 πθ = (0, )6 πθ ∈ '( ) 0f θ > ( )f θ ( , )6 2 π πθ ∈ '( ) 0f θ < ( )f θ max 3 50( ) ( ) 200 100 100 36 2 6 3f f π π πθ = = × + × = + ( )f θ 50100 3 3 π+ 8 22.解:(1)函数 的定义域为 , , 讨论:①当 时, 恒成立,函数 在 上单调递增; ②当 时,令 得 , 当 时, , 单调递减; 当 时, , 单调递增; 综上所述:当 时,函数 在 上单调递增; 当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增。-------6 分 (2)①当 时, 恒成立,函数 在 上单调递增,没有极值; ②当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增。 所以 的极小值为 ,其中 。 记 , 则 , 令 得 , 且 时, ,函数 单调递增; 当 时, ,函数 单调递减; 所以 ; 所以函数 的极小值的取值范围是 。----------------------12 分 ( )f x (0, )+∞ 2'( ) 2 mf x x x = − 0m ≤ '( ) 0f x > ( )f x (0, )+∞ 0m > '( ) 0f x = x m= 0 x m< < '( ) 0f x < ( )f x x m> '( ) 0f x > ( )f x 0m ≤ ( )f x (0, )+∞ 0m > ( )f x (0, )m ( , )m +∞ 0m ≤ '( ) 0f x > ( )f x (0, )+∞ 0m > ( )f x (0, )m ( , )m +∞ ( )f x ( ) (ln 1)f m m m= − + 0m > ( ) (ln 1) , 0h m m m m= − + > '( ) 2 lnh m m= − − '( ) 0h m = 2m e−= 20 m e−< < '( ) 0h m > ( )h m 2m e−> '( ) 0h m < ( )h m 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ln )h m h e e e e e− − − − −≤ = − + = ( )f x 2( , ]e−−∞