2018～2019学年度第二学期期中三校联考高二数学（理科） 8页

1 2018～2019 学年度第二学期期中三校联考高二数 学（理科） 说明：本试卷共 页， 小题，满分 分，考试用时 分钟。 一、选择题（每小题 分）： 1．已知 ，其中 为虚数单位，则 （ ） A． B． C． D． 2．若函数 在 时取得极值，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知 ， 是 的导函数，则 （ ） A． B． C． D． 4．若函数 ， 为常数，则 （ ） A． B． C． D． 5．我们知道：在平面内，点 到直线 的距离公式为 。通过 类比的方法，可求得在空间中，点 到平面 的距离为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数 ， ，下列结论中正确的是（ ） A．函数 有极小值 B．函数 有极大值 C．函数 有一个零点 D．函数 没有零点 7．如图，下有七张卡片，现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字 写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后 把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回。 则这样组成的三位数的个数为（ ） A． B． C． D． 4 22 150 120 5 2a i b ii + = + ( , )a b R∈ i a b− = 3− 2− 1− 1 3 2( ) 3 9f x x ax x= + + − 3x = − a = 2 3 4 5 ( ) x xf x e e−= − '( )f x ( )f x ' (2)f = 0 2 2e e−+ 2 2e e−− 1 ( ) sin cosf x xα= − α '( )f α = sinα sinα− sin cosα α+ 2sinα 0 0( , )x y 0Ax By C+ + = 2 2 | |Ax By Cd A B + += + (2, 4,1) 2 2 3 0x y z+ + + = 3 5 5 21 7 3 5 ( ) xf x e x= − 0x > ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x 21 48 64 81 2 3111 2 4 2 8． 改革开放以来，中国经济飞速发展，科学技术突飞猛进。高铁、核电、桥梁、激光、 通信、人工 智能、航空航天、移动支付、量子通讯、特高压输电等许多技术都领先于世界。厉害了，我的国！ 把“厉害了我的国”这六个字随机地排成一排，其中“厉”、“害”这两个字必须相邻（可以交换顺 序），“了”、“的”这两个助词不能相邻，则不同排法的种数为（ ）。 A． B． C． D． 9． 现有命题“ ， ”，不知真假。请你用 数学归纳法去探究，此命题的真假情况为（ ） A．不能用数学归纳法去判断真假 B．一定为真命题 C．加上条件 后才是真命题，否则为假 D．存在一个很大常数 ，当 时，命题为假 10．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人 要组成一个 米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话。 甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒； 丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒。 王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以 断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．如图， 为可导函数，直线 是 曲线 在 处的切线，令 ， 是 的导函数，则 （ ） A. B． C． D． 12．过坐标原点 作曲线 的切线 ，则曲线 、直线 与 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A． B． C． D． 二．填空题： 13. 定积分 。 14．已知函数 ，则 的单调递增区间为 。 5G 72 108 144 288 1 11 11 2 3 4 5 6 ( 1) ( 1) ( )4 4 2 n n nn+ +− + − + − + + − = + − + n N+∈ 9n ≤ m n m> 4 100× ( )y f x= : 2l y kx= + ( )y f x= 3x = ( ) ( )g x xf x= '( )g x ( )g x '(3)g = 1− 0 2 4 O :C xy e= l C l y 12 e − 1e − 2e − 2 e 1 0 (3 ) _____________xx e dx+ =∫ 2( ) 5 2ln 2f x x x x= − + ( )f x ______________________ 3 15．已知： ， ， ， 根据以上等式，可猜想出的一般结论是 。 16．函数 在 上有两个极值点，则实数 的取值范围是 。 三．解答题： 17．（满分 分）已知 为实数，设复数 。 （1）当复数 为纯虚数时，求 的值； （2）当复数 对应的点在直线 的下方，求 的取值范围。 18．（满分 分）已知函数 。 （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求函数 在区间 上的值域。 19．（满分 分）设函数 。 （1）求 在区间 的最值； （2）若 有且只有两个零点，求 的值。 1cos 3 2 π = 2 1cos cos5 5 4 π π = 2 3 1cos cos cos7 7 7 8 π π π =  ___________________________________________ 2( ) xf x e ax= − (0, )+∞ a __________________ 10 m 2 2( 5 6) ( 2 15)z m m m m i= + + + − − z m z 7 0x y− + = m 12 ( ) cosxf x e x= ( )y f x= (0, (0))f ( )f x [0, ]2 π 12 3 2( ) 6 9f x x x x a= − + + ( )f x [ 2,2]x∈ − ( )f x a 4 20．（满分 分）下面图形都是由小正三角形构成的，设第 个图形中的黑点总数为 。 （1）写出 ， ， ， 的值； （2）归纳出 与 的关系（不用证明），并求出 的表达式。 21．（满分 分）“既要金山银山，又要绿水青山”。某风景区在一个直径 为 米的半圆形花圆中 设计一条观光线路。打算在半圆弧上任选一点 （与 不重合），沿 修一条直线段小路，在路 的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再沿弧 修一条弧形小路，在小路的一侧（注意是一侧）种植 绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计。 （1）设 （弧度），将绿化带的总长度表示为 的函数 ； （2）求绿化带的总长度 的最大值。 22．（满分 12 分）已知函数 ， 。 （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 有极小值，求该极小值的取值范围。 12 n ( )f n ( )n N+∈ (2)f (3)f (4)f (5)f ( 1)f n + ( )f n ( )f n 12 AB 100 C ,A B AC BC BAC θ∠ = θ ( )f θ ( )f θ 2( ) 2 ln 2f x x m x m= − − m R∈ ( )f x ( )f x ① ② ③ ④  5 2018～2019 学年度第二学期期中三校联考 高二数学（理科）答案 13． 14． 15． 16． 17．解：①由题意得： ，解之得 ，所以， 。------- 分 ②复数 对应的点的坐标为 ， 直线 的下方的点的坐标 应满足 ， 即： ， 解之得 ，所以 的取值范围为 。---------------------- 分。 18．解：（1）因为 ，所以切点为 ； 又因为 ，所以 ，即切线斜率 。 所以切线方程为： 。 即 在点 处的切线方程为 。---------------------6 分 （2）令 ，因为 ，所以 。 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减； 所以 ； 又因为 ， ，所以 ； 所以 在 上的值域为 。--------------------------------------12 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B A B D C C B C B A 1 2 e+ 1(0, ), (2, )2 +∞ 2 1cos cos cos ( ) ,2 1 2 1 2 1 2 nn n Nn n n π π π +• • • = ∈+ + + ( , )2 e +∞ 2 2 5 6 0 2 15 0 m m m m  + + = − − ≠ 2 3 5 3 x x x x = − = −  ≠ − ≠ − 或 且 2m = − 5 z 2 2( 5 6, 2 15)m m m m+ + − − 7 0x y− + = ( , )x y 7 0x y− + > 2 2( 5 6) ( 2 15) 7 0m m m m+ + − − − + > 4m > − m ( 4, )− + ∞ 10 0(0) cos0 1f e= = (0,1) '( ) cos sin (cos sin )x x xf x e x e x e x x= − = − '(0) 1f = 1k = 1y x= + ( )y f x= (0, (0))f 1 0x y− + = '( ) (cos sin ) 0xf x e x x= − = [0, ]2x π∈ 4x π= [0, ]4x π∈ '( ) 0f x > ( )f x [ , ]4 2x π π∈ '( ) 0f x < ( )f x 4 4 max 2( ) ( ) cos4 4 2f x f e e π ππ π= = = (0) 1f = ( ) 02f π = min( ) 0f x = ( )f x [0, ]2 π 42[0, ]2 e π 6 19．解：① ，令 可得： 或 （舍去） 因为 ， ， ， 所以 ， 。----------------------------6 分 ②令 ，可得 。 设 ，则 ， 令 ，得 或 ，列表如下： 递减 有极小值 递增 有极大值 递减 所以 的大致图象如下： 要使 有且只有两个零点， 只需直线 与 的图象有两个不同交点， 所以 或 。------------------------12 分 2'( ) 3 12 9f x x x= − + '( ) 0f x = 1x = 3x = (1) 4f a= + ( 2) 50f a− = − + (2) 2f a= + min( ) 50f x a= − + max( ) 4f x a= + 3 2( ) 6 9 0f x x x x a= − + + = 3 26 9a x x x= − + − 3 2( ) 6 9g x x x x= − + − 2'( ) 3 12 9g x x x= − + − '( ) 0g x = 1x = 3x = x ( ,1)−∞ 1 (1,3) 3 (3, )+∞ '( )f x − 0 + 0 − ( )f x 4− 0 ( )g x 3 26 9a x x x= − + − y a= ( )g x 4a = − 0a = 7 20．解：（1） ， ， ， ； ---------------------------4 分 （2）因为 ； ； ； ； 观察猜想： 是一个首项为 公差为 的等差数列， 即 。 因为 ； ； ； ； ； 把上述式子累加可得到： ； 又因为 ，所以 。-------------------------------------------------12 分 21．解：（1）设圆心为 ，连结 。 在直角 中， ， 的弧长 ； 所以 ，其中 。--------------------------6 分 （2） ， ， 令 ，可得 ，所以 。 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 所以 。 所以绿化带的总长度 的最大值为 米。------------------------12 分 (2) 12f = (3) 27f = (4) 48f = (5) 75f = (2) (1) 9f f− = (3) (2) 15f f− = (4) (3) 21f f− = (5) (4) 27f f− = ( 1) ( )f n f n+ − 9 6 ( 1) ( ) 9 ( 1) 6 6 3f n f n n n+ − = + − × = + (2) (1) 9f f− = (3) (2) 15f f− = (4) (3) 21f f− = (5) (4) 27f f− =  ( ) ( 1) 6 3f n f n n− − = − 2(9 6 3) ( 1)( ) (1) 3 32 n nf n f n + − −− = = − (1) 3f = 2( ) 3f n n= O ,OC BC ABC∆ cos 100cosAC AB θ θ= = BC 50 2 100θ θ= × = ( ) 200cos 100f θ θ θ= + (0, )2 πθ ∈ '( ) 200sin 100f θ θ= − + (0, )2 πθ ∈ '( ) 0f θ = 1sin 2 θ = 6 πθ = (0, )6 πθ ∈ '( ) 0f θ > ( )f θ ( , )6 2 π πθ ∈ '( ) 0f θ < ( )f θ max 3 50( ) ( ) 200 100 100 36 2 6 3f f π π πθ = = × + × = + ( )f θ 50100 3 3 π+ 8 22．解：（1）函数 的定义域为 ， ， 讨论：①当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增； ②当 时，令 得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 综上所述：当 时，函数 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。-------6 分 （2）①当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增，没有极值； ②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。 所以 的极小值为 ，其中 。 记 ， 则 ， 令 得 ， 且 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减； 所以 ； 所以函数 的极小值的取值范围是 。----------------------12 分 ( )f x (0, )+∞ 2'( ) 2 mf x x x = − 0m ≤ '( ) 0f x > ( )f x (0, )+∞ 0m > '( ) 0f x = x m= 0 x m< < '( ) 0f x < ( )f x x m> '( ) 0f x > ( )f x 0m ≤ ( )f x (0, )+∞ 0m > ( )f x (0, )m ( , )m +∞ 0m ≤ '( ) 0f x > ( )f x (0, )+∞ 0m > ( )f x (0, )m ( , )m +∞ ( )f x ( ) (ln 1)f m m m= − + 0m > ( ) (ln 1) , 0h m m m m= − + > '( ) 2 lnh m m= − − '( ) 0h m = 2m e−= 20 m e−< < '( ) 0h m > ( )h m 2m e−> '( ) 0h m < ( )h m 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ln )h m h e e e e e− − − − −≤ = − + = ( )f x 2( , ]e−−∞