高考理数　平面向量的数量积及其应用 61页

§ 5 . 2 平面向量的数量积及其应用 高考理数 (课标 Ⅱ 专用 ) 考点一    数量积的定义及长度、角度问题 1.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量   =   ,   =   ,则∠ ABC =   (　　) A.30 ° 　    B.45 ° 　    C.60 ° 　    D.120 ° 答案    A    cos∠ ABC =   =   ,所以∠ ABC =30 ° ,故选A. 五年高考 A组 统一命题·课标卷题组 思路分析    因为∠ ABC =<   ,   >,因此利用夹角公式求解. 易错警示　向量的夹角公式中,向量的方向容易忽视而导致错误. 2.(2014课标全国Ⅱ,3,5分,0.749)设向量 a , b 满足| a + b |=   ,| a - b |=   ,则 a · b =   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.5 答案    A　由| a + b |=   得 a 2 + b 2 +2 a · b =10,   ① 由| a - b |=   得 a 2 + b 2 -2 a · b =6,   ② ①-②得4 a · b =4,∴ a · b =1,故选A. 思路分析    把已知条件中的两等式平方后相减求解即可. 解题关键    通过“平方”的运算技巧整体运算是求解的关键所在. 3.(2014大纲全国,4,5分)若向量 a 、 b 满足:| a |=1,( a + b )⊥ a ,(2 a + b )⊥ b ,则| b |=   (　　) A.2　    B.   　    C.1　    D.   答案    B　由题意得   ⇒ -2 a 2 + b 2 =0,即-2| a | 2 +| b | 2 =0,又| a |=1,∴| b |=   .故 选B. 思路分析    由向量垂直的充要条件得方程组求解. 解题关键    掌握向量垂直的充要条件是求解关键. 4.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量 a , b 的夹角为60 ° ,| a |=2,| b |=1,则| a +2 b |= 　　　     . 答案　2   解析　本题考查向量数量积的计算. 由题意知 a · b =| a |·| b |cos 60 ° =2 × 1 ×   =1,则| a +2 b | 2 =( a +2 b ) 2 =| a | 2 +4| b | 2 +4 a · b =4+4+4=12. 所以| a +2 b |=2   . 考点二    数量积的综合应用 1.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量 a , b 满足| a |=1, a · b =-1,则 a ·(2 a - b )=   (　　) A.4　    B.3　    C.2　    D.0 答案    B　本题考查平面向量的运算. 因为| a |=1, a · b =-1,所以 a ·(2 a - b )=2| a | 2 - a · b =2 × 1 2 -(-1)=3.故选B. 解题关键　掌握向量的运算是解题关键. 2.(2017课标全国Ⅱ,12,5分)已知△ ABC 是边长为2的等边三角形, P 为平面 ABC 内一点,则   · (   +   )的最小值是   (　　) A.-2　    B.-   　    C.-   　    D.-1 答案    B　设 BC 的中点为 D , AD 的中点为 E ,则有   +   =2   , 则   ·(   +   )=2   ·   =2(   +   )·(   -   ) =2(   -   ). 而   =   =   , 当 P 与 E 重合时,   有最小值0,故此时   ·(   +   )取最小值, 最小值为-2   =-2 ×   =-   . 方法总结　在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用   ·   =   -   可快 速求出最值. 一题多解　以 AB 所在直线为 x 轴, AB 的中点为原点建立平面直角坐标系,如图, 则 A (-1,0), B (1,0), C (0,   ),设 P ( x , y ),取 BC 的中点 D ,则 D   .   ·(   +   )=2   ·   =2(-1- x ,- y ) ·   =2   =2   . 因此,当 x =-   , y =   时,   ·(   +   )取得最小值,为2 ×   =-   ,故选B. 3.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量 a =( m ,1), b =(1,2),且| a + b | 2 =| a | 2 +| b | 2 ,则 m = 　　　     . 答案　-2 解析　由| a + b | 2 =| a | 2 +| b | 2 ,知 a ⊥ b ,∴ a · b = m +2=0,∴ m =-2. 思路分析    由| a + b |=| a | 2 +| b | 2 可知 a · b =0,即 a ⊥ b .可利用向量垂直的充要条件求解. 解题关键    由已知条件得到 a 与 b 垂直是本题求解的关键. 易错警示　把两向量平行与垂直的充要条件混淆,导致错误. 考点一    数量积的定义及长度、角度问题 1.(2014重庆,4,5分)已知向量 a =( k ,3), b =(1,4), c =(2,1),且(2 a -3 b )⊥ c ,则实数 k =   (　　) A.-   　    B.0　    C.3　    D.   B 组 自主命题 · 省（区、市）卷题 组 答案    C　2 a -3 b =(2 k -3,-6),由(2 a -3 b )⊥ c ,得4 k -6-6=0,解得 k =3.选C. 2.(2016山东,8,5分)已知非零向量 m , n 满足4| m |=3| n |,cos< m , n >=   .若 n ⊥( tm + n ),则实数 t 的值为   (　　) A.4　    B.-4　    C.   　    D.-   答案    B　因为 n ⊥( tm + n ),所以 tm · n + n 2 =0,所以 m · n =-   ,又4| m |=3| n |,所以cos< m , n >=   =   =-   =   ,所以t=-4.故选B. 3.(2015重庆,6,5分)若非零向量 a , b 满足| a |=   | b |,且( a - b )⊥(3 a +2 b ),则 a 与 b 的夹角为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.π 答案    A　∵( a - b )⊥(3 a +2 b ),∴( a - b )·(3 a +2 b )=0 ⇒ 3| a | 2 - a · b -2| b | 2 =0 ⇒ 3| a | 2 -| a |·| b |·cos< a , b >-2| b | 2 =0. 又∵| a |=   | b |,∴   | b | 2 -   | b | 2 ·cos< a , b >-2| b | 2 =0.∴cos< a , b >=   .∵< a , b >∈[0,π], ∴< a , b >=   .选A. 4.(2015四川,7,5分)设四边形 ABCD 为平行四边形,|   |=6,|   |=4.若点 M , N 满足   =3   ,   = 2   ,则   ·   =   (　　) A.20　    B.15　    C.9　    D.6 答案    C　依题意有   =   +   =   +     ,   =   +   =     -     =     -     ,所以   ·   =   ·   =     -     =9.故选C. 5.(2015福建,9,5分)已知   ⊥   ,|   |=   ,|   |= t .若点 P 是△ ABC 所在平面内的一点,且   =   +   ,则   ·   的最大值等于   (　　) A.13　    B.15　    C.19　    D.21 答案    A　以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, AC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 B   ( t > 0), C (0, t ), P (1,4),   ·   =   ·(-1, t -4)=17-   ≤ 17-2 × 2=13   ,故   ·   的最大值为13,故选A. 6.(2017山东,12,5分)已知 e 1 , e 2 是互相垂直的单位向量.若   e 1 - e 2 与 e 1 + λe 2 的夹角为60 ° ,则实数 λ 的值是 　　　     . 答案       解析　本题考查向量的坐标运算和向量的夹角公式. 由题意不妨设 e 1 =(1,0), e 2 =(0,1),则   e 1 - e 2 =(   ,-1), e 1 + λe 2 =(1, λ ).根据向量的夹角公式得cos 60 ° =   =   =   ,所以   - λ =   ,解得 λ =   . 疑难突破　根据“ e 1 , e 2 是互相垂直的单位向量”将原问题转化为向量的坐标运算是解决本题 的突破口. 易错警示　对向量的夹角公式掌握不牢而致错. 7.(2017浙江,15,5分)已知向量 a , b 满足| a |=1,| b |=2,则| a + b |+| a - b |的最小值是 　　　     ,最大值是      　　     . 答案　4;2   解析　本题考查向量的线性运算、坐标运算,向量的长度,向量的几何意义,向量绝对值不等 式,利用基本不等式求最值,利用三角代换求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力. 解法一:∵| a + b |+| a - b | ≥ |( a + b )+( a - b )|=2| a |=2, 且| a + b |+| a - b | ≥ |( a + b )-( a - b )|=2| b |=4, ∴| a + b |+| a - b | ≥ 4,当且仅当 a + b 与 a - b 反向时取等号,此时| a + b |+| a - b |取最小值4. ∵   ≤   =   =   , ∴| a + b |+| a - b | ≤ 2   . 当且仅当| a + b |=| a - b |时取等号,此时 a · b =0. 故当 a ⊥ b 时,| a + b |+| a - b |有最大值2   . 解法二:设 b =(2,0), a =( x , y ),则 x 2 + y 2 =1. 则| a + b |+| a - b |=   +   =   +   =   +   =   =   , ∵0 ≤ x 2 ≤ 1,故当 x =0,即 a ⊥ b 时, | a + b |+| a - b |有最大值2   , 当 x 2 =1,即 a ∥ b 时,| a + b |+| a - b |有最小值4. 考点二    数量积的综合应用 1.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形 ABCD 中, AB ⊥ BC , AD ⊥ CD ,∠ BAD =120 ° , AB = AD =1.若 点 E 为边 CD 上的动点,则   ·   的最小值为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.3 答案    A　本题主要考查数量积的综合应用. 解法一:如图,以 D 为原点, DA 所在直线为 x 轴, DC 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 A (1,0), B   , C (0,   ),令 E (0, t ), t ∈[0,   ],∴   ·   =(-1, t )·   = t 2 -   t +   ,∵ t ∈[0,   ],∴当 t =-   =   时,   ·   取得最小值,(   ·   ) min =   -   ×   +   =   .故选A. 解法二:令   = λ   (0 ≤ λ ≤ 1),由已知可得 DC =   , ∵   =   + λ   ,∴   =   +   =   +   + λ   , ∴   ·   =(   + λ   )·(   +   + λ   ) =   ·   +|   | 2 + λ   ·   + λ 2 |   | 2 =3 λ 2 -   λ +   . 当 λ =-   =   时,   ·   取得最小值   .故选A. 方法总结　向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可 用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算. 2.(2016天津,7,5分)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形,点 D , E 分别是边 AB , BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F ,使得 DE =2 EF ,则   ·   的值为   (　　) A.-   　    B.   C.   　    D.   答案    B　建立平面直角坐标系,如图. 则 B   , C   , A   ,所以   =(1,0). 易知 DE =   AC ,则 EF =   AC =   , 因为∠ FEC =60 ° ,所以点 F 的坐标为   , 所以   =   , 所以   ·   =   ·(1,0)=   .故选B. 3.(2014四川,7,5分)平面向量 a =(1,2), b =(4,2), c = ma + b ( m ∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m =   (　　) A.-2　    B.-1 C.1　    D.2 答案    D　解法一:由 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,可设 c = λ   =   a +   b ( λ ∈R), ∵ c = ma + b ,∴   ⇒ m =2. 解法二: c = ma + b =( m +4,2 m +2),∵ c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,且向量夹角的取值范围是[0,π],∴   =   ,∴2( a · c )= b · c ⇒ 2( m +4+4 m +4)=4 m +16+4 m +4 ⇒ m =2. 4.(2014天津,8,5分)已知菱形 ABCD 的边长为2,∠ BAD =120 ° ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上, BE = λBC , DF = μDC .若   ·   =1,   ·   =-   ,则 λ + μ =   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.   答案    C　以   ,   为基向量,则   ·   =(   + λ   )·(   + μ   )= μ   + λ   +(1+ λμ )   ·   =4( μ + λ )-2(1+ λμ )=1①.   ·   =( λ -1)   ·( μ -1)   =-2( λ -1)( μ -1)=-   ②,由①②可得 λ + μ =   . 5.(2015安徽,8,5分)△ ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量 a , b 满足   =2 a ,   =2 a + b ,则下列 结论正确的是   (　　) A.| b |=1　    B. a ⊥ b C. a · b =1　    D.(4 a + b )⊥   答案    D　∵ b =   -   =   ,∴| b |=|   |=2,故A错;∵   ·   =2 × 2 × cos 60 ° =2,即-2 a · b =2,∴ a · b =- 1,故B、C都错;∵(4 a + b )·   =(4 a + b )· b =4 a · b + b 2 =-4+4=0,∴(4 a + b )⊥   ,故选D. 6.(2017天津,13,5分)在△ ABC 中,∠ A =60 ° , AB =3, AC =2.若   =2   ,   = λ   -   ( λ ∈R),且   ·   =-4,则 λ 的值为 　　　     . 答案       解析　本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积. 如图,由   =2   得   =     +     , 所以   ·   =   ·( λ   -   )=   λ   ·   -     +   λ   -     ·   , 又   ·   =3 × 2 × cos 60 ° =3,   =9,   =4, 所以   ·   = λ -3+   λ -2=   λ -5=-4,解得 λ =   . 思路分析　根据   =2   得   =     +     ,利用   ·   =-4以及向量的数量积建立关于 λ 的 方程,从而求得 λ 的值. 一题多解　以 A 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,如图,因为 AB =3, AC =2,∠ A = 60 ° ,所以 B (3,0), C (1,   ),又   =2   ,所以 D   ,所以   =   ,而   = λ   -   = λ (1,   )-(3,0)=( λ -3,   λ ),因此   ·   =   ( λ -3)+   ×   λ =   λ -5=-4, 解得 λ =   . 考点一    数量积的定义及长度、角度问题 1.(2013课标全国Ⅱ,13,5分)已知正方形 ABCD 的边长为2, E 为 CD 的中点,则   ·   = 　　　     . C 组 教师专用题组 答案　2 解析　解法一:   ·   =   ·(   -   )=   -     =2 2 -   × 2 2 =2. 解法二:以 A 为原点建立平面直角坐标系(如图),可得 A (0,0), E (1,2), B (2,0), C (2,2), D (0,2),   =(1, 2),   =(-2,2),则   ·   =1 × (-2)+2 × 2=2. 思路分析    先以   ,   为一组基底表示向量   和   ,再进行向量的运算求解;或建立平面直 角坐标系用坐标运算求解. 解后反思　向量的坐标运算体现了数形的结合,在容易建立平面直角坐标系的情况下,利用向 量的坐标运算可大大提高解题效果,因此要重视解析法在解题中的运用. 2.(2012课标全国,13,5分)已知向量 a , b 夹角为45 ° ,且| a |=1,|2 a - b |=   ,则| b |= 　　　     . 答案　3   解析　|2 a - b |=   两边平方得 4| a | 2 -4| a |·| b |cos 45 ° +| b | 2 =10. ∵| a |=1,∴| b | 2 -2   | b |-6=0. ∴| b |=3   或| b |=-   (舍去). 解题关键    本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量的模转化为 向量的数量积是求解的关键. 考点二    数量积的综合应用 1.(2017浙江,10,5分)如图,已知平面四边形 ABCD , AB ⊥ BC , AB = BC = AD =2, CD =3, AC 与 BD 交于 点 O .记 I 1 =   ·   , I 2 =   ·   , I 3 =   ·   ,则   (　　) A. I 1 < I 2 < I 3 　    B. I 1 < I 3 < I 2 　    C. I 3 < I 1 < I 2 　    D. I 2 < I 1 < I 3 答案    C　解法一:因为 AB = BC , AB ⊥ BC ,∴∠ BCO =45 ° .过 B 作 BE ⊥ AC 于 E ,则∠ EBC =45 ° .因为 AD < DC ,所以 D 、 A 在 BE 所在直线的同侧,从而∠ DBC >45 ° ,又∠ BCO =45 ° ,∴∠ BOC 为锐角. 从而∠ AOB 为钝角,所以∠ DOC 为钝角.故 I 1 <0, I 3 <0, I 2 >0. 又 OA < OC , OB < OD , 故可设   =- λ 1   ( λ 1 >1),   =- λ 2   ( λ 2 >1), 从而 I 3 =   ·   = λ 1 λ 2   ·   = λ 1 λ 2 I 1 , 又 λ 1 λ 2 >1, I 1 <0,∴ I 3 < I 1 <0,∴ I 3 < I 1 < I 2 .故选C. 解法二:如图,建立直角坐标系,则 B (0,0), A (0,2), C (2,0). 设 D ( m , n ), 由 AD =2和 CD =3, 得   从而有 n - m =   >0,∴ n > m . 从而∠ DBC >45 ° ,又∠ BCO =45 ° ,∴∠ BOC 为锐角. 从而∠ AOB 为钝角.故 I 1 <0, I 3 <0, I 2 >0. 又 OA < OC , OB < OD , 故可设   =- λ 1   ( λ 1 >1),   =- λ 2   ( λ 2 >1), 从而 I 3 =   ·   = λ 1 λ 2   ·   = λ 1 λ 2 I 1 , 又 λ 1 λ 2 >1, I 1 <0, I 3 <0,∴ I 3 < I 1 ,∴ I 3 < I 1 < I 2 .故选C. 2.(2013课标全国Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量 a , b 的夹角为60 ° , c = ta +(1- t ) b .若 b · c =0,则 t = 　　         . 答案　2 解析　解法一:∵ b · c =0, ∴ b ·[ ta +(1- t ) b ]=0, ta · b +(1- t )· b 2 =0, 又∵| a |=| b |=1,< a , b >=60 ° , ∴   t +1- t =0, t =2. 解法二:由 t +(1- t )=1知向量 a 、 b 、 c 的终点 A 、 B 、 C 共线,在平面直角坐标系中设 a =(1,0), b =   , 则 c =   . 把 a 、 b 、 c 的坐标代入 c = ta +(1- t ) b ,得 t =2. 思路分析    通过向量的运算,利用 b · c =0建立关于 t 的方程求解,或者建立平面直角坐标系,利 用 a , b , c 的坐标求解. 3.(2015天津,14,5分)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB ∥ DC , AB =2, BC =1,∠ ABC =60 ° .动点 E 和 F 分别 在线段 BC 和 DC 上,且   = λ   ,   =     ,则   ·   的最小值为 　　　     . 答案       解析　如图,以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则 B (2,0), C   , D   . 由   = λ   得 E   ,由   =     得 F   . 从而   ·   =   ·   =   +   +   ≥   +2 ×   =     当且仅当 λ =   时,取等号   . 考点一    数量积的定义及长度、角度问题 1.(2018吉林实验中学二模,5) a =(2,1), a · b =10,| a + b |=5   ,则| b |=   (　　) A.   　    B.   　    C.5　    D.25 三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案    C　∵ a =(2,1), a · b =10,| a + b |=5   ,∴| a + b | 2 =5+2 a · b +| b | 2 =(5   ) 2 ,∴| b | 2 =25,即| b |=5,故选C. 2.(2018辽宁铁岭六校联考,8)已知| a |=1,| b |=   ,且 a ⊥( a - b ),则向量 a 与向量 b 的夹角是   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    A    ∵ a ⊥( a - b ),∴ a ·( a - b )= a 2 - a · b =0, ∵| a |=1,| b |=   ,∴ a 2 =| a | 2 =1, a · b =| a |·| b |·cos< a , b >=1 ×   × cos< a , b >=   × cos< a , b >, ∴1-   × cos< a , b >=0,∴cos< a , b >=   , ∴< a , b >=   .故选A. 3.(2017甘肃兰州一模,4)已知 a 与 b 均为单位向量,它们的夹角为60 ° ,那么| a +3 b |=   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.4 答案    C　∵ a , b 均为单位向量,它们的夹角为60 ° , ∴| a +3 b |=   =   =   =   .故选C. 4.(2017吉林延边模拟,5)已知向量 a =(2,-1), b =(1,7),则下列结论正确的是   (　　) A. a ⊥ b 　　B. a ∥ b C. a ⊥( a + b )　    D. a ⊥( a - b ) 答案    C　∵ a =(2,-1), b =(1,7),∴ a + b =(3,6). ∴ a ·( a + b )=6-6=0,∴ a ⊥( a + b ).故选C. 5.(2017曲一线命题专家高考模拟磨尖卷五·重庆卷,6)在△ ABC 中, A =   , AB =2, AC =3,   =2   , 则   ·   =   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   答案    C　由   =2   ,得   =     =   (   -   ), ∴   ·   =(   +   )·   =   ·(   -   ) =     +     ·   -     =   × 9+   × 3 × 2 × cos   -   × 4=   .故选C. 6.(2018黑龙江哈六中二模,14)已知向量 a =(1,1), b =(2,0),则向量 a , b 的夹角的余弦值为 　　　     . 答案       解析　设向量 a , b 的夹角为 θ , ∵ a =(1,1), b =(2,0),∴cos θ =   =   =   ,即向量 a , b 的夹角的余弦值为   . 7.(2016宁夏六盘山五模)如图,在正方形 ABCD 中, AD =4, E 为 DC 上一点,且   =3   ,则   ·   = 　　　     . 答案　12 解析　解法一:   ·   =   ·(   +   )=   ·   +   ·   =0+4 × 3=12. 解法二:以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则 B (4,0), E (3,4).∴   ·   =(4,0)·(3, 4)=3 × 4+0 × 4=12. 8.(2017陕西榆林一模)如图,在△ ABC 中,已知点 D , E 分别在边 AB , BC 上,且 AB =3 AD , BC =2 BE . (1)用向量   ,   表示   ; (2) AB =6, AC =4, A =60 ° ,求线段 DE 的长. 解析　(1)△ ABC 中,点 D , E 分别在边 AB , BC 上,且 AB =3 AD , BC =2 BE ,∴   =     ,   =     =   (   -   ),∴   =   +   =     +   (   -   )=     +     . (2)若 AB =6, AC =4, A =60 ° ,则|   | 2 =     +2 ×   ×     ·   +     =   × 6 2 +   × 6 × 4 × cos 60 ° +   × 4 2 =7,∴|   |=   ,即线段 DE 的长为   . 考点二    数量积的综合应用 1.(2018宁夏银川4月模拟)已知向量|   |=2,|   |=1,且|   -2   |=2   ,则向量   和   的夹角 为   (　　) A.30 ° 　    B.60 ° 　    C.120 ° 　    D.150 ° 答案    C　易知(   -2   ) 2 =   -4   ·   +4   =4-4   ·   +4=12, ∴   ·   =-1,∴cos<   ,   >=   =-   , ∴向量   和   的夹角为120 ° .故选C. 2.(2018黑龙江佳木斯二模,8)若向量 a =(1,-2), b =(2,1), c =(-4,-2),则下列说法中正确的个数是   (　　) ① a ⊥ b ;②向量 a 与向量 c 的夹角为90 ° ;③对同一平面内的任意向量 d ,都存在一对实数 k 1 , k 2 ,使得 d = k 1 b + k 2 c . A.3　    B.2　    C.1　    D.0 答案    B　由 a · b =1 × 2+(-2) × 1=0,可得 a ⊥ b ,故①正确; 由 a · c =1 × (-4)+(-2) × (-2)=0,可得 a ⊥ c ,故②正确; 由 c =-2 b 可得 b , c 共线,所以对同一平面内的任意向量 d ,不一定存在一对实数 k 1 , k 2 ,使得 d = k 1 b + k 2 c . 故③错误.综上可得,正确的个数为2,故选B. 3.(2018甘肃嘉峪关一中三模,7)如图,在△ ABC 中,∠ BAC =90 ° , AB =3, D 在斜边 BC 上,且 CD =2 DB , 那么   ·   的值为   (　　) A.3　    B.5　    C.6　    D.9 答案    C　∵   =   -   ,∠ BAC =90 ° , AB =3, CD =2 DB , ∴   ·   =   ·(   +   )=   ·   =   ·   =   ·   =     +     ·   =   × 9+0=6,故选C. 4.(2018辽宁铁岭六校联考,6)已知向量 a , b 是互相垂直的单位向量,且 c · b =-1,则(3 a - b +5 c )· b =   (　　) A.-1　    B.1　    C.6　    D.-6 答案    D    ∵向量 a , b 是互相垂直的单位向量,且 c · b =-1, ∴(3 a - b +5 c )· b =0- b 2 +5 c · b =-1+5 × (-1)=-6.故选D. 5.(2018陕西西安二模,12)在△ ABC 中, AB =2 AC =6,   ·   =   ,点 P 是△ ABC 所在平面内一点, 则当   +   +   取得最小值时,   ·   =   (　　) A.   　    B.-   　    C.9　    D.-9 答案    D　∵   ·   =|   |·|   |·cos∠ ABC =|   | 2 , ∴|   |·cos∠ ABC =|   |=6,∴   ⊥   ,即∠ CAB =   , 以 A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则 B (6,0), C (0,3),设 P ( x , y ),则   +   +   = x 2 + y 2 +( x -6) 2 + y 2 + x 2 +( y -3) 2 , =3 x 2 -12 x +3 y 2 -6 y +45=3[( x -2) 2 +( y -1) 2 +10], ∴当 x =2, y =1时,   +   +   取得最小值, 此时   ·   =(2,1)·(-6,3)=-9.故选D. 6.(2016黑龙江哈六中模拟,3)已知向量 a =(cos θ ,sin θ ),向量 b =(   ,-1),则|2 a - b |的最大值,最小值 分别是   (　　) A.4,0　    B.4   ,4 C.4   ,0　    D.16,0 答案    A　由已知得2 a - b =(2cos θ -   ,2sin θ +1), 所以|2 a - b | 2 =(2cos θ -   ) 2 +(2sin θ +1) 2 =8+8sin   , 所以|2 a - b | 2 的最大值,最小值分别为16,0, 所以|2 a - b |的最大值,最小值分别是4,0,故选A. 7.(2017陕西汉中二模,4)已知向量 a =(-2,0), a - b =(-3,-1),则下列结论正确的是   (　　) A. a · b =2　    B. a ∥ b C.| a |=| b |　    D. b ⊥( a + b ) 答案    D　∵向量 a =(-2,0), a - b =(-3,-1),∴ b =(-2,0)-(-3,-1)=(1,1),∴ a + b =(-1,1),∴ b ·( a + b )=-1+1=0, ∴ b ⊥( a + b ).故选D. 8.(2017重庆育才中学模拟,6)过坐标原点 O 作单位圆 x 2 + y 2 =1的两条互相垂直的半径 OA 、 OB , 若在该圆上存在一点 C ,使得   = a   + b   ( a 、 b ∈R),则以下说法正确的是   (　　) A.点 P ( a , b )一定在单位圆内 B.点 P ( a , b )一定在单位圆上 C.点 P ( a , b )一定在单位圆外 D.当且仅当 ab =0时,点 P ( a , b )在单位圆上 答案    B　易知|   |=   =1. ∵   ⊥   ,|   |=|   |=1,∴|   |=   =1, ∴ OP =   =1,又圆的半径为1, ∴点 P 一定在单位圆上.故选B. 9.(2017甘肃兰州诊断,14)已知菱形 ABCD 的边长为 a ,∠ ABC =   ,则   ·   = 　　　     . 答案       a 2 解析　由菱形的性质得|   |=   a ,|   |= a ,且<   ,   >=   ,∴   ·   =   a × a × cos   =   a 2 . 10.(2016辽宁抚顺一模,15)已知向量 e 1 , e 2 是分别与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量,向量   = e 1 + e 2 ,   =5 e 1 +3 e 2 ,将有向线段   绕点 A 旋转到   的位置,使得   ⊥   ,则   ·   的值是 　　　     . 答案　10或6 解析       =(1,1),   =(5,3),则   =(4,2),设   =( x , y ),则   =( x -1, y -1),由题意知|   |=|   |,∴   =   ,① ∵   ⊥   ,∴   ·   =0,即4( x -1)+2( y -1)=0, ∴2 x + y =3,② 联立①②,解得   或   ∴   =(-1,5)或   =(3,-3), ∴   ·   =5 × (-1)+3 × 5=10或   ·   =5 × 3+3 × (-3)=6. 1.(2018新疆乌鲁木齐一模,4)已知 AB 是圆 O 的一条弦,长为2,则   ·   =   (　　) A.1　    B.-1 C.2　    D.-2 答案    D　如图,设 AB 中点为 M ,连接 OM ,则 OM ⊥ AB , ∴   ·   =(   +   )·   =   ·   +   ·   =   ·   =1 × 2 × cos π=-2.故选D. 思路分析    利用弦的中点,把   转化为   +   ,进而把问题转化成已知的弦的问题求解. 一、选择题（ 每 小 题 5 分 ， 共 3 0 分 ） B 组 201 6 —201 8 年 高考模拟·综合题组 (时间：20分钟 分值： 45分 ) 2.(2018东北育才中学月考,4)已知 a =(2sin 13 ° ,2sin 77 ° ),| a - b |=1,a与a-b的夹角为   ,则 a · b =   (     　) A.2　    B.3 C.4　    D.5 答案    B　∵ a =(2sin 13 ° ,2sin 77 ° )=(2sin 13 ° ,2cos 13 ° ), ∴| a |=2,因为| a - b |=1, a 与 a - b 的夹角为   ,所以 a ·( a - b )=| a || a - b |cos   = a 2 - a · b ,1=4- a · b ,∴ a · b =3,故选B. 解题关键    利用 a ·( a - b )=| a | 2 - a · b =| a |·| a - b | × cos< a , a - b >求解是关键. 3.(2018陕西渭南4月月考,6)在平行四边形 ABCD 中, AD =1,∠ BAD =30 ° , E 为 CD 的中点,若   ·   =1,则 AB 的长为   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.1 答案    C　∵四边形 ABCD 是平行四边形, E 为 CD 的中点, ∴   =   +   ,   =   +   =   -     , ∴   ·   =(   +   )·   =   -     +     ·   =1. 又   =1,   ·   =1 × |   | × cos 30 ° =   |   |,   =|   | 2 , ∴1-   |   | 2 +   |   |=1,解得|   |=   或|   |=0(舍).故选C. 思路分析    由   ·   =1得关于|   |的方程求解. 4.(2018辽宁沈阳育才学校五模,8)已知向量   ,   的夹角为60 ° ,|   |=|   |=2,若   =2   +   , 则△ ABC 为   (　　) A.等腰三角形　    B.等边三角形 C.直角三角形　    D.等腰直角三角形 答案    C　由   =2   +   ,可得   =   -   =2   , ∴|   |=2|   |=4, 由   =   -   ,可得|   | 2 =|   -   | 2 =   -2   ·   +   =4,故|   |=2, 由   =   -   =(2   +   )-   =   +   , 得|   | 2 =|   +   | 2 =   +2   ·   +   =12, ∴|   |=2   ,在△ ABC 中,由|   |=4,|   |=2,|   |=2   ,可得|   | 2 +|   | 2 =|   | 2 ,且三边长度各不 相同, 则△ ABC 为直角三角形,故选C. 思路分析    把   =   -   、   =   -   、   =   -   和已知条件联系起来,通过三边边长判 定三角形的形状. 5.(2017甘肃嘉峪关二模,7)若等边△ ABC 的边长为3,平面内一点 M 满足   =     +     ,则   ·   的值为   (　　) A.2　    B.-   C.   　    D.-2 答案    A　如图所示, A   , B   , C   , ∴   =   ,   =(3,0), ∴   =     +     =     +   (3,0)=   , ∴   =   +   =   , ∴   =   -   =   ,   =   -   =   , ∴   ·   =-1 ×   +   ×   =2,故选A. 思路分析    建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解. 方法总结    向量的坐标运算体现了数形结合的思想方法,因此,在解题时应充分重视. 6.(2016内蒙古鄂尔多斯一中期末)若 O 为△ ABC 所在平面内一点,且满足(   -   )·(   +   -2   )=0,则△ ABC 的形状为   (　　) A.等边三角形　    B.直角三角形 C.等腰三角形　    D.等腰直角三角形 答案    C　因为(   -   )·(   +   -2   ) =(   -   )·[(   -   )+(   -   )] =(   -   )·(   +   )=   ·(   +   ) =(   -   )·(   +   )=|   | 2 -|   | 2 =0, 所以|   |=|   |,所以△ ABC 为等腰三角形,故选C. 思路分析    利用向量的运算进行化简,由三角形的边长关系判定. 解题关键    把   +   -2   化成[(   -   )+(   -   )]是求解关键. 7.(2017曲一线命题专家高考模拟磨尖卷四·沈阳卷,15)若 a , b 是两个互相垂直的单位向量,则向 量 a -   b 在向量 b 方向上的投影为 　　　     . 二 、 填空 题 （ 每 小 题 5 分 ， 共 15 分） 答案　-   解析　由 a 、 b 是两个互相垂直的单位向量得 a · b =0,| a |=| b |=1,向量 a -   b 在向量 b 方向上的投影 为   =   =   =-   . 思路分析    利用投影的定义,求   的值. 方法总结    向量   在   方向上的投影为   . 8.(2017重庆第一次质量调研,13)设向量 a 、 b 的夹角为 θ ,已知向量 a =( x ,   ), b =( x ,-   ),若(2 a + b ) ⊥ b ,则 θ = 　　　     . 答案       解析　由(2 a + b )⊥ b 得,(2 a + b )· b =0,所以(3 x ,   )·( x ,-   )=0,解得 x = ± 1, 所以cos θ =   =   =   =-   , 因为 θ ∈[0,π],所以 θ =   . 思路分析    利用向量垂直求出 x 的值,再利用向量的夹角公式求解. 易错警示　两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,即 a =( x 1 , y 1 ), b =( x 2 , y 2 ),则 a ⊥ b ⇔ a · b = 0 ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 =0.应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立,因此我们又可视零向 量与任意向量垂直.注意,向量的夹角 θ ∈[0,π]. 9.(2017宁夏银川质检,13)在矩形 ABCD 中, AB =4, AD =1,点 E 为 DC 的中点,则   ·   = 　　　     . 答案　-3 解析　解法一:由已知,可得   =   +   =   +     ,   =   +   =   -     ,∴   ·   =   ·   =   -     =1-4=-3. 解法二:以点 A 为坐标原点, AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴,建立如图所示的平面直角坐 标系. 则 A (0,0), B (4,0), E (2,1),∴   =(2,1),   =(-2,1), ∴   ·   =-4+1=-3. 思路分析    解法一利用平面向量的几何性质解题,解法二通过建立平面直角坐标系,求出各点 坐标,利用向量的坐标运算解题.解法一侧重于逻辑推理,对思维能力要求较高,解法二的解题 关键是建立恰当的平面直角坐标系,侧重于计算,思路简单.两种解法各有优劣,可根据实际情 况灵活选用.