2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第一章　第3讲　全称量词与存在量词、简单的逻辑联结词 6页

‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2020·安徽蚌埠第一次教学质量检查)命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为(　　)‎ A．任意常数列不是等比数列 B．存在常数列是等比数列 C．任意常数列都是等比数列 D．不存在常数列是等比数列 解析：选C.因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题﹁p：任意常数列都是等比数列，故选C.‎ ‎2．已知f(x)＝sin x－x，命题p：存在x∈，f(x)<0，则(　　)‎ A．p是假命题，﹁p：对任意的x∈，f(x)≥0‎ B．p是假命题，﹁p：存在x∈，f(x)≥0‎ C．p是真命题，﹁p：对任意的x∈，f(x)≥0‎ D．p是真命题，﹁p：存在x∈，f(x)≥0‎ 解析：选C.易知f′(x)＝cos x－1<0，所以f(x)在上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命题p：存在x∈，f(x)<0是真命题，﹁p：对任意的x∈，f(x)≥0，故选C.‎ ‎3．(2020·河北唐山第一次模拟)已知命题p：f(x)＝x3－ax的图像关于原点对称；命题q：g(x)＝xcos x的图像关于y轴对称．则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．﹁p　　　　　　　　　　 B．q C．p且q D．p且(﹁q)‎ 解析：选D.对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图像关于原点对称，所以p为真命题；对于g(x)＝xcos x，有g(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcos x＝－g(x)，为奇函数，其图像关于原点对称，所以q为假命题，则﹁p为假命题，p且q为假命题，p且(﹁q)为真命题，故选D.‎ ‎4．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是(　　)‎ A．“p或q”为真命题 B．“p且q”为真命题 C．“﹁p”为真命题 D．“﹁q”为假命题 解析：选A.由a＞|b|≥0，得a2＞b2，所以命题p为真命题．因为x2＝4⇔x＝±2，所以命题q为假命题．所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“﹁p”为假命题，“﹁q”为真命题．综上所述，可知选A.‎ ‎5．(2020·湖南株洲二模)已知命题p：对任意的x>0，ex>x＋1，命题q：存在x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p且q B．(﹁p)且q C．p且(﹁q) D．(﹁p)且(﹁q)‎ 解析：选C.令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的，所以f(x)>f(0)＝0，所以ex>x＋1，命题p为真命题；‎ 令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝－1＝，x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，所以g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以q假．故选C.‎ ‎6．下列说法错误的是(　　)‎ A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”‎ B．若命题p：存在x∈R，x2＋x＋1<0，则﹁p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0‎ C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥”的充要条件 D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假 解析：选D.由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy≥⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．‎ ‎7．(2020·惠州第一次调研)设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则对任意的x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是(　　)‎ A．p为假命题 B．﹁q为真命题 C．p或q为真命题 D．p且q为假命题 解析：选C.函数f(x)不是偶函数，仍然有存在x，使得f(－x)＝f(x)，p为假命题；f(x)＝x|x|＝在R上是增函数，q为假命题．所以p或q为假命题，故选C.‎ ‎8．有四个关于三角函数的命题：‎ P1：存在x∈R，sin x＋cos x＝2；‎ P2：存在x∈R，sin 2x＝sin x；‎ P3：对任意的x∈， ＝cos x；‎ P4：对任意的x∈(0，π)，sin x＞cos x.‎ 其中真命题是(　　)‎ A．P1，P4　　　　　　　　 B．P2，P3‎ C．P3，P4 D．P2，P4‎ 解析：选B.因为sin x＋cos x＝sin ，所以sin x＋cos x的最大值为，可得不存在x∈R，使sin x＋cos x＝2成立，得命题P1是假命题；‎ 因为存在x＝kπ(k∈Z)，使sin 2x＝sin x成立，故命题P2是真命题；‎ 因为＝cos2x，所以 ＝|cos x|，结合x∈得cos x≥0，由此可得 ＝cos x，得命题P3是真命题；‎ 因为当x＝时，sin x＝cos x＝，不满足sin x＞cos x，‎ 所以存在x∈(0，π)，使sin x＞cos x不成立，故命题P4是假命题．‎ 故选B.‎ ‎9．已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋的最小值为4.给出下列命题：①p且q；②p或q；③p且(﹁q)；④(﹁p)或(﹁q)，则其中真命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C.由于Δ＝4a2＋4＞0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋的值为负值，故命题q为假命题．所以p或q，p且(﹁q)，(﹁p)或(﹁q)是真命题，故选C.‎ ‎10．有下列四个命题：‎ ‎(1)命题p：对任意的x∈R，x2＞0为真命题；‎ ‎(2)设p：＞0，q：x2＋x－2＞0，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(3)命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题是假命题；‎ ‎(4)非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.‎ 其中真命题有(　　)‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 解析：选C.对于(1)，对任意的x∈R，x2≥0，故(1)为假命题；‎ 对于(2)，设p：＞0，q：x2＋x－2＞0，可得p∶x＞0或x＜－2；q：x＞1或x＜－2.由p推不到q，但由q推得p，则p是q的必要不充分条件，故(2)为假命题；‎ 对于(3)，命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题为：若ab≠0，则a≠0且b≠0，‎ 其否命题是真命题，故(3)为假命题；‎ 对于(4)，非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，‎ 可设＝a，＝b，＝a＋b，＝a－b，可得△OAB为等边三角形，‎ 四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，可得a与a＋b的夹角为30°，故(4)为真命题．故选C.‎ ‎11．若命题p的否定是“对任意的x∈(0，＋∞)，>x＋1”，则命题p可写为____________________．‎ 解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．‎ 答案：存在x∈(0，＋∞)，≤x＋1‎ ‎12．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p且q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝________．‎ 解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，‎ 因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，‎ 又因为“p且q”为假，所以p为假，故－31是x>2成立的充分不必要条件 C．p：x＋的最小值是6；q：直线l：3x＋4y＋6＝0被圆(x－3)2＋y2＝25截得的弦长为3‎ D．p：抛物线y2＝8x的焦点坐标是(2，0)；q：过椭圆＋＝1的左焦点的最短的弦长是3‎ 解析：选B.A.y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．则命题p是假命题，易知q是真命题，则﹁q是假命题，不满足题意．‎ B．判别式Δ＝1－4＝－3<0，则对任意的x∈R，x2＋x＋1≥0成立，即p是真命题，x>1是x>2成立的必要不充分条件，即q是假命题，则“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘﹁q’为真”，故B满足题意．‎ C．当x<0时，x＋的最小值不是6，则p是假命题，圆心到直线的距离d＝＝＝3，则弦长＝2＝8，则q是假命题，则p或q为假命题，不满足题意．‎ D．抛物线y2＝8x的焦点坐标是(2，0)，则p是真命题，椭圆的左焦点为(－1，0)，当x＝－1时，y2＝，则y＝±，则最短的弦长为×2＝3，即q是真命题，则﹁q是假命题，不满足题意．故选B.‎ ‎2．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：‎ ‎①p或q；②p且q；③(﹁p)且(﹁q)；④(﹁p)或q.‎ 其中为假命题的序号为________．‎ 解析：显然命题p为真命题，﹁p为假命题．因为f(x)＝x2－x＝－，所以函数f(x)在区间上单调递增．所以命题q为假命题，﹁q为真命题．所以p或q为真命题，p且q为假命题，(﹁p)且(﹁q)为假命题，(﹁p)或q为假命题．‎ 答案：②③④‎ ‎3．若存在x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．‎ 解析：因为存在x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立是假命题，所以对任意的x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即对任意的x∈，使得λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)≥f＝2，则λ≤2.‎ 答案：(－∞，2]‎ ‎4．已知命题p：对任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为空集；命题q：f(x)＝(2a－5)x在R上满足f′(x)＜0，若命题p且(﹁q)是真命题，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：因为对任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为空集，所以当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，必须满足解得a≥2.由f(x)＝(2a－5)x在R 上满足f′(x)＜0，可得函数f(x)在R上单调递减，则0＜2a－5＜1，解得＜a＜3.若命题p且(﹁q)是真命题，则p为真命题，q为假命题，所以解得2≤a≤或a≥3，则实数a的取值范围是∪[3，＋∞)．‎ 答案：∪[3，＋∞)‎