河南省开封市2020届高三第三次模拟考试数学（文）试题 答案（文） 4页

（文科） ·1· 开封市 2020 届高三第三次模拟考试 数学（文科）试题参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C C B A D D A B A 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 4 14. 1 5 15. 2 ，126（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 16. 31 三、解答题（共 70 分） 17.解：（1）由 3 cos sinBD BDC BC C     可得 3sin cos sin sinC BDC BDC C       ， ……3 分 因为sin 0C，所以 tan 3BDC， 3BDC . ……6 分 （2）由 33 4ABDS  ，可得 1 3 3sin24AD BD BDA    , ……8 分 3 2 3 3sin2 3 4AD    ,所以 1AD  ， ……10 分 2 2 2 2 cos 13AB AD BD AD BD ADB       , 13AB  . ……12 分 18.（1）证明：连接 AC，ABCD 是边长为 2 的正方形， F 是 BD 的中点，也是 AC 的中点， 又 E 是 PC 的中点，∴EF∥PA， ∵EF  CD，∴PA CD，……2 分 ∵AD CD，AD∩AP=A，∴CD 平面 PAD，……4 分 又∵CD  平面 ABCD，∴平面 PAD 平面 ABCD.……5 分 （2）如图，取 AD 中点 O，连接 PO， ∵△ PAD 是边长为 2 的等边三角形， ∴PO AD 且 PO= 3 ， 由（1）知平面 PAD 平面 ABCD，故 PO 平面 ABCD，……7 分 ∴ 1 2 33233P BDCV      ，……9 分 易证△ PBD 中 PB=BD= 22，∴△ PBD 的面积为 7 ， 设点 C 到平面 PDB 的距离为 h,则 1 2 3733h   ，……11 分 ∴ 2 21 7h  .……12 分 （文科） ·2· 19.解：（1）记抛物线C 与圆 F 在第一象限的交点为 .M 由题意可得：圆 与抛物线 的准线相切，且 M 到抛物线 准线的距离等于圆 的半径 p . 所以 M 点的坐标为 2, 2 p  ，……3 分 代入抛物线方程得：  240pp，所以 2.p  ……5 分 （2）设 22 12 12, , ,44 xxA x B x           由 2 4xy 得 21 4yx ，求导得 1 2yx  ，……7 分 所以 ,AB两点处的切线斜率分别为 11 1 2kx ， 22 1 2kx ……8 分 由 2 1 4 y kx xy    得 2 4 4 0x kx   ， 所以 1 2 1 24 , 4x x k x x    ，……10 分 所以 1 2 1 2 1 14k k x x   ， 所以 PA PB ，即 PAB 为直角三角形.……12 分 20. 解：（1）根据散点图可判断， +y c d x 更适合作为 y 关于 x 的回归方程类型. ……2 分 令 wx，先建立 y 关于 w 的线性回归方程， 由表中数据得： ˆ=d 8 1 8 2 1 ( )( ) 108.8 681.6() ii i i i w w y y ww        4， 分 ˆˆ 563 68 6.8 100.6，     c y dw 所以 y 关于 w 的回归方程为 ˆ 100.6 68yw，……5 分 所以 y 关于 x 的回归方程为 ˆ 100.6 68yx……6 分 （2）（ i）当 x=64 时，年销售量 y 的预报值 ˆ 100.6 68 64 644.6   y ，……7 分 年利润 z 的预报值 ˆ 644.6 0.2 64 64.92   z .……9 分 （ii）年利润的预报值  ˆ 0.2 100.6 68 13.6 20.12       z x x x x ……10 分 年利润 13.6 6.82x ，即 x=46.24 时， ˆz 取得最大值. ……12 分 21.解：因为函数  fx的定义域为 0, ，   2 1 ,afx xx   ……1 分 所以 21 ,f e ae ee      所以 2 ,a e ……3 分 （文科） ·3· 所以   2 12.fx x ex   令   0fx  得 2 ,x e 所以  fx在 20, e   上单调递减，在 2 ,e  上单调递增.……5 分 （2）证明：设     2lnh x xf x x x e   ，   ln 1 0h x x    得 1x e ，……6 分 所以当 10,x e  时，   0hx  ，当 1,x e   时，   0hx  ， 所以  hx在 10, e   上单调递减，在 1,e  上单调递增， 所以  min 11.h x h ee  ……8 分 设    0x xt x xe,则   1 x xtx e   ，……9 分 所以当  0,1x 时，   0tx  ，  tx单调递增， 当  1,x  时，   0tx  ， 单调递减， 所以    max 11.t x t e……11 分 综上，在 0, 上恒有    h x t x ，即   .x xxf x e ……12 分 22.解：（1）已知曲线 1C 的参数方程为  cos 1 sin ， 为参数       x y ， 消去参数 得  22 1 : 1 1C x y   .……1 分 将曲线 1C 化为极坐标方程为 1 : 2sinC  .……2 分 联立曲线 和 2C 极坐标方程 2 3 cos 2sin      得： 交点 A的极坐标为 3, 3   ，化为直角坐标为 33,22   .……5 分 （2）连结OA，由（1） 点极坐标 可得： 3 3 ， ，  OA AOx 将直线 与曲线 和 联立可得    2sin , , 2 3 cos ,BC    . 2sin , 2 3 cos ,OB OC COx BOx         （文科） ·4· 63AOB AOC        分   2 11 = sin sin22 11 = 3 2 3 cos sin 3 2sin sin2 3 2 3 = 3 sin 3 cos sin3 =2 3 sin 3 = 3 8 ABC AOC AOBS S S OA OC AOC OA OB AOB                                          分 2 1sin 32     ， 0, . 103 12     ， 分 23.解：（1）由已知得： 3 22 1 22 m m     ，解得 13 22m，……3 分 因为 ,1m N m所以 .……5 分 （2） 3abc   ，……6 分 1+ 1+ 1+ 3+ + += 1 1 1 32 2 2 2 a b c a b ca b c a b c             ……8 分 当且仅当 1  abc 取等号 所以 abc最大值为 3．……10 分