2020高中数学 第1章 立体几何初步 第三节 空间几何体的表面积和体积学案 苏教版必修2 9页

几何体的有关计算问题 ‎【考点精讲】‎ ‎1. 表面积公式 ‎（1）圆柱：如果圆柱的底面半径为，母线长为，那么圆柱的底面积为，侧面积为。表面积为。‎ ‎（2）圆锥：如果圆锥的底面半径为，母线长为，那么圆锥的底面积为S底＝，侧面积为S侧＝，表面积S表＝＋。‎ ‎（3）圆台：圆台的上、下底面半径分别为、，母线长为，，＝，则其侧面积为S侧＝，表面积为。‎ ‎（4）圆柱、圆锥、圆台的侧面积有如下关系。‎ ‎2. 体积公式 ‎（1）柱体：柱体的底面积为，高为，则。‎ ‎（2）锥体：锥体的体积等于与它等底等高的柱体的体积的。即。‎ ‎（3）台体：台体的上、下底面积分别为S′、S，高为h，则V＝（S′＋＋S）h。‎ ‎（4）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：‎ 9‎ ‎【典例精析】‎ 例题1 如图1，∠ACB＝45°，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使∠BDC＝90°（如图2所示）。当的长为多少时，三棱锥的体积最大。‎ 思路导航：本题考查立体几何线面的基本关系，及如何取到最值，用均值不等式求最值。‎ 答案：在如图1所示的△中，设，则。‎ 由，∠ACB＝45°知，△为等腰直角三角形，所以。‎ 由折起前知，折起后（如图2），，，且， ‎ 所以平面。又∠BDC＝90°，所以。于是 ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ 当且仅当，即时，等号成立， ‎ 故当，即时，三棱锥的体积最大。‎ 例题2 如下图所示，在长方体中，截下一个棱锥C—，求棱锥C－的体积与剩余部分的体积之比。‎ 9‎ 思路导航：剩余部分几何体不是规则几何体，可利用长方体和棱锥体积的差来求得剩余部分的体积。‎ 答案：已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面的面积为S，高为，则它的体积为。‎ 而棱锥C－A′DD′的底面积为高为，故棱锥C－A′DD′的体积为 ‎。‎ 余下的体积是。所以棱锥C－A′DD′的体积与剩下部分的体积之比为。‎ 随堂练习：正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点。则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（ ）‎ A.1:1 B.1:‎2 C.2:1 D. 3:2‎ ‎ 解析：由于G是PB的中点，故P-GAC的体积等于B-GAC的体积，于是可以求出D-GAC的体积=2B-GAC的体积=2P-GAC的体积。故答案选C。‎ ‎【总结提升】‎ 求几何体的体积问题：‎ ‎（1）计算柱体、锥体、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题。‎ ‎（2）利用等积法求体积，也可称为转换法，通过选择合适的底面来求体积的一种方法。‎ ‎（3）在求两个空间几何体的体积比问题，尽量找到这两个几何体的底面与高之间的关系，有相同的高或底面积将对解题大有裨益。‎ 微课程2：立体几何中线与面所成角问题 ‎【考点精讲】‎ ‎1. 定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所夹的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。平面的垂线和这个平面所成的角规定为直角。在平面内的直线或与平面平行的直线和这个平面所成的角规定为0°。‎ ‎2. 求直线与平面所成的角，一般分为两大步：‎ ‎（1）找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；‎ ‎（2）计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解。‎ ‎3. 直线和平面所有角的范围：0°≤≤90°。‎ ‎【典例精析】‎ 例题1 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上。‎ 9‎ ‎（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；‎ ‎（2）当PD＝AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小。‎ 思路导航：（1）将问题转化为证明AC⊥平面PDB；（2）AE与平面PDB所成的角即为AE与它在平面PDB上的射影所成的角。‎ 答案：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，‎ ‎∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，‎ ‎∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，‎ ‎∴平面AEC⊥平面PDB。‎ ‎（2）解：设AC∩BD＝O，连接OE。‎ 由（1）知，AC⊥平面PDB于点O，‎ ‎∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角。‎ ‎∵点O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE＝PD。‎ 又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO。‎ 在Rt△AOE中，OE＝PD＝AB＝AO，∴∠AEO＝45°。‎ 即AE与平面PDB所成的角为45°。‎ 例题2 如图，已知DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P、Q分别为AE、AB的中点。‎ ‎（1）证明：PQ∥平面ACD；‎ ‎（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值。‎ 9‎ 思路导航：（1）转化为PQ∥DC；（2）AD与平面ABE所成角即为AD与它在平面ABE上的射影所成的角。‎ 答案：（1）证明：因为P、Q分别为AE、AB的中点，所以PQ∥EB。‎ 又DC∥EB，因此PQ∥DC，PQ平面ACD，DC⊂平面ACD，从而PQ∥平面ACD。‎ ‎（2）解：如图，连接CQ、DP。‎ 因为Q为AB的中点，且AC＝BC，‎ 所以CQ⊥AB。‎ 因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，‎ 所以EB⊥平面ABC。‎ 因此CQ⊥EB，又AB∩EB＝B，‎ 故CQ⊥平面ABE。‎ 由（1）有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，‎ 所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，‎ 因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，‎ 在Rt△DCA中，DC＝1，AC＝2，∴，‎ 在△ACB中，AC＝CB＝2，∠ACB＝120°，‎ ‎∴CQ＝1，∴DP＝1。‎ ‎∴在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，sin∠DAP＝。‎ 因此AD和平面ABE所成角的正弦值为。‎ 例题3 如图，在如图所示的圆锥中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，点C在上，且∠CAB＝30°，D为AC的中点。‎ ‎（1）证明：AC⊥平面POD；‎ ‎（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值。‎ 9‎ 思路导航：本题考查垂直关系的证明，线面角的求解及逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力。试题的难点是第二问的线面角，其中作出线面角是解题的关键。‎ 答案：（1）证明：如图，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD。‎ 又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO，而OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD。‎ ‎（2）解：由（1）知，AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC。在平面POD中，如图，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC，连接CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角。‎ 在Rt△ODA中，OD＝OA·sin 30°＝。‎ 在Rt△POD中，OH＝＝＝。‎ 在Rt△OHC中，sin∠OCH＝＝。‎ 故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为。‎ ‎【总结提升】‎ 高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题，难度为中低档，大多数考生会做而得不到全分，往往是因为推理不严密，跳步作答所致。‎ 解题过程要表达准确、格式要符合要求.每步推理要有理有据。计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点。引入数据要明确、要写明“已知”、“设”等字样，要养成良好的书写习惯。‎ 求线面夹角常用的方法如下：‎ ‎①作出线在面内的射影，根据线面夹角定义来求。‎ ‎②有时可以转化为面面夹角来求。（如果线所在的面与待求夹角的那个面相交，且交线正好垂直于待求夹角的那条线，就可以使用此法。）‎ 关于线线夹角和线面夹角，下面两个结论经常用到：‎ ‎①如图1，平面，＝，，则·‎ ‎。‎ ‎②如图2，过的顶点引射线和、成相等的锐角时，则在平面内的射影是的平分线（或平分线的反向延长线）。‎ 9‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 微课程3：立体几何中求二面角问题 ‎【考点精讲】‎ ‎1. 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中每一部分都叫做半平面.‎ ‎2. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。‎ 学习二面角要注意以下三点：‎ ‎（1）二面角的大小是用平面角来度量的；（2）二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的，与棱上点的选择无关；（3）平面角的两边分别在二面角的两个面内。‎ ‎【典例精析】‎ 例题1 已知△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB＝a，求二面角A－PC－B的正切值大小。‎ 思路导航：要求二面角的大小，首先要在图形中构造出二面角的平面角，然后利用其平面角度量二面角的大小.过棱上一点，分别在两个面内作（或证）棱的垂线，即可产生二面角的平面角，要充分利用三角函数定义求得具体值。‎ 答案：取AC的中点M，连接BM，作MN⊥PC于N，连接BN（如图）。‎ ‎∵PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC。‎ 易证BM⊥AC，AC＝平面PAC∩平面ABC。‎ ‎∴BM⊥平面PAC（面面垂直的性质）。‎ ‎∵MN⊥PC，∴NB⊥PC。‎ ‎∴∠MNB是二面角A－PC－B的平面角。‎ 易知MN＝a，BM＝a。‎ ‎∴tan∠MNB＝。∴∠MNB＝arctan，即二面角A－PC－B的正切值大小为。‎ 9‎ 例题2 在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝a，∠ABC＝90°，∠BCD＝135°，沿AC将四边形折成直二面角B－AC－D。‎ ‎（1）求证：平面ABC⊥平面BCD；‎ ‎（2）求平面ABD与平面ACD所成角的大小。‎ 思路导航：本题中∠B＝∠ACD＝90°在折叠前后不变，四边形的四条边的长也不变，所以BE、sinDAC均可在平面四边形中求得。‎ 答案：如图，其中图（1）是平面四边形，图（2）是折后的立体图。‎ ‎（1）证明：∵平面ABC⊥平面ACD，交线为AC，‎ 又∵AB＝BC，∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠ACD＝90°，CD⊥AC。‎ ‎∴平面ABC⊥平面BCD。‎ ‎（2）解：过点B作BE⊥AC，E为垂足，则BE⊥平面ACD。‎ 又过点E在平面ACD内作EF⊥AD，F为垂足，连接BF。‎ 由三垂线定理可知BF⊥AD。‎ ‎∴∠BFE是二面角B－AD－C的平面角。‎ ‎∵点E为AC中点，‎ ‎∴BE＝AC＝a。‎ 又sin∠DAC＝，EF＝AE，‎ ‎∴EF＝a，tan∠BFE＝。‎ ‎∴∠BFE＝60°，即平面ABD与平面ACD所成的二面角为60°。‎ ‎【总结提升】‎ ‎（1）二面角的平面角是用来刻画二面角大小的一个概念.它和两条异面直线所成的角以及直线和平面所成的角一样，都可化归为用平面内两条相交直线所成的角来表示，但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内，而且二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱上的位置无关。‎ ‎（2）二面角的计算方法 ‎①利用定义作二面角的平面角——在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角。利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱及棱上的特殊点，‎ 9‎ 学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用。‎ ‎②用垂面法作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面，则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角。‎ ‎③面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则cosθ＝。‎ 二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，但如何度量二面角的大小是一难点。‎ 9‎