2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-5椭圆练习新人教B版 13页

‎9.5 椭圆 核心考点·精准研析 考点一　椭圆的定义及标准方程 ‎ ‎1.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是 (　　)‎ A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 ‎2.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是 (　　)‎ A.2 B.6 C.4 D.12‎ ‎3.椭圆+=1的左焦点为F,直线x=t与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎4.过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 (　　)‎ A.+=1 B.+=1‎ 13‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎5.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶,则椭圆C的方程是________.  ‎ ‎【解析】1.选A.由折叠过程可知,点M与点F关于直线CD对称,故|PM|=|PF|,所以|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=r,又显然|OM|>|OF|,由椭圆的定义可知,点P的轨迹为椭圆.‎ ‎2.选C.如图,设椭圆+y2=1的另一个焦点为F2,‎ 则F2在BC上,即|BC|=|BF2|+|F2C|,‎ 又因为B,C都在椭圆+y2=1上,‎ 所以|BA|+|BF2|=|CA|+|CF2|=2a=2,‎ 于是,△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|‎ ‎=|BA|+|BF2|+|F2C|+|CA|=4.‎ ‎3.选C.如图,设右焦点为F′,连接MF′,NF′,‎ ‎△FMN的周长为 ‎|FM|+|FN|+|MN|=4-(|MF′|+|NF′|-|MN|),‎ 所以当|MF′|+|NF′|-|MN|最小时,周长最大,‎ 因为|MF′|+|NF′|≥|MN|,‎ 13‎ 所以当直线x=t过右焦点时,△FMN的周长最大.‎ 又c==1,‎ 所以把x=1代入椭圆标准方程,得+=1,‎ 解得y=±,‎ 所以此时△FMN的面积S=2××2×=.‎ ‎4.选C.(方法一:定义法)椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.‎ 由椭圆的定义知,2a=+,解得a=2,‎ 由c2=a2-b2,可得b2=4,‎ 所以所求椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎(方法二:待定系数法)设所求椭圆方程为+=1(k<9),将点(,-)代入,可得+=1,解得k=5或k=21(舍),所以所求椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎(方法三:待定系数法)设所求椭圆方程为+=1(a>b>0).由题意得 13‎ 解得所以所求椭圆的标准方程为+=1.‎ ‎5.设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).‎ 由题意知解得a2=16,b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.‎ 答案:+=1‎ ‎1.椭圆定义的应用 ‎(1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点的轨迹是否为椭圆;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积,弦长、最值和离心率等.‎ ‎(2)椭圆的定义式必须满足2a>|F1F2|.‎ ‎2.焦点三角形的结论 椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.‎ ‎(1)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ.‎ ‎(2)焦点三角形的周长为2(a+c).‎ ‎(3)=|PF1||PF2|sin θ=b2 tan=c|y0|,当|y0|=b,即P为短轴端点时,取得最大值,为bc.‎ ‎3.求椭圆的标准方程的方法 ‎(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.‎ 13‎ ‎(2)利用定义法求椭圆方程,要注意条件2a>|F1F2|;利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.‎ ‎4.利用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 考点二　弦及弦中点问题 ‎ ‎【典例】1.已知椭圆+y2=1,过点P且被P点平分的弦所在直线的方程为________. ‎ ‎2.焦点是F(0,5),并截直线y=2x-1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为______________.  ‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 一看到弦的中点(即中点弦)问题,即联想到点差法 ‎2‎ 当题目中出现弦的中点并出现中点的横坐标(或纵坐标)时,立即想到点差法(也可考虑联立方程)‎ ‎【解析】1.设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为(x0,y0),则有 两式作差得+(y2-y1)(y2+y1)=0,因为x2+x1=2x0,y2+y1=2y0,‎ 13‎ ‎=kAB,代入后求得kAB=-=-,所以弦所在直线的方程为y-=-,即x+3y-2=0.‎ 答案:x+3y-2=0‎ ‎2.设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由题意,可得弦AB的中点坐标为,‎ 且=,=-.‎ 将A,B两点坐标代入椭圆方程中,得 两式相减并化简,‎ 得=-×=-2×=3,‎ 所以a2=3b2,又c2=a2-b2=50,‎ 所以a2=75,b2=25,‎ 故所求椭圆的标准方程为+=1.‎ 13‎ 答案:+=1‎ ‎1.椭圆中弦及弦中点问题的类型及解决策略 常见类型 解决策略 ‎①过定点,定点为弦中点;‎ ‎②平行弦中点的轨迹;‎ ‎③过定点的弦的中点轨迹 根与系数的关系:直线与椭圆方程联立,消元,利用根与系数的关系表示中点坐标 点差法:利用弦两端点适合椭圆方程,作差构造中点与斜率的关系 ‎2.椭圆中弦及弦中点问题的注意事项 ‎(1)合理消元,消元时可以选择消去y,也可以消去x.‎ ‎(2)利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来.‎ ‎(3)涉及弦中点的问题常用“点差法”解决.‎ ‎1.已知直线l:y=k(x-1)与椭圆C:+y2=1交于不同的两点A,B,AB中点横坐标为,则k=________. ‎ ‎【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,因为直线l过椭圆内的定点(1,0),所以Δ>0,x1+x2=,所以==,整理得k2=,所以k=±.‎ 答案:±‎ 13‎ ‎2.已知直线y=x+m被椭圆2x2+y2=2截得的线段的中点的横坐标为,则中点的纵坐标为________. ‎ ‎【解析】设线段的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),则x0=,y0=+m,x1+x2=2x0=,‎ y1+y2=2y0=+2m,则有 两式作差得2(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,即k==-=-=1,解得m=-,所以y0=+=-.‎ 答案:-‎ 考点三　椭圆的简单几何性质 ‎ 命 题 精 解 读 考什么:(1)考查椭圆的顶点、离心率及直线与椭圆中的最值范围问题.‎ ‎(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合等思想方法.‎ 怎么考:结合椭圆定义及三角形性质(例如中位线)等考查离心率;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题.‎ 新趋势:椭圆离心率的求解仍是考查的重点.‎ 学 霸 好 方 ‎1.离心率的求解 借助条件建立a,b,c关系或利用特殊值法求解.‎ ‎2. 与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题.‎ 13‎ 法 求椭圆的离心率 ‎【典例】(2020·泉州模拟)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线,所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°,因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|,由勾股定理得|F1F2|=,由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|,即a=,2c=|F1F2|=|PF2|,即c=,则e==·=.‎ 如何求椭圆离心率?‎ 提示:解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),转化为e的关系式.‎ 最值、取值范围问题 ‎【典例】(2019·重庆模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为M(-2,0),离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程. ‎ 13‎ ‎(2)过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,当·取得最大值时,求△MAB的面积.‎ ‎【解析】(1)由题意可得:a=2,=,得c=,则b2=a2-c2=2.所以椭圆C:+=1.‎ ‎(2)当直线l与x轴重合时,不妨取A(-2,0),B(2,0),此时·=0;‎ 当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立得(t2+2)y2+2ty-3=0,‎ 显然Δ>0,y1+y2=,y1·y2=.‎ 所以·=(x1+2)(x2+2)+y1y2‎ ‎=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=(t2+1)y1y2+3t(y1+y2)+9‎ ‎=(t2+1)+3t+9‎ ‎=+9=+9=.‎ 当t=0时,·取最大值.此时直线l方程为x=1,不妨取A,B,所以|AB|=.‎ 又|MN|=3,所以△MAB的面积S=××3=.‎ 如何求解范围、最值问题?‎ 13‎ 提示:(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到一个图形.‎ ‎(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式,如-a≤x≤a,-b≤y≤b,0b>0)的右焦点,过F且垂直于x轴的弦长为6,若A(-2,),点M为椭圆上任一点,则|MF|+|MA|的最大值为________. ‎ 13‎ ‎【解析】设椭圆的左焦点为F′,由椭圆的右焦点为F(2,0),得c=2,又过F且垂直于x轴的弦长为6,即=6,则==3,‎ 解得a=4,所以|MF|+|MA|‎ ‎=8-|MF′|+|MA|=8+|MA|-|MF′|,‎ 当M,A,F′三点共线时,|MA|-|MF′|取得最大值,‎ ‎(|MA|-|MF′|)max=|AF′|=,所以|MF|+|MA|的最大值为8+.‎ 答案:8+‎ 已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60°<∠PF1F2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选B.由题意可得|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-‎ ‎2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2=4c2+4c2-2·2c·2c·‎ cos∠PF1F2,即|PF2|=2c·,‎ 所以a==c+c·,‎ 又60°<∠PF1F2<120°,所以-