高中数学第二章平面解析几何2-7-2抛物线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一册 42页

2.7.2 　抛物线的几何性质 核心 素养 1 . 掌握抛物线的简单几何性质 . ( 直观想象 ) 2 . 了解抛物线几何性质的简单应用 . ( 数学运算 ) 3 . 归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同 . ( 逻辑推理 ) 4 . 能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题 . ( 直观想象、数学运算 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 把抛物线沿它的对称轴旋转一周 , 就会形成一个抛物面 . 这种抛物面形状 , 正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状 . 这种形状 , 使得车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束 , 又能发射出较暗的、照射近距离的光线 , 这也就是汽车的远光灯和近光灯 . 那么它的工作原理是什么 ? 激趣诱思 知识点拨 1 . 抛物线 y 2 = 2 px ( p> 0) 的几何 性质 激趣诱思 知识点拨 微思考 (1) 掌握抛物线的性质 , 重点应抓住 “ 两点 ”“ 两线 ”“ 一率 ”“ 一方向 ”, 它们分别指的是什么 ? 提示 : “ 两点 ” 是指抛物线的焦点和顶点 ;“ 两线 ” 是指抛物线的准线和对称轴 ;“ 一率 ” 是指离心率 1;“ 一方向 ” 是指抛物线的开口方向 . (2) 抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些 ? 提示 : 抛物线的离心率等于 1, 它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线 . 它没有中心 , 通常称抛物线为无心圆锥曲线 , 而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 抛物线四种形式的标准方程及其 性质 激趣诱思 知识点拨 标准方程 y 2 =2px (p>0) y 2 =-2px (p>0) x 2 =2py (p>0) x 2 =-2py (p>0) 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e=1 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析 , 其共同点 :(1) 顶点都为原点 ;(2) 对称轴为坐标轴 ;(3) 准线与对称轴垂直 , 垂足与焦点分别关于原点对称 , 它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值 的 ;( 4) 焦点到准线的距离均为 p. 其不同点 :(1) 对称轴为 x 轴时 , 方程的右端为 ± 2 px , 左端为 y 2 ; 对称轴为 y 轴时 , 方程的右端为 ± 2 py , 左端为 x 2 ;(2) 开口方向与 x 轴 ( 或 y 轴 ) 的正半轴相同 , 焦点在 x 轴 ( 或 y 轴 ) 的正半轴上 , 方程的右端取正号 ; 开口方向与 x 轴 ( 或 y 轴 ) 的负半轴相同 , 焦点在 x 轴 ( 或 y 轴 ) 的负半轴上 , 方程的右端取负号 . 2 . 只有焦点在坐标轴上 , 顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 以 x 轴为对称轴的抛物线的通径 ( 过焦点且与对称轴垂直的弦 ) 长为 8, 若抛物线的顶点在坐标原点 , 则其方程为 ( 　　 ) A. y 2 = 8 x B. y 2 =- 8 x C. y 2 = 8 x 或 y 2 =- 8 x D. x 2 = 8 y 或 x 2 =- 8 y 解析 : 设抛物线方程为 y 2 = 2 px ( p> 0) 或 y 2 =- 2 px ( p> 0), 依题意得 x = , 代入 y 2 = 2 px 或 y 2 =- 2 px 得 |y|=p , ∴ 2 |y|= 2 p= 8, p= 4 . ∴ 抛物线方程为 y 2 = 8 x 或 y 2 =- 8 x. 答案 : C 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 抛物线关于顶点对称 . ( 　　 ) (2) 抛物线只有一个焦点 , 一条对称轴 , 无对称中心 . ( 　　 ) (3) 抛物线的标准方程虽然各不相同 , 但是其离心率都相同 . ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2) √ 　 (3) √ 微思考 怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向 ? 提示 : 一次项的变量若为 x ( 或 y ), 则 x 轴 ( 或 y 轴 ) 是抛物线的对称轴 , 一次项系数的符号决定开口方向 . 如果 y 是一次项 , 负时向下 , 正时向上 . 如果 x 是一次项 , 负时向左 , 正时向右 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 抛物线的几何性质的应用 例 1 (1) 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y 2 = 2 px ( p> 0), O 为抛物线的顶点 , OA ⊥ OB , 则 △ AOB 的面积是 ( 　　 ) A.8 p 2 B.4 p 2 C.2 p 2 D. p 2 (2) 如图所示 , F 是抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 , 点 A , B 分别在抛物线 y 2 = 4 x 及圆 x 2 +y 2 - 2 x- 3 = 0 的实线部分上运动 , 且 AB 总是平行于 x 轴 , 则 △ FAB 的周长的取值范围是 ( 　　 ) A.(4,6) B.[4,6] C.(2,4) D.[2,4] 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : (1) 因为抛物线的对称轴为 x 轴 , 内接 △ AOB 为等腰直角三角形 , 所以由抛物线的对称性知 , 直线 AB 与抛物线的对称轴垂直 , 从而直线 OA 与 x 轴的夹角为 45 ° . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 由题意知抛物线 y 2 = 4 x 的准线为 x=- 1, 设 A , B 两点的坐标分别为 A ( x 1 , y 0 ), B ( x 2 , y 0 ), 则 |AF|=x 1 + 1 . ∵ B 在图中圆 ( x- 1) 2 +y 2 = 4 的实线部分上运动 , ∴ 1 0), 将直线方程与抛物线方程联立消元得 k 2 x 2 + (2 kb- 2 p ) x+b 2 = 0 . (1) 若 k 2 = 0, 此时直线与抛物线有一个交点 , 该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合 . (2) 若 k 2 ≠0, 当 Δ> 0 时 , 直线与抛物线相交 , 有两个交点 ; 当 Δ= 0 时 , 直线与抛物线相切 , 有一个交点 ; 当 Δ< 0 时 , 直线与抛物线相离 , 无公共点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 求抛物线弦长问题的方法 (1) 一般弦长 公式 (2) 焦点弦长 设过抛物线 y 2 = 2 px ( p> 0) 的焦点的弦的端点为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 |AB|=x 1 +x 2 +p , 然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元 , 由根与系数的关系求出 x 1 +x 2 即可 . (3) 解决焦点弦问题时 , 应注意焦点弦的几何性质 . 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题 , 注意利用根与系数的关系 , 设而不求 , 能避免繁杂的计算 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若例 2(2) 条件不变 , 求弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 (1) 过抛物线 y 2 = 2 px ( p> 0) 上一定点 P ( x 0 , y 0 )( y 0 > 0), 作两条直线分别交抛物线于 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) . 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时 , 的 值为 ( 　　 ) A . - B. - 2 C.2 D. 无法确定 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 已知直线 l : y=kx+ 1, 抛物线 C : y 2 = 4 x. 当 k 为何值时 , l 与 C 只有一个公共点 ; 有两个公共点 ; 没有公共点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ( ⅰ ) 当 Δ> 0, 即 k< 1, 且 k ≠0 时 , l 与 C 有两个公共点 , 此时直线 l 与 C 相交 ; ( ⅱ ) 当 Δ= 0, 即 k= 1 时 , l 与 C 有一个公共点 , 此时直线 l 与 C 相切 ; ( ⅲ ) 当 Δ< 0, 即 k> 1 时 , l 与 C 没有公共点 , 此时直线 l 与 C 相离 . 综上所述 , 当 k= 1 或 0 时 , l 与 C 有一个公共点 ; 当 k< 1 且 k ≠0 时 , l 与 C 有两个公共点 ; 当 k> 1 时 , l 与 C 没有公共点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 与抛物线有关的最值问题 例 3 (1) 抛物线 y 2 = 4 x 上的点 P ( x , y ) 到 (0,3) 的距离与到准线距离之和的最小值是 　　　　　 .   解析 : 如图所示 , 设此抛物线的焦点为 F (1,0), 准线 l : x=- 1 . 过点 P 作 PM ⊥ l , 垂足为 M. 则 |PM|=|PF|. 设 Q (0,3), 因此当 F , P , Q 三点共线时 , |PF|+|PQ| 取得最小值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 求抛物线 y=-x 2 上的点到直线 4 x+ 3 y- 8 = 0 的最小距离 . 解 : 方法一 : 设 A ( t , -t 2 ) 为抛物线上的点 , 则点 A 到直线 4 x+ 3 y- 8 = 0 的距离 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 求抛物线上一点到定直线的距离的最值 , 最常见的解题思路 : 一是利用抛物线的标准方程进行消元代换 , 得到有关距离的含变量的代数式 , 以计算函数最值来解决 . 二是转化两平行线间距离 , 代入两平行线间距离公式可求得 . 2 . 建立形与数的联系 , 提升数形结合的能力 , 有利于优化解题的方式与方法 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 易错点 —— 因不理解抛物线的标准方程的形式而致错 案例 设抛物线 y=mx 2 ( m ≠0) 的准线与直线 y= 1 的距离为 3, 求抛物线的标准方程 . 故所求抛物线的标准方程为 y= 8 x 2 . 错因分析 本题在解答过程中容易出现两个错误 : 一是不能正确理解抛物线标准方程的形式 , 错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程 , 得到准线方程为 y =- ; 二是得到准线方程后 , 只分析其中的一种情况 , 而忽略了另一种情况 , 只得到了一个解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 已知抛物线 y= 4 x 2 上一点 P 到焦点的距离为 1, 则点 P 的纵坐标为 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 若点 P 在抛物线 y 2 =x 上 , 点 Q 在圆 M :( x- 3) 2 +y 2 = 1 上 , 则 |PQ| 的最小值是 ( 　　 ) 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 正三角形的一个顶点位于坐标原点 , 另外两个顶点在抛物线 y 2 = 2 px ( p> 0) 上 , 求这个正三角形的边长 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 6 . 已知 y=x+m 与抛物线 y 2 = 8 x 交于 A , B 两点 . (1) 若 |AB|= 10, 求实数 m 的值 ; (2) 若 OA ⊥ OB , 求实数 m 的值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 因为 OA ⊥ OB , 所以 x 1 x 2 +y 1 y 2 =m 2 + 8 m= 0, 解得 m=- 8 或 m= 0( 舍去 ) . 所以 m=- 8, 经检验符合题意 .