高考数学专题复习练习：9-9-2 专项基础训练 7页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．(2016·四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)‎ A.　　　　　　　　 　B. C. D．1‎ ‎【解析】 ∵M在线段PF上，且|PM|＝2|MF|，∴＝2.设P(x0，y0)，得M.∵P(x0，y0)在抛物线y2＝2px上，∴x0＝，由题可得y0≤0时，OM的斜率不是最大值，故y0＞0，故kOM＝＝＝≤，当且仅当＝即y0＝p时“＝”成立．故选C.‎ ‎【答案】 C ‎2．(2017·台州模拟)已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(　　)‎ A. B. C．4 D．5‎ ‎【解析】 由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎3．(2017·江西南昌调研)已知圆O1：(x－2)2＋y2＝16和圆O2：x2＋y2＝r2(0＜r＜2)，动圆M与圆O1，圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1，e2(e1＞e2)，则e1＋2e2的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 ①当动圆M与圆O1，O2都相内切时，|MO2|＋|MO1|＝4－r＝2a，故e1＝.‎ ‎②当动圆M与圆O1相内切而与圆O2相外切时，|MO1|＋|MO2|＝4＋r＝2a′，故e2＝.‎ 因此e1＋2e2＝＋＝，令12－r＝t(10＜t＜12)，e1＋2e2＝2×≥2×＝＝，故选A.‎ ‎【答案】 A ‎4．(2017·绵阳模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则·的最小值为________．‎ ‎【解析】 点P为椭圆＋＝1上的任意一点，设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，依题意得左焦点F(－1，0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋＝·＋.‎ ‎∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，∴≤≤，‎ ‎∴≤≤，∴6≤·＋≤12，即6≤·≤12.故最小值为6.‎ ‎【答案】 6‎ ‎5．(2017·浙江温州一模)已知斜率为的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是________．‎ ‎【解析】 设直线l的方程为y＝x＋b(b＞0)，即x＝2y－2b，‎ 代入抛物线方程y2＝2px，可得y2－4py＋4pb＝0，‎ Δ＝16p2－16pb＞0，∴p＞b.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4p，y1y2＝4pb，k1＋k2＝＋＝＋＝＝＞2.‎ ‎【答案】 (2，＋∞)‎ ‎6．(2016·赣江模拟)如图所示，设F(－c，0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，直线l：x＝－与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A，B.‎ ‎①证明：∠AFM＝∠BFN；‎ ‎②求△ABF面积的最大值．‎ ‎【解析】 (1)∵|MN|＝8，‎ ‎∴a＝4，‎ 又∵|PM|＝2|MF|，‎ ‎∴e＝.‎ ‎∴c＝2，b2＝a2－c2＝12.‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)①证明 当AB的斜率为0时，显然∠AFM＝∠BFN＝0，满足题意；‎ 当AB的斜率不为0时，‎ 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，‎ AB的方程为x＝my－8，‎ 代入椭圆方程整理得(3m2＋4)y2－48my＋144＝0.‎ Δ＝576(m2－4)＞0，得m2＞4，‎ yA＋yB＝，‎ yAyB＝.‎ 则kAF＋kBF＝＋＝＋ ‎＝ ‎＝，‎ 而2myAyB－6(yA＋yB)＝2m·－6·＝0，‎ ‎∴kAF＋kBF＝0，‎ ‎∴∠AFM＝∠BFN.‎ 综上可知，∠AFM＝∠BFN.‎ ‎②S△ABF＝S△BFP－S△AFP＝|PF|·|yB－yA|＝，‎ 即S△ABF＝＝≤＝3，‎ 当且仅当3＝，‎ 即m＝±时(此时适合于Δ＞0的条件)取到等号．‎ ‎∴△ABF面积的最大值是3.‎ ‎7．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.‎ ‎(1)若e＝，求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，若·＝0，且＜e≤，求k的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)由焦点F2(3，0)，知c＝3，‎ 又e＝＝，所以a＝2.‎ 又由a2＝b2＋c2，解得b2＝3.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知，‎ x1＋x2＝0，x1x2＝－.‎ 又＝(3－x1，－y1)，＝(3－x2，－y2)，‎ 所以·＝(3－x1)(3－x2)＋y1y2‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋9＝0，‎ 即＋9＝0，‎ 整理得k2＝＝－1－.‎ 由＜e≤及c＝3，‎ 知2≤a＜3，12≤a2＜18.‎ 所以a4－18a2＝(a2－9)2－81∈[－72，0)，‎ 所以k2≥，则k≥或k≤－，‎ 因此实数k的取值范围为∪.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：25分钟)‎ ‎8．(2017·威海模拟)已知圆x2＋y2＝1过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，与椭圆＋＝1相交于A，B两点．记λ＝·，且≤λ≤.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)求k的取值范围；‎ ‎(3)求△OAB的面积S的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)由题意知2c＝2，所以c＝1.‎ 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，‎ 从而b＝1，故a＝，所以所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)因为直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，‎ 所以原点O到直线l的距离为＝1，‎ 即m2＝k2＋1.‎ 由 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ λ＝·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，‎ 由≤λ≤，得≤k2≤1，‎ 即k的取值范围是∪.‎ ‎(3)|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2－，‎ 由≤k2≤1，得≤|AB|≤.‎ 设△OAB的AB边上的高为d，‎ 则S＝|AB|d＝|AB|，‎ 所以≤S≤.‎ 即△OAB的面积S的取值范围是.‎ ‎9．(2017·湖北黄冈模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)∵双曲线的离心率为，‎ ‎∴椭圆的离心率e＝＝.‎ 又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，‎ ‎∴右顶点为(2，0)，即a＝2，c＝，b＝1，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 联立消去y并整理，得 ‎(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)‎ ‎＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，‎ 又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，‎ 故·＝＝k2⇒－＋m2＝0，‎ 由m≠0，得k2＝⇒k＝±.‎ 又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，得0＜m2＜2，‎ 显然m2≠1(否则x1x2＝0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．‎ 设原点O到直线MN的距离为d，则 S△OMN＝|MN|d ‎＝ |x1－x2|‎ ‎＝|m| ‎＝ .‎ 由0＜m2＜2，且m2≠1，得 ‎△OMN面积的取值范围为(0，1)．‎