2020版高中数学 模块综合测评 新人教A版选修4-5 10页

模块综合测评 ‎(时间:120分钟　满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.若a>b>c,则的值(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.大于0 ‎ B.小于0‎ C.小于或等于0 ‎ D.大于或等于0‎ 解析因为a>b>c,所以a-c>b-c>0.‎ 所以,所以>0,故选A.‎ 答案A ‎2.不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是(　　)‎ A.{x|-3≤x<2} B.R C.⌀ D.{x|x<-3或x>2}‎ 解析令f(x)=|x+3|+|x-2|=则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5的解集为⌀.故原不等式的解集是⌀.‎ 10‎ 答案C ‎3.若P=(x>0,y>0,z>0),则P与3的大小关系是(　　)‎ A.P≤3 B.P<3‎ C.P≥3 D.P>3‎ 解析因为1+x>0,1+y>0,1+z>0,‎ 所以=3,即P<3.‎ 答案B ‎4.不等式>a的解集为M,且2∉M,则a的取值范围为(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析由已知2∉M,可得2∈∁RM,于是有≤a,即-a≤≤a,解得a≥,故应选B.‎ 答案B ‎5.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n层楼,上、下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为,则此人应选(　　)‎ A.1楼 B.2楼 ‎ C.3楼 D.4楼 10‎ 解析设第n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+≥2=2×3=6,当且仅当n=,即n=3时等号成立.‎ 答案C ‎6.若关于x的不等式|x-1|+|x-3|≤a2‎-2a-1在R上的解集为⌀,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.a<-1或a>3 ‎ B.a<0或a>3‎ C.-10,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为(　　)‎ A.4 B‎.6 ‎C.8 D.9‎ 解析=(a-1,1),=(-b-1,2),‎ ‎∵A,B,C三点共线,∴2(a-1)-(-b-1)=0,整理,得‎2a+b=1.‎ 又a>0,b>0,则=(‎2a+b)=4+≥4+2=8,当且仅当b=‎2a=时,等号成立.故选C.‎ 答案C ‎10.用反证法证明“△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证B<”,假设正确的是(　　)‎ A.B是锐角 B.B不是锐角 C.B是直角 D.B是钝角 答案B ‎11.实数ai(i=1,2,3,4,5,6)满足(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2=1,则(a5+a6)-(a1+a4)的最大值为(　　)‎ A.3 B.2 ‎ C. D.1‎ 解析因为[(a2-a1)2+(a3-a2)2+(a4-a3)2+(a5-a4)2+(a6-a5)2](1+1+1+4+1)‎ ‎≥[(a2-a1)×1+(a3-a2)×1+(a4-a3)×1+(a5-a4)×2+(a6-a5)×1]2‎ ‎=[(a6+a5)-(a1+a4)]2,‎ 所以[(a6+a5)-(a1+a4)]2≤8,即(a6+a5)-(a1+a4)≤2.‎ 10‎ 答案B ‎12.已知x,y,z,a,b,c,k均为正数,且x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,a+b+c=k(x+y+z),则k=(　　)‎ A. B. ‎ C.3 D.9‎ 解析因为x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,‎ 所以(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,‎ 又(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,‎ 当且仅当=k时,等号成立,‎ 则a=kx,b=ky,c=kz,代入a2+b2+c2=90,‎ 得k2(x2+y2+z2)=90,于是k=3.‎ 答案C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为　　　　　. ‎ 解析2x+=2(x-a)++‎2a≥2+‎2a=‎2a+4≥7(当且仅当(x-a)2=1时,等号成立),‎ 则a≥,即实数a的最小值为.‎ 答案 ‎14.不等式|x-4|+|x-3|≤a有实数解的充要条件是　　　　　　　　. ‎ 解析不等式a≥|x-4|+|x-3|有解⇔a≥(|x-4|+|x-3|)min=1.‎ 答案a≥1‎ ‎15.设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为　　　　　. ‎ 解析由柯西不等式可得(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2(22+22+12)≥[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2=(2x+2y+z-1)2=81,‎ 10‎ 所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9当且仅当,即x=-1,y=-4,z=2时,等号成立.‎ 答案9‎ ‎16.导学号26394074对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a||x-1|恒成立,则实数x的取值范围是　　　　　　　　. ‎ 解析依题意只需不等式的左边的最小值≥|a||x-1|,由绝对值三角不等式得|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=|‎2a|=2|a|,故只需求解2|a|≥|a||x-1|即可,解得-1≤x≤3.‎ 答案[-1,3]‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(本小题满分10分)已知x,y均为正数,且x>y,求证2x+≥2y+3.‎ 证明因为x>0,y>0,x-y>0,‎ 所以2x+-2y=2(x-y)+‎ ‎=(x-y)+(x-y)+‎ ‎≥3=3‎ ‎,‎ 所以2x+≥2y+3.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.‎ 解(1)∵m>1,不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,‎ ‎∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.‎ ‎∵其解集为[0,4],‎ 10‎ ‎∴解得m=3.‎ ‎(2)由(1)知a+b=3.‎ ‎(方法一:利用基本不等式)‎ ‎∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),‎ ‎∴a2+b2≥,‎ ‎∴a2+b2的最小值为.‎ ‎(方法二:利用柯西不等式)‎ ‎∵(a2+b2)·(12+12)≥(a×1+b×1)2‎ ‎=(a+b)2=9,‎ ‎∴a2+b2≥,‎ ‎∴a2+b2的最小值为.‎ ‎(方法三:消元法求二次函数的最值)‎ ‎∵a+b=3,∴b=3-a.‎ ‎∴a2+b2=a2+(3-a)2‎ ‎=‎2a2‎-6a+9=2,‎ ‎∴a2+b2的最小值为.‎ ‎19.(本小题满分12分)用数学归纳法证明:>n!(n>1,n∈N+).(n!=n×(n-1)×…×2×1)‎ 证明(1)当n=2时,>2!=2,不等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,‎ 10‎ 即>k!.‎ 当n=k+1时,‎ ‎=+…+(k+1)·‎ ‎=(k+1)·>(k+1)·k!=(k+1)!,‎ 所以当n=k+1时不等式成立.‎ 由(1)(2)可知,对n>1的一切自然数,不等式成立.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知x+y>0,且xy≠0.‎ ‎(1)求证:x3+y3≥x2y+y2x;‎ ‎(2)如果恒成立,试求实数m的取值范围.‎ ‎(1)证明因为x3+y3-(x2y+y2x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x+y)(x-y)2,且x+y>0,(x-y)2≥0,‎ 所以x3+y3-(x2y+y2x)≥0,‎ 故x3+y3≥x2y+y2x.‎ ‎(2)解①若xy<0,则等价于.‎ 又因为=-3,‎ 即<-3,‎ 因此m>-6.‎ ‎②若xy>0,则等价于.‎ 因为=1,即≥1(当且仅当x=y时,等号成立),故m≤2.‎ 10‎ 综上所述,实数m的取值范围是(-6,2].‎ ‎21.导学号26394075(本小题满分12分)设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)≥2;‎ ‎(2)当x∈R,00,‎ ‎=‎2m-1>0,‎ ‎∴m≥5,‎ 即实数m的取值范围是[5,+∞).‎ 10‎