2015年数学理高考课件2-1 函数及其表示 29页

第二章　函数、导数及其应用 [ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．　 2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 ( 如图象法、列表法、解析法 ) 表示函数．　 3. 了解简单的分段函数，并能简单应用． 第一节　函数及其表示 函数与映射的概念 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 　 函数与映射的区别与联系 (1) 函数是特殊的映射，其特殊性在于集合 A 与集合 B 只能是非空数集，即函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映射； (2) 映射不一定是函数，从 A 到 B 的一个映射是数集，则这个映射便不是函数． 解析： a ＝ 1 ， b ＝ 0 ， ∴ a ＋ b ＝ 1. 答案： C 函数的有关概念及表示 1 ．函数的定义域、值域 在函数 y ＝ f ( x ) ， x ∈ A 中， x 叫做自变量， 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 叫做函数的值域．显然，值域是集合 B 的子集． 2 ．函数的三要素： 、 和 ． 3 ．函数的表示方法 表示函数的常用方法有： 、 和 ． x 的取值范围 A 函数值的集合 定义域 值域 对应关系 解析法 列表法 图象法 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 　 判断两个函数是否为相同函数，抓住以下两点 (1) 定义域是否相同； (2) 对应关系即解析式是否相同 ( 注意解析式可以等价化简 ) ．只有定义域和对应关系都相同的两个函数才是相同函数． 解析： A 、 B 、 D 中两函数定义域不同． 答案： C 3 ．图中阴影部分的面积 S 是 h 的函数 (0 ≤ h ≤ H ) ，则该函数的大致图象是 ( 　　 ) 解析： 由图知，随着 h 的增大，阴影部分的面积 S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选 B. 答案： B 分段函数 1 ．若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2 ．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 对应关系 并集 并集 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．分段函数实质上是一个函数，其定义域、值域为各段定义域、值域的并集． 2 ．分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点． 答案： D 函数定义域 [ 答案 ] 　 (0,1] 反思总结 求函数的定义域时，应注意 (1) 不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化． (2) 当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集． (3) 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用 “ 或 ” 连接，而应该用并集符号 “ ∪ ” 连接． 函数解析式的求法 【 例 2】 　 (1) 已知 f ( x ＋ 1) ＝ x 2 ＋ 4 x ＋ 1 ，求 f ( x ) 的解析式． (2) 已知 f ( x ) 是一次函数，且满足 3 f ( x ＋ 1) － f ( x ) ＝ 2 x ＋ 9 ，求 f ( x ) ． [ 解析 ] 　 (1) 解法一　 ( 换元法 ) 设 x ＋ 1 ＝ t ，则 x ＝ t － 1 ， ∴ f ( t ) ＝ ( t － 1) 2 ＋ 4( t － 1) ＋ 1 ， 即 f ( t ) ＝ t 2 ＋ 2 t － 2. ∴ 所求函数为 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x － 2. 答案： B 分段函数求值 [ 答案 ] 　 A 反思总结 1 ． 求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值． 2 ．若给出函数值或函数值的范围求的变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解．但要注意检验，是否符合相应段的自变量的取值范围． 解析： ∵ x <1 ， f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 ， ∴ f (0) ＝ 2. 由 f ( f (0)) ＝ 4 a ，得 f (2) ＝ 4 a ， ∵ x ≥ 1 ， f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ， ∴ 4 a ＝ 4 ＋ 2 a ，解得 a ＝ 2. 答案： C —— 分类讨论思想在分段函数中的应用 由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现． [ 答案 ] 　 C 由题悟道 1 ． 解决本题时，由于 a 的取值不同限制了 f ( a ) 的表达，从而对 a 进行分类讨论． 2 ．运用分类讨论的思想解题的基本步骤 (1) 确定讨论对象和确定研究的区域； (2) 对所讨论的问题进行合理的分类 ( 分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级 ) ； 解析： 当 x <1 时， 2 － x >4 ，即 x < － 2 ；当 x ≥ 1 时， x 2 >4 ，即 x >2. 故 x 的取值范围是 ( － ∞ ，－ 2) ∪ (2 ，＋ ∞ ) ． 答案： ( －∞，－ 2) ∪ (2 ，＋∞ ) 本小节结束 请按 ESC 键返回