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- 2021-06-30 发布
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第
4
节 三角函数的图象与性质
知
识
梳
理
1.
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(π
,-
1)
2.
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
(
下表中
k
∈
Z
)
函数
y
=
sin
x
y
=
cos
x
y
=
tan
x
图象
定义域
R
R
_________________________________________
值域
_____________
_____________
R
最小正周期
_____________
_____________
_____________
[
-
1
,
1]
[
-
1
,
1]
2π
2π
π
奇函数
偶函数
[2
k
π
-
π
,
2
k
π]
[2
k
π
,
2
k
π
+
π]
(
k
π
,
0)
x
=
k
π
诊
断
自
测
1.
判断下列结论正误
(
在括号内打
“√”
或
“×”
)
(1)
余弦函数
y
=
cos
x
的对称轴是
y
轴
.(
)
(2)
正切函数
y
=
tan
x
在定义域内是增函数
.(
)
(3)
已知
y
=
k
sin
x
+
1
,
x
∈
R
,则
y
的最大值为
k
+
1.(
)
(4)
y
=
sin|
x
|
是偶函数
.(
)
解析
(1)
余弦函数
y
=
cos
x
的对称轴有无穷多条,
y
轴只是其中的一条
.
(3)
当
k
>0
时,
y
max
=
k
+
1
;当
k
<0
时,
y
max
=-
k
+
1.
答案
(1)
×
(2)
×
(3)
×
(4)
√
2.
(
新教材必修第一册
P213T3
改编
)
下列函数中,是奇函数的是
(
)
A.
y
=
|cos
x
+
1| B.
y
=
1
-
sin
x
C.
y
=-
3sin(2
x
+
π) D.
y
=
1
-
tan
x
解析
选项
A
中的函数是偶函数,选项
B
,
D
中的函数既不是奇函数,也不是偶函数;因为
y
=-
3sin(2
x
+
π)
=
3sin 2
x
,所以是奇函数,选
C.
答案
C
5.
(2019·
北京卷
)
函数
f
(
x
)
=
sin
2
2
x
的最小正周期是
________.
考点一 三角函数的定义域
规律方法
三角函数与基本初等函数复合,求其定义域,一般有以下几种情形:
(1)
分式中的分母不为零;
(2)
偶次方根下的数
(
或式
)
大于等于零;
(3)
指数式的底数大于零且不等于
1
;
(4)
对数式的底数大于零且不等于
1
,真数大于零;
(5)
由几部分数学式子组成的,那么函数的定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集
.
法二
利用三角函数线,画出满足条件的终边范围
(
如图阴影部分所示
).
考点二 三角函数的值域
(
最值
)
(2)
函数
y
=
sin
x
-
cos
x
+
sin
x
cos
x
的值域为
________.
(2)
设
t
=
sin
x
-
cos
x
,则
t
2
=
sin
2
x
+
cos
2
x
-
2sin
x
cos
x
,
考点三 三角函数的周期性与对称性
多维探究
角度
1
三角函数的周期性
【例
3
-
1
】
(1)
函数
f
(
x
)
=
|tan
x
|
的最小正周期是
______.
解析
(1)
y
=
|tan
x
|
的图象是
y
=
tan
x
的图象保留
x
轴上方部分,并将下方的部分翻折到
x
轴上方得到的,所以其最小正周期为
π.
角度
2
三角函数图象的对称性
答案
(1)C
(2)3
考点四 三角函数的单调性
多维探究
角度
1
求三角函数的单调区间
规律方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
形式,再求
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的单调区间,只需把
ωx
+
φ
看作一个整体代入
y
=
sin
x
的相应单调区间内即可,注意要先把
ω
化为正数
.
角度
2
根据三角函数的单调性求参数
规律方法
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数
ω
的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷
.
答案
(1)D
(2)A
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