高考数学专题复习练习：9-1 专项基础训练 6页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．(2017·陕西西安音乐学院附中等校期末联考)若ab＜0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A.　　　　　　　　　B. C. D. ‎【解析】 由题意kPQ＝＝，∵ab＜0，∴kPQ＜0.设直线PQ的倾斜角为α，则tan α＝kPQ＜0，∴α∈.故选B.‎ ‎【答案】 B ‎2．(2016·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A. B. C.∪ D.∪ ‎【解析】 依题意，直线的斜率k＝－∈[－1，0)，因此其倾斜角的取值范围是.‎ ‎【答案】 B ‎3．(2017·西安临潼区模拟)已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是(　　)‎ A．0 B．2‎ C. D．1‎ ‎【解析】 直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和，此直线在x轴，y轴上的截距和为a＋≥2，当且仅当a＝1时，等号成立．故当直线x＋a2y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1，故选D.‎ ‎【答案】 D ‎4．(2016·湖北襄阳期中)已知△ABC的三顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M 为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　)‎ A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0‎ C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0‎ ‎【解析】 由题意结合中点坐标公式，得M(2，4)，N(3，2)．由两点式可得方程为＝，化为一般式，得2x＋y－8＝0，故选A.‎ ‎【答案】 A ‎5．(2017·江西九江二模)过点P(－2，2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，则这样的直线l一共有(　　)‎ A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 ‎【解析】 假设存在过点P(－2，2)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8.设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，即2a－2b＝ab.‎ 直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S＝－ab＝8，即ab＝－16.‎ 联立解得 故直线l的方程为＋＝1，即x－y＋4＝0，即这样的直线有且只有一条，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎6．(2017·黑龙江哈六中月考)过点P(3，0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中心，则直线l的方程为________．‎ ‎【解析】 (1)当k不存在时，l：x＝3不满足题意；(2)当k存在时，设直线l：y＝k(x－3)，可得A，B.由中点坐标公式得k＝8，所以直线l的方程为y＝8x－24.‎ ‎【答案】 y＝8x－24‎ ‎7．(2017·河南郑州一中月考)若点P为x轴上的一点A(1，1)，B(3，4)，则|PA|＋|PB|的最小值是________．‎ ‎【解析】 点A(1，1)关于x轴的对称点为A′(1，－1)，则|PA|＋|PB|的最小值是线段A′B的长，为.‎ ‎【答案】 ‎8．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________．‎ ‎【解析】 当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；‎ 当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－＞1或者－＜0即可，‎ 解得－1＜a＜－或者a＜－1或者a＞0.‎ 综上可知，实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．‎ ‎【答案】 ∪(0，＋∞)‎ ‎9．设直线l：(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0(m≠－1)，根据下列条件分别确定m的值：‎ ‎(1)直线l在x轴上的截距为－3；‎ ‎(2)直线l的斜率为1.‎ ‎【解析】 (1)∵l在x轴上的截距为－3，‎ ‎∴－2m＋6≠0，即m≠3，又m≠－1，‎ ‎∴m2－2m－3≠0.‎ 令y＝0，得x＝，‎ 由题意知，＝－3，‎ 解得m＝－.‎ ‎(2)由题意知2m2＋m－1≠0，‎ 且－＝1，解得m＝.‎ ‎10．已知点P(2，－1)．‎ ‎(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；‎ ‎(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？‎ ‎(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，‎ 此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.‎ 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，‎ 即kx－y－2k－1＝0.‎ 由已知得＝2，‎ 解得k＝.‎ 此时l的方程为3x－4y－10＝0.‎ 综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.‎ ‎ (2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示．‎ 由l⊥OP，得klkOP＝－1，‎ 所以kl＝－＝2.‎ 由直线方程的点斜式，‎ 得y＋1＝2(x－2)，‎ 即2x－y－5＝0.‎ 所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.‎ ‎(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：25分钟)‎ ‎11．(2017·广州模拟)已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝(　　)‎ A．2或 B.或－1‎ C. D．－1‎ ‎【解析】 ∵直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，∴2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得a＝或a＝－1.故选B.‎ ‎【答案】 B ‎12．(2017·四川成都新津中学月考)若点P(1，1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为________．‎ ‎【解析】 ∵P(1，1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，圆心与P 点确定的直线斜率为＝－，∴弦MN所在直线的斜率为2，则弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.‎ ‎【答案】 2x－y－1＝0‎ ‎13．(2017·河南豫东、豫北十校联考)△ABC的三个顶点为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，则边BC的垂直平分线DE的方程为________．‎ ‎【解析】 设BC中点D的坐标为(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2，即(0，2)．∵直线BC的斜率k1＝－，∴BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，∴直线DE的方程为2x－y＋2＝0.‎ ‎【答案】 2x－y＋2＝0‎ ‎14．如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．‎ ‎【解析】 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，‎ kOB＝tan(180°－30°)＝－，‎ 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.‎ 设A(m，m)，B(－n，n)，‎ 所以AB的中点C，‎ 由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得 解得m＝，所以A(，)．‎ 又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，‎ 所以lAB：y＝(x－1)，‎ 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.‎ ‎15．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．‎ ‎【解析】 (1)证明 直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ 令解得 ‎∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1)．‎ ‎(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.‎ ‎(3)由l的方程，得A，B(0，1＋2k)．‎ 依题意得 解得k＞0.‎ ‎∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，‎ ‎∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎