浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第3节空间点直线平面之间的位置关系含解析 16页

第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系 考试要求　1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.平面的基本性质 ‎(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.‎ ‎(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.‎ ‎(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.‎ ‎2.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 a⊂α ‎3.平行公理(公理4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.‎ 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.‎ ‎4.异面直线所成的角 ‎(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).‎ ‎(2)范围：.‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.‎ ‎2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.‎ ‎3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(　　)‎ ‎(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　)‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(　　)‎ ‎(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.(　　)‎ 解析　(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.‎ ‎(4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.90°‎ 解析　连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.‎ 答案　C ‎3.在下列命题中，不是公理的是(　　)‎ A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析　选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的.‎ 答案　A ‎4.已知直线a，b分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α 和平面β相交”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.‎ 答案　A ‎5.若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________.‎ 答案　b与α相交或b∥α或b⊂α ‎6.如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c的位置关系是________；b与c的位置关系是________.‎ 答案　a∥c　b∥c 考点一　平面的基本性质及应用 ‎【例1】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点.求证：‎ ‎(1)E，C，D1，F四点共面；‎ ‎(2)CE，D1F，DA三线共点.‎ 证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.‎ 又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，‎ ‎∴E，C，D1，F四点共面.‎ ‎(2)∵EF∥CD1，EF