高考数学专题复习练习：6-2 专项基础训练 6页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．(2016·泉州模拟)等差数列{an}的前三项为x－1，x＋1，2x＋3，则这个数列的通项公式为(　　)‎ A．an＝2n－5　　　　　　 B．an＝2n－3‎ C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1‎ ‎【解析】 ∵等差数列{an}的前三项为x－1，x＋1，2x＋3，‎ ‎∴2(x＋1)＝(x－1)＋(2x＋3)，解得x＝0.∴a1＝－1，a2＝1，d＝2，故an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3.‎ ‎【答案】 B ‎2．(2016·东北三省联考)现给出以下几个数列：①2，4，6，8，…，2(n－1)，2n；②1，1，2，3，…，n；③常数列a，a，a，…，a；④在数列{an}中，已知a2－a1＝2，a3－a2＝2.其中等差数列的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】 ①由4－2＝6－4＝…＝2n－2(n－1)＝2，得数列2，4，6，8，…，2(n－1)，2n为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1，1，2，3，…，n不是等差数列；③常数列a，a，a，…，a为等差数列；④当数列{an}仅有3项时，数列{an}是等差数列，当数列{an}的项数超过3项时，数列{an}不一定是等差数列，故等差数列的个数为2.‎ ‎【答案】 B ‎3．(2016·山东齐鲁名校第二次联考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S5＝15，若的前n项和为，则n的值为(　　)‎ A．8 B．9‎ C．10 D．11‎ ‎【解析】 因为S5＝15，{an}为等差数列，所以a3＝3，又a2＝2，所以公差d＝1，an＝n.所以＋＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝9.‎ ‎【答案】 B ‎4．(2016·西安八校联考)在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为(　　)‎ A．37 B．36‎ C．20 D．19‎ ‎【解析】 am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37.‎ ‎【答案】 A ‎5．(2016·陕西质量监测)已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1＜0，则正整数k＝(　　)‎ A．21 B．22‎ C．23 D．24‎ ‎【解析】 3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－⇒{an}是等差数列，则an＝－n.∵ak＋1·ak＜0，‎ ‎∴＜0，∴＜k＜，∴k＝23.‎ ‎【答案】 C ‎6．(2016·唐山期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________．‎ ‎【解析】 设数列{an}的公差为d，S3＝6，S4＝12，‎ ‎∴ ‎∴ ‎∴S6＝6a1＋d＝30.‎ ‎【答案】 30‎ ‎7．(2016·海淀模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8.若an＝0，则n＝________．‎ ‎【解析】 ∵a3＋a9＝a10－a8，‎ ‎∴a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，解得a1＝－4d，‎ ‎∴an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d，‎ 令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5.‎ ‎【答案】 5‎ ‎8．(2016·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________．‎ ‎【解析】 由等差数列性质可得a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0，‎ ‎∴d＝＝－2，∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.‎ ‎【答案】 6‎ ‎9．(2016·南昌调研)设数列{an}的前n项和为Sn，4Sn＝a＋2an－3，且a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，当n≥5时，an＞0.‎ ‎(1)求证：当n≥5时，{an}成等差数列；‎ ‎(2)求{an}的前n项和Sn.‎ ‎【解析】 (1)证明　由4Sn＝a＋2an－3，4Sn＋1＝a＋2an＋1－3，‎ 得4an＋1＝a－a＋2an＋1－2an，‎ 即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.‎ 当n≥5时，an＞0，所以an＋1－an＝2，‎ 所以当n≥5时，{an}成等差数列．‎ ‎(2)由4a1＝a＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1，‎ 又a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，‎ 所以an＋1＋an＝0(n≤5)，q＝－1，‎ 而a5＞0，所以a1＞0，从而a1＝3，‎ 所以an＝ 所以Sn＝ ‎10．(2016·济南模拟)等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？‎ ‎【解析】 方法一　由S3＝S11得 ‎3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.‎ 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，‎ 又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，Sn最大．‎ 方法二　由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，Sn最大．‎ 方法三　由方法一可知，d＝－a1.‎ 要使Sn最大，则有 即 解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．‎ 方法四 由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，‎ 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，‎ 故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，‎ 所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大．‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：20分钟)‎ ‎11．(2016·浙江卷)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)‎ A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列 C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列 ‎【解析】 由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列．故选A.‎ ‎【答案】 A ‎12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，则正整数k＝________．‎ ‎【解析】 Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝－，‎ 又Sk＋1＝ ‎＝ ‎＝－，‎ 解得k＝13.‎ ‎【答案】 13‎ ‎13．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．‎ ‎【解析】 ∵{an}，{bn}为等差数列，‎ ‎∴＋＝＋＝＝.‎ ‎∵＝＝＝＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎【答案】 ‎14．(2016·青岛二模)已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：是等差数列；‎ ‎(2)求an的表达式．‎ ‎【解析】 (1)证明　∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，‎ 又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.‎ 因此－＝2(n≥2)．‎ 故由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，‎ 即Sn＝.‎ 由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－，‎ 又∵a1＝，不适合上式．‎ ‎∴an＝ ‎15．(2016·咸阳模拟)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.‎ ‎(1)求通项an；‎ ‎(2)求Sn的最小值；‎ ‎(3)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.‎ ‎【解析】 (1)因为数列{an}为等差数列，‎ 所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，‎ 所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，‎ 又公差d＞0，所以a3＜a4，‎ 所以a3＝9，a4＝13，‎ 所以所以 所以通项an＝4n－3.‎ ‎(2)由(1)知a1＝1，d＝4，‎ 所以Sn＝na1＋×d＝2n2－n ‎＝2－.‎ 所以当n＝1时，Sn最小，‎ 最小值为S1＝a1＝1.‎ ‎(3)由(2)知Sn＝2n2－n，‎ 所以bn＝＝，‎ 所以b1＝，b2＝，b3＝.‎ 因为数列{bn}是等差数列，‎ 所以2b2＝b1＋b3，‎ 即×2＝＋，‎ 所以2c2＋c＝0，‎ 所以c＝－或c＝0(舍去)，‎ 经验证c＝－时，{bn}是等差数列，‎ 故c＝－.‎