2020_2021学年新教材高中数学第六章统计2抽样的基本方法2 28页

2.2 　分层随机抽样 激趣诱思 知识点拨 某电视台在互联网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查 , 参加调查的总人数为 12 000 人 , 其中持各种态度的人数分别为 : 很喜欢 4 800 人 , 喜欢 3 600 人 , 一般 1 800 人 , 不喜欢 1 800 人 . 电视台为进一步了解观众的具体想法和意见 , 打算 从 这 12 000 人中抽取 60 人进行更为详细的调查 , 应采取什么样的抽样方法呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一、分层随机抽样 1 . 定义 将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型 ( 有时称作层 ), 然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体 , 这种抽样方法通常叫作分层随机抽样 . 2 . 特点 (1) 分层随机抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成 ; (2) 分成的各层互不重叠 ; (3) 各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例 , 即 , 其中 n 为样本容量 , N 为总体 容量 中的个体数 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 关于分层随机抽样应注意的问题 (1) 分层随机抽样中分多少层 , 如何分层要视具体情况而定 , 总的原则是每层内样本的差异要小 , 不同层之间样本的差异要大 , 且互不重叠 . (2) 每一层抽取的个体数由样本容量乘以这一层的个体数在总体中所占的比例得到 . (3) 各层抽样可以按简单随机抽样进行 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 1 分层随机抽样中要将总体中层次分明的几部分分层按比例抽取 , 其中 “ 比例 ” 一词如何理解 ?     微思考 2 分层随机抽样有什么优点 ? 提示 : 可从两个方面理解 : 一是所抽取样本中各层个体数之比与总体中各层个体数之比相同 ; 二是每层所抽个体数与该层个体总数之比等于样本容量与总体容量之比 . 提示 : 分层随机抽样时 , 每个个体被抽到的机会是均等的 , 而且样本更有较好的代表性 . 激趣诱思 知识点拨 二、分层随机抽样的步骤 1 . 分层 : 根据已经掌握的信息 , 按某种标准将总体分成互不交叉的若干部分 . 2 . 求比 : 根据总体中的个数 N 和样本容量 n 计算抽样比 K = . 3 . 定数 : 确定第 i 层应该抽取的个体数为 n i =N i -K ( N i 是第 i 层所包含的个体数 ), 使得各层抽取的样本之和等于样本容量 n. 4 . 抽样 : 按照第三步中确定的应在各层抽取的个体数 , 分别在各层抽取样本 , 然后合在一起就得到所需要抽取的容量为 n 的样本 . 激趣诱思 知识点拨 解 : 由于一级、二级、三级产品的数量之比为 24 ∶ 36 ∶ 60 = 2 ∶ 3 ∶ 5, 所以应分别从一级、二级、三级产品中抽 微练习 设有 120 件产品 , 其中一级品有 24 件 , 二级品有 36 件 , 三级品有 60 件 , 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本 , 则在每一级产品中应各抽取多少件 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分层随机抽样的概念 例 1 (1) 下列问题中 , 最适合用分层随机抽样抽取样本的是 ( 　　 ) A. 从 10 名同学中抽取 3 人参加座谈会 B. 一次数学竞赛中 , 某班有 10 人在 110 分以上 ,40 人在 90 ~ 100 分 ,12 人低于 90 分 , 现从中抽取 12 人了解有关情况 C. 从 某校 1 000 名 高中一年级学生 中 , 抽取 100 名调查 上 学 途中 所用时间 D. 从生产流水线上 , 抽取样本检查产品质量 (2) 分层随机抽样将相似的个体归入一类 ( 层 ), 然后每类抽取若干个个体构成样本 , 所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样 , 必须进行 ( 　　 ) A. 每层等可能抽样 B. 每层可以不等可能抽样 C. 所有层按同一抽样 比 例 等 可能抽样 D. 所有层抽取的个体数量相同 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : (1) B 　 (2) C 　 解析 : (1)A 中总体个体无明显差异且个数较少 , 适合用简单随机抽样 ;C 和 D 中总体个体无明显差异且个数较多 , 不适合用分层随机抽样 ;B 中总体个体差异明显 , 适合用分层随机抽样 . (2) 保证每个个体等可能的被抽取是简单随机抽样与分层随机抽样的共同特征 , 为了保证这一点 , 分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 使用分层随机抽样的前提 分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层 , 层与层之间有明显区别 , 而层内个体间差异较小 . 2 . 使用分层随机抽样应遵循的原则 (1) 将相似的个体归入一类 , 即为一层 , 分层要求每层的各个个体互不交叉 , 即遵循不重复、不遗漏的原则 ; (2) 分层随机抽样为保证每个个体等可能入样 , 需遵循在各层中进行简单随机抽样 , 每层样本数量与每层个体数量的比等于样本容量与总体中个体数的比 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 某学校有男、女学生各 500 名 , 为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异 , 拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查 , 则宜采用的抽样方法是 　　　　 .   答案 : 分层随机抽样 　 解析 : 由于被抽取的个体属性有明显的差异 , 因此宜采用分层随机抽样 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分层随机抽样的方案设计 例 2 一个单位有职工 500 人 , 其中不到 35 岁的有 125 人 ,35 岁至 49 岁的有 280 人 ,50 岁及 50 岁以上的有 95 人 , 为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标 , 要从中抽取 100 名职工作为样本 , 职工年龄与这项指标有关 , 应该怎样抽取 ? 分析 观察特征 , 确定 抽样方法 → 分层求比例 , 确定 各层样本数 → 从各层 中抽取 样本 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 因为职工年龄与这项指标有关 , 故采用分层随机抽样 . 步骤如下 : (1) 分层 . 按年龄将职工分成三层 : 不到 35 岁的职工 ;35 岁至 49 岁的职工 ;50 岁及 50 岁以上的职工 . (3) 在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本 . (4) 综合每层抽样 , 组成样本 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 应用分层随机抽样的解题策略 1 . 在 分层 随机 抽样 的过程中 , 为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的 , 这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比 , 即 n i ∶ N i =n ∶ N. 2 . 分层后 , 可采用简单随机抽样取出各层中的个体 , 一定要注意按比例抽取 . 当抽样比不是整数时 , 可在该层随机剔除部分个体 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 某工厂有在编人员 100 人 , 其中副处级以上干部 10 人 , 一般干部 70 人 , 工人 20 人 . 上级部门为了了解他们对机构改革的意见 , 要从中抽取一个容量为 20 的样本 , 试确定用何种方法抽取 , 请具体实施操作 . 解 : 因机构改革关系到每个人的不同利益 , 故采用分层抽样方法较合适 . ∴ 从副处级以上干部中抽取 2 人 , 从一般干部中抽取 14 人 , 从工人中抽取 4 人 . 副处级以上干部与工人人数都较少 , 把他们分别按 1 ~ 10 编号和 1 ~ 20 编号 , 然后采用抽签法分别抽取 2 人和 4 人 ; 对一般干部 70 人进行 00,01, … ,69 编号 , 然后用随机数法抽取 14 人 . 这样便得到了一个容量为 20 的样本 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 抽样方法的综合应用 例 3 选择合适的抽样方法抽样 , 写出抽样过程 . (1) 有甲厂生产的 30 个篮球 , 其中一箱 21 个 , 另一箱 9 个 , 抽取 3 个 ; (2) 有 30 个篮球 , 其中甲厂生产的有 21 个 , 乙厂生产的有 9 个 , 抽取 10 个 ; (3) 有甲厂生产的 300 个篮球 , 抽取 10 个 . 下面给出的是随机数表中的第 8 行到第 12 行 2 7 4 8 　 6 1 9 8 　 7 1 6 4 　 4 1 4 8 　 7 0 8 6 　 2 8 8 8 　 8 5 1 9 　 1 6 2 0 7 4 7 7 　 0 1 1 1 　 1 6 3 0 　 2 4 0 4 　 2 9 7 9 　 7 9 9 1 　 9 6 8 3 　 5 1 2 5 5 3 7 9 　 7 0 7 6 　 2 6 9 4 　 2 9 2 7 　 4 3 9 9 　 5 5 1 9 　 8 1 0 6 　 8 5 0 1 9 2 6 4 　 4 6 0 7 　 2 0 2 1 　 3 9 2 0 　 7 7 6 6 　 3 8 1 7 　 3 2 5 6 　 1 6 4 0 5 8 5 8 　 7 7 6 6 　 3 1 7 0 　 0 5 0 0 　 2 5 9 3 　 0 5 4 5 　 5 3 7 0 　 7 8 1 4 分析 应结合两种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样方法解决问题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 总体容量较小 , 用抽签法 . ① 将 30 个篮球编号 , 编号为 00,01, … ,29; ② 将以上 30 个编号分别写在完全一样的小纸条上 , 揉成小球 , 制成号签 ; ③ 把号签放入一个不透明的袋子中 , 充分搅拌 ; ④ 从袋子中逐个抽取 3 个号签 , 并记录上面的号码 ; ⑤ 找出和所得号码对应的篮球即可得到样本 . (2) 总体由差异明显的两个层次组成 , 需选用分层随机抽样 . ② 用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球 7 个 , 乙厂生产的篮球 3 个 , 这些篮球便组成了我们要抽取的样本 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (3) 总体容量较大 , 样本容量较小 , 宜用随机数法 . ① 将 300 个篮球用随机方式编号 , 编号为 001,002, … ,300; ② 在随机数表中随机地确定一个数作为开始 , 如第 8 行第 29 列的数 “9” 开始 . 任选一个方向作为读数方向 , 比如向右读 ; ③ 从数 “9” 开始向右读 , 每次读三位 , 凡不在 001 ~ 300 中的数跳过去不读 , 遇到已经读过的数也跳过去不读 , 依次得到 10 个号码 , 这就是所要抽取的 10 个样本个体的号码 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 抽样方法的选取 1 . 若总体由差异明显的几个层次组成 , 则选用分层随机抽样 ; 2 . 若总体没有差异明显的层次 , 则考虑采用简单随机抽样 . 当 总体 中个体数 较小 时宜用抽签法 ; 当 总体 中个体数 较大 , 样本容量较小时宜用随机数法 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式 训练 3 下列 问题中 , 采用怎样的抽样方法较为合理 ? (1) 从 10 台电冰箱中抽取 3 台进行质量检查 ; (2) 某学校有 160 名教职工 , 其中教师 120 名 , 行政人员 16 名 , 后勤人员 24 名 , 为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见 , 拟抽取一个容量为 20 的样本 . 解 : (1) 抽签法 , 总体中个体数较小 , 宜用抽签法 . (2) 分层随机抽样 , 由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大 , 用分层随机抽样 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分层随机抽样的有关样本计算 典例 某商场有四类食品 , 其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、 10 种、 30 种、 20 种 , 现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测 , 若采用分层随机抽样的方法抽取样本 , 则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ( 　　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 解决分层随机抽样中的容量问题 , 关键是求出抽样比 , 即 样本 中个体数 与 总体容量的比 . 由分层随机抽样的特点可知 : , 这是求解分层随机抽样中有关容量问题的依据 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 某班有 60 名学生 , 其中男生有 40 人 , 现将男、女学生用分层随机抽样法抽取 12 人观看校演讲总决赛 , 则该班中被抽取观看校演讲总决赛的女生人数为 ( 　　 ) A.8 B.6 C.4 D.2 答案 : C 　 解析 : 某班有 60 名学生 , 其中男生有 40 人 , 则女生 20 人 , 男女生人数之比为 2 ∶ 1, 抽取的 12 人 , 女生人数为 12 × = 4 人 . 故选 C . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 某次娱乐节目中有 A , B , C 三个方阵 , 其人数之比为 3 ∶ 3 ∶ 4, 现用分层随机抽样方法抽出一个容量为 n 的样本 , 方阵 A 被抽出人数为 12 人 , 则此样本容量 n 为 ( 　　 ) A.20 B.25 C.30 D.40 答案 : D 　 解析 : 因为 A , B , C 三个方阵 , 其人数之比为 3 ∶ 3 ∶ 4, 现用分层随机抽样方法抽出一个容量为 n 的样本 , 则 A 方阵抽取的人数占样本容量 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、 120 个、 180 个、 150 个销售点 , 公司为了调查产品销售的情况 , 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本 , 记这项调查为 (1); 在丙地区中有 20 个特大型销售点 , 要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况 , 记这项调查为 (2) . 则完成 (1) 、 (2) 这两项调查宜采用的抽样方法依次是 　　　　 、 　　　　 .   答案 : 分层随机抽样 　 简单随机抽样 　 解析 : ① 对应 的总体明显分成互不交叉的四层 , 即甲 , 乙 , 丙 , 丁四个地区 , 故用分层随机抽样 . ② 对应 的总体容量较少 , 故用简单随机抽样 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . (2020 重庆高三月考 ) 脱贫攻坚是一项历史性工程 , 精准脱贫是习近平总书记给扶贫工作的一剂良方 . 重庆市贫困人口分布相对集中 , 截至目前 , 渝东北地区贫困户占全市贫困户 48%, 渝东南地区贫困户占全市贫困户 32%, 为精准了解重庆市贫困户现状 ,“ 脱贫攻坚 ” 课题组拟深入到其中 25 户贫困户家中调研 , 若按地区采用分层随机抽样的方法分配被调研的贫困户 , 课题组应到其他地区 ( 除渝东南和渝东北地区外 ) 调研的贫困户的户数是 　　　　 .   答案 : 5 　 解析 : 渝 东南和渝东北地区贫困户占全市的 48% + 32% = 80%, 故其他地区贫困户占全市的 20% . 故课题组应到其他地区 ( 除渝东南和渝东北地区外 ) 调研的贫困户的户数是 25 × 20% = 5 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 某企业共有 3 200 名职工 , 其中青、中、老年职工的比例为 3 ∶ 5 ∶ 2 . 若从所有职工中抽取一个容量为 400 的样本 , 则采用哪种抽样方法更合理 ? 青、中、老年职工应分别抽取多少人 ? 解 : 因为总体由差异明显的三部分 ( 青、中、老年 ) 组成 , 所以采用分层随机抽样的方法更合理 . 因为青、中、老年职工的比例是 3 ∶ 5 ∶ 2, 所以应分别抽取 :