高考数学专题复习练习：8-6 专项基础训练 9页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．在下列命题中：‎ ‎①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；‎ ‎②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；‎ ‎③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；‎ ‎④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝x a＋y b＋z c.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　　B．1‎ C．2 D．3‎ ‎【解析】 a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝x a＋y b＋z c，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.‎ ‎【答案】 A ‎2．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)‎ A．－2 B．－ C. D．2‎ ‎【解析】 由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，‎ 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.‎ ‎【答案】 D ‎3．(2017·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)‎ A．a2 B.a2‎ C.a2 D.a2‎ ‎【解析】 ·＝(＋)· ‎＝(·＋·)‎ ‎＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.‎ ‎【答案】 C ‎4．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)‎ A．2， B．－， C．－3，2 D．2，2‎ ‎【解析】 ∵a∥b，∴b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，‎ ‎∴解得或 ‎【答案】 A ‎5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则异面直线a，b所成的角等于(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ ‎【解析】 如图，设＝a，＝b，＝c，‎ 则＝a＋b＋c，‎ 所以cos〈，〉＝＝，‎ 所以异面直线a，b所成的角等于60°，故选C.‎ ‎【答案】 C ‎6．在空间四边形ABCD中，则·＋·＋·的值为________．‎ ‎【解析】 方法一 如图，令＝a，＝b，＝c，‎ 则·＋·＋· ‎＝·(－)＋·(－)＋·(－)‎ ‎＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)‎ ‎＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.‎ 方法二 如图，在三棱锥ABCD中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直．‎ ‎∴·＝0，·＝0，·＝0.‎ ‎∴·＋·＋·＝0.‎ ‎【答案】 0‎ ‎7．A，B，C，D是空间不共面四点，且·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．‎ ‎【解析】 因为·＝(－)·(－)‎ ‎＝·－·－·＋2‎ ‎＝2＞0，‎ 所以∠CBD为锐角．‎ 同理∠BCD，∠BDC均为锐角．‎ ‎【答案】 锐角 ‎8．(2017·晋江一模)设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为________．‎ ‎【解析】 如图所示，取BC的中点E，连接AE.‎ ＝ ‎＝(＋)‎ ‎＝＋ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－＋－)‎ ‎＝(＋＋)，‎ ‎∴x＝y＝z＝.‎ ‎【答案】 ‎9．(2017·天津模拟)已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.‎ ‎(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；‎ ‎(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．‎ ‎【解析】 (1)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，‎ ‎∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，‎ 又|a|＝＝，‎ ‎|b|＝＝，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝－，‎ 即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.‎ ‎(2)方法一 ∵ka＋b＝(k－1，k，2)．‎ ka－2b＝(k＋2，k，－4)，‎ 且ka＋b与ka－2b互相垂直，‎ ‎∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)‎ ‎＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，‎ ‎∴k＝2或k＝－，‎ ‎∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，‎ 实数k的值为2或－.‎ 方法二 由(1)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，‎ ‎∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2‎ ‎＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－.‎ ‎∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－.‎ ‎10．如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.‎ ‎(1)写出点E，F的坐标；‎ ‎(2)求证：A1F⊥C1E；‎ ‎(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.‎ ‎【解析】 (1)E(a，x，0)，F(a－x，a，0)．‎ ‎(2)证明 ∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，‎ ‎∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，‎ ‎∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴A1F⊥C1E.‎ ‎(3)证明 ∵A1，E，F，C1四点共面，‎ ‎∴，，共面．‎ 选A1E与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，‎ 即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)‎ ‎＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，‎ ‎∴ 解得λ1＝，λ2＝1.‎ 于是＝＋.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(　　)‎ A．(4，0，3) B．(3，1，3)‎ C．(1，2，3) D．(2，1，3)‎ ‎【解析】 设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为x，y，z.‎ 则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z c ‎＝(x＋y)a＋(x－y)b＋z c，①‎ 因为p在{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)‎ ‎∴p＝4a＋2b＋3c，②‎ 由①②得∴ 即p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3，1，3)．‎ ‎【答案】 B ‎12．已知ABCDA1B1C1D1为正方体，‎ ‎①(＋＋)2＝32；‎ ‎②·(－)＝0；‎ ‎③向量与向量的夹角是60°；‎ ‎④正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|··|.‎ 其中正确命题的序号是________．‎ ‎【解析】 ①中(＋＋)2＝2＋2＋2＝3()2，故①正确；‎ ‎②中－＝，∵AB1⊥A1C，故②正确；‎ ‎③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；‎ ‎④中|··|＝0，故④也不正确．‎ ‎【答案】 ①②‎ ‎13．(2015·浙江)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，|b－(x e1＋y e2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________．‎ ‎【解析】 方法一 对于任意x，y∈R，|b－(x e1＋y e2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，说明当x＝x0，y＝y0时，|b－(x e1＋y e2)|取得最小值1.‎ ‎|b－(x e1＋y e2)|2＝|b|2＋(x e1＋y e2)2－2b·(x e1＋y e2)＝|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y，要使|b|2＋x2＋y2＋xy－4x－5y取得最小值，需要把x2＋y2＋xy－4x－5y看成关于x的二次函数，即f(x)＝x2＋(y－4)x＋y2－5y，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝2－，所以当x＝2－时，f(x)取得最小值，代入化简得f(x)＝(y－2)2－7，显然当y＝2时，f(x)min＝－7，此时x＝2－＝1，所以x0＝1，y0＝2.此时|b|2－7＝1，可得|b|＝2.‎ 方法二 ∵e1·e2＝|e1|·|e2|cos〈e1，e2〉＝，‎ ‎∴〈e1，e2〉＝.不妨设e1＝，e2＝(1，0，0)，b＝(m，n，t)．‎ 由题意知解得n＝，m＝，‎ ‎∴b＝.‎ ‎∵b－(x e1＋y e2)＝，‎ ‎∴|b－(x e1＋y e2)|2＝＋＋t2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7＝＋(y－2)2＋t2.由题意知，当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，＋(y－2)2＋t2取到最小值．此时t2＝1，‎ 故|b|＝＝2.‎ ‎【答案】 1　2　2 ‎14．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：‎ ‎(1)·；‎ ‎(2)·；‎ ‎(3)EG的长；‎ ‎(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．‎ ‎【解析】 设＝a，＝b，＝c.‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ＝＝c－a，＝－a，＝b－c，‎ ‎(1)·＝·(－a)‎ ‎＝a2－a·c＝.‎ ‎(2)·＝(c－a)·(b－c)‎ ‎＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.‎ ‎(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ‎＝－a＋b＋c，‎ ‎||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a ‎＝，则||＝.‎ ‎(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，‎ cos〈，〉＝＝－，‎ 由于异面直线所成角的范围是，‎ 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.‎ ‎15．直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．‎ ‎(1)求证：CE⊥A′D；‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．‎ ‎【解析】 (1)证明 设＝a，＝b，＝c，‎ 根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，‎ ‎∴＝b＋c，＝－c＋b－a.‎ ‎∴·＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.‎ ‎(2)∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.‎ ·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.‎