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- 2021-06-30 发布
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2020 届福建省厦门市高三(6月份)高考数学(理科)模拟试题
一、单选题
1.复数
2
i
等于( )
A. 2i B. 2i C.2 D. 2
2.设 , , 是三个互不重合的平面, l是直线,给出下列命题
①若 , ,则 ;
②若 l上有两个点到 的距离相等,则 l ;
③若 l , l ∥ ,则 ;
④若 , , l ,则 l .
其中正确的命题是( )
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
3.某超市销售的甲、乙两种品牌的腊肉各占
2
5
,
3
5
的份额,出厂时已知两种品种腊肉亚硝酸盐超
标的概率分别为
1
10
,
1
9
.现一市民在该超市随机挑选了一块腊肉,则该块腊肉亚硝酸盐超标的概率
为( )
A.
8
75
B.
19
90
C.
1
25
D.
1
15
4.若直线 / /a 平面 , / /a 直线平面 , b ,则( )
A. / /a b或 a与b异面 B. / /a b C. a与b异面 D.a与b
相交
5.已知数列 na 中,其前 n项和为 nS ,且 n, na , nS 成等差数列 ( )n N ,则 4a ( ).
A.1 B. 4 C. 7 D.15
6.已知函数
, 0,
sin , 0.
x x
f x
x x
则下列结论错误..的是( )
A. f x 不是周期函数 B. f x 在
2
, 上是增函数
C. f x 的值域为 1, D. f x 的图象上存在不同的两点关于原点对称
7.函数 3f x x ax ,若对任意两个不等的实数 1 2 1 2,x x x x ,都有
1 2 1 23 3f x f x x x 恒成立,则实数 a的取值范围是( )
A. 2, B. 3, C. , 2 D. ,3
8.已知
0.4 3
0.43 , 0.4 , log 3a b c ,则( )
A.b c a B.b a c C.c a b D. c b a
9.设 设 ㌮ ㌮ ㌮ ʹ 设 ʹ Ͳ ,若 设 ,则实数 Ͳ的取值范围是( )
A. o, B. C. o D. ʹ,
10.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,
13,21,….该数列的特点是:前两个数都是 1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,
人们把这样的一列数组成的数列 na 称为“斐波那契数列”,则
2 2 2 2
1 3 2 2 4 3 3 5 4 2017 2019 2018a a a a a a a a a a a a L ( )
A.1 B.2019 C. 1 D. 2019
11.经过椭圆 2 2x 2y 2 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l,交椭圆于 M,N两点,设 O 为坐标
原点,则OM ON
等于 ( )
A. 3 B.
1
3
C.
1
3
D.
1
2
12.定义在 上的函数 是减函数,且函数 的图像关于原点中心对称,若 满足
不等式 ,其中 ,则当 时, 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题
13.已知 为双曲线 :㌮
Ͳ
设 o Ͳ ʹ ʹ 的右顶点, o 分别为虚轴的两个端点, 为右
焦点,若 o,则双曲线 的离心率是__________.
14.已知等比数列 na 的前 n项和为 nS ,若 24S , 4S , 32S 成等差数列,且 2 3 2a a ,则 6a 的值
是_______.
15.已知向量 a
=(2,1), =(-1,2),若 a
, 在向量 上的投影相等,且( - a
) ( -
)=- ,则向量 的坐标为_______ .
16.某篮球队有12名队员,其中有6名队员打前锋,有 4名队员打后卫,甲、乙两名队员既能打前
锋又能打后卫.若出场阵容为3名前锋, 2名后卫,则不同的出场阵容共有______种.
三、解答题
17.2020年春节期间,新型冠状病毒(2019﹣nCoV)疫情牵动每一个中国人的心,危难时刻全国
人民众志成城.共克时艰,为疫区助力.我国 S省 Q市共 100家商家及个人为缓解湖北省抗疫消
毒物资压力,募捐价值百万的物资对口输送湖北省 H市.
(1)现对 100家商家抽取 5家,其中 2家来自 A地,3家来自 B地,从选中的这 5家中,选出 3
家进行调研.求选出 3家中 1家来自 A地,2家来自 B地的概率.
(2)该市一商家考虑增加先进生产技术投入,该商家欲预测先进生产技术投入为 49千元的月产增
量.现用以往的先进技术投入 xi(千元)与月产增量 yi(千件)(i=1,2,3,…,8)的数据绘制
散点图,由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线 y a b x 的附近,且:
46.6 563 6.8x y t , , ,
8
2
1
289.9i
i
x x
,
8
2
1
1.6i
i
t t
,
8
1
1469i i
i
x x y y
,
8
1
108.8i i
i
t t y y
,其中, i it x ,
8
1
1
8 i
i
t t
,根据所
给的统计量,求 y关于 x回归方程,并预测先进生产技术投入为 49千元时的月产增量.
附:对于一组数据(u1,v1)(u2,v2),其回归直线 v=α+βu的斜率和截距的最小二乘法估计分别
为
1
2
1
n
i ii
n
ii
u u v v
v u
u u
,
18.已知函数 2 2xf x e ax a ,a R .
(Ⅰ)讨论 f x 的单调性;
(Ⅱ)若函数 f x 有两个零点 1 2,x x ,求 a的取值范围,并证明: 1 21 1 1x x .
19.选修 4-5:不等式选讲
若 0a , 0b , 4a b ab .
(Ⅰ)求 a b 的最小值;
(Ⅱ)当a b 取得最小值时, a, b的值满足不等式
2 2x a x b t t 对任意的 x R 恒
成立,求 t的取值范围.
20.过抛物线 2: 2 0C y px p 的焦点且斜率为1的直线 l与抛物线C交于 A、 B两点,
8AB .
(1)求抛物线C的方程;
(2)点 0 0,P x y 为抛物线C上一点,且 0 2 2 2,2 2 2y ,求 PAB 面积的最大值.
21. ABC 的内角 A B C、 、 的对边分别为 , ,a b c,已知 (2 )cos cosc a B b A .
(1)求角 B的大小;
(2)若 ABC 为锐角三角形,且 2c ,求 ABC 面积的取值范围.
22.在平面直角坐标系 xOy中,直线 1C 的参数方程为
2 cos
sin
x t
y t
( t为参数,0 ),
曲线 2C 的参数方程为
1 2 cos
1 2 sin
x
y
(为参数),以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系.
(1)求曲线 2C 的极坐标方程;
(2)设曲线 1C 与曲线 2C 的交点分别为 , , (2 0)A B M , ,求
2 2MA MB 的最大值及此时直线 1C 的
倾斜角.
23.(本小题满分 12分)
右图是一个直三棱柱(以 A1B1C1为底面)被一平面所截得到
的几何体,截面为 ABC.已知 A1B1=B1C1=l,∠AlBlC1=90°,
AAl=4,BBl=2,CCl=3.
(1)设点 O是 AB的中点,证明:OC∥平面 A1B1C1;
(2)求二面角 B—AC—A1的大小;
(3)求此几何体的体积.
【答案与解析】
1.A
给复数的分子分母同乘以 i,化简即可
2
2 2 2i i
i i
故选:A
此题考查复数的运算化简,属于基础题
2.D
根据空间直线与平面,平面与平面的关系对四个命题分别进行判断,得到答案.
命题①,若 , ,则平面 和平面 可能平行,也可能相交,
所以不正确;
命题②,若 l上两个点 A、 B满足线段 AB的中点在平面内,
则 A、 B到 的距离相等,但 l与 相交,
所以不正确;
命题③,因为 l ∥ ,则在平面内 内一定存在一条直线m ,满足m l ,
因为 l ,所以m ,而m ,所以 ,
所以正确;
命题④,如图,在平面内 内任取一点 P,过 P作 1PA l 于 A, 2PB l 于 B,
因为 1l , , PA ,
所以 PA ,
而 l ,所以 PA l ,
同理, PB l ,
而 ,PA PB , PA PB P ,
所以 l ,
所以正确.
故选:D.
本题考查空间中线面关系命题的判断,面面关系命题的判断,属于简单题.
3.A
分别求出该块亚硝酸盐超标的腊肉来自甲、乙品牌的概率,相加即可得到所求事件的概率.
设一市民在该超市随机挑选了一块腊肉,该块腊肉来自甲品牌且亚硝酸盐超标为事件 A,
该块腊肉来自乙品牌且亚硝酸盐超标为事件 B,则
2 1 1( )
5 10 25
P A ,
3 1 1( )
5 9 15
P B ,则所求概率为 ( ) ( )P A P B 8
75
.
故选:A
本题考查互斥事件的概率,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.
4.B
过 a作平面 交平面 于c,过 作平面 交平面 于 d ,通过线面平行的性质定理、判定定理、
平行公理可以判断出 ,a b的位置关系.
如图,过 a作平面 交平面 于 c,过 作平面 交平面 于 d ,因为 / /a ,所以 / /a c .
因为 / /a ,所以 / /a d .
所以 / /c d ,又 ,c d ,所以 / /c ,又 ,c b ,所以 / /c b,所以 / /a b .
故选:B
本题考查了线面平行的性质定理和判定定理,考查了平行公理,考查了推理论证能力.
5.D
∵ n, na , nS 成等差数列,∴ 2 n na n S ,当 1n 时, 1 12 1a S , 1 1a ,当 2n 时,
12 1 1n na n S ,∴ 12 2 1n n na a a ,即 12 1n na a ,∴ 1 12( 1)n na a ,∴ 1na 是
以 2为首项, 2为公比的等比数列,∴ 1 2nna ,∴ 2 1n
na ,∴
4
4 2 1 15a ,故选D
6.D
函数的图像如下图所示:
由图可知,选项 A、B、C正确,对于 D选项,当 0
2
x
时,x>sinx,当
2
x
时,
-1≤sinx≤1,而 x>1,所以 x>sinx,∴当 x>0时,y=sinx与 y=x无交点.
故 f(x)的图像上不存在不同的两点关于原点对称,所以选项 D错误.故选 D.
7.B
将 1 2 1 23 3f x f x x x 恒成立,变形为 1 1 2 23 3f x x f x x 恒成立,可构造函数
( ) ( ) 3g x f x x ,有 ( )g x 单调递增,则 ( ) 0g x 恒成立,从而求得 a的取值范围.
对任意两个不等的实数 1 2 1 2,x x x x ,都有 1 2 1 23 3f x f x x x 恒成立,
则 1 1 2 23 3f x x f x x 恒成立,即令 ( ) ( ) 3g x f x x ,则 ( )g x 单调递增,
则 2( ) 3 3 0g x x a 恒成立,则 23 3a x 恒成立,得 3 0 a ,则 3a .
故选:B
本题考查了构造函数的思想,函数单调性与导函数的关系的应用,属于中档题.
8.D
分析得到 1,0 1, 0a b c ,即得解.
由题得 0.4 03 3 1a ,
3 00.4 0.4 1b ,且 3 00.4b .
0.4 0.4log 3 log 1 0c .
所以 c b a .
故选:D
本题主要考查指数对数的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9.B
试题分析:由题意 设 ㌮ o ㌮ ,因为 设 ,所以 Ͳ ,又 Ͳ ʹ,所以 o Ͳ
且 Ͳ ʹ,故选 B.
考点:集合的运算,集合的概念.
10.A
计算部分数值,归纳得到
2
2 1
1,
1,n n n
n
a a a
n
为奇数
为偶数
,计算得到答案.
2
1 3 2 1a a a ;
2
2 4 3 1a a a ;
2
3 5 4 1a a a ;
2
4 6 5 1a a a …
归纳总结:
2
2 1
1,
1,n n n
n
a a a
n
为奇数
为偶数
故 2 2 2 2
1 3 2 2 4 3 3 5 4 2017 2019 2018 1a a a a a a a a a a a a L
故选: A
本题考查了数列的归纳推理,意在考查学生的推理能力.
11.C
椭圆化标准方程为
2
2 1
2
x y ,求得 , ,a b c,设直线方程为 1y x ,
代入椭圆方程,求得交点坐标
4 1(0, 1), ( , )
3 3
M N ,由向量坐标运算求得OM ON
.
椭圆方程为
2
2 1
2
x y , 2, 1, 1a b c ,取一个焦点 (1,0)F ,则直线方程为 1y x ,代入椭
圆方程得 23 4 0x x ,
4 1(0, 1), ( , )
3 3
M N ,
所以OM ON
1
3
,选 C.
本题综合考查直线与椭圆相交问题,及向量坐标运算,由于本题坐标好求所以直接求坐标,代入向
量坐标运算.一般如果不好求坐标点,都是用韦达定理设而不求.
12.C
试题分析:定义在 R上的函数 是减函数,且函数 的图象关于原点中心对称,故 为
奇函数.若 满足不等式 ,其中 , .则
댳 댳 , 댳 댳 댳 , 表示图中四边形 及其内部区
域内的点与原点 连线的斜率,故当点 位于线段 上时, 取得最大值为 ,当点 位于点
时, 取得最小值为 .故 的取值范围为 ,所以 C选项是正确的.
考点:奇偶性与单调性的综合.
【易错点睛】本题综合考查了函数的奇偶性,单调性知识,同时考查由最大值,最小值求取值范围
的策略,以及运算能力,属于中档题.另本题还考查了转化与化归思想和数形结合思想.将函数问
题转化为简单的线性规划问题是本题的难点,也是关键点,这样方便了不等式的解决.数形结合是
解决线性规划问题必要的步骤.
13. o
双曲线方程为
㌮
Ͳ
设 o Ͳ ʹ ʹ ,可得 Ͳ,ʹ , 〵,ʹ , o ʹ , ʹ ,
∵ 设 〵 , o 设 Ͳ ,∴由 o得 o 设 ʹ,即 Ͳ〵 设 ʹ,
可得 设 Ͳ〵,即〵 Ͳ〵 Ͳ 设 ʹ,两边都除以Ͳ 可得 o 设 ʹ,
解之得 设 o
(舍负)故答案为
o
.
14. 32
根据等差等比数列的性质列式求解得 2q ,再利用等比数列各项的关系求解 6a 即可.
∵ 24S , 4S , 32S 成等差数列,∴ 4 2 32 4 2S S S ,即 4 2 2 3S S S S ,
所以 3 4 3a a a ,故 4
3
2a
a
.∴ 2q .
又 2 3 2a a ,则 2 1 2 2a ,所以 2 2a ,
4
6 2 32a a q .
故答案为: 32
本题主要考查了等比数列的简单性质,等差中项的运用等,属于基础题.
15.( , )
设向量 a
的坐标为(x,y),∵b
, a
在向量 a
上的投影相等,∴ ,即 ,
∴ ,即(x,y) (3,-1)=3x-y=0,
即 ,①
∵( a
-b
) ( a
- a
)=- ,∴(x-2,y-1) (x+1,y-2)=- ,
∴(x-2)(x+1)+(y-1)(y-2)=- .②
将 y=3x代入②得,4x2-4x+1=0,即(2x-1)2=0,解得 x= ,则 y= ,
即向量 a
的坐标为( , ).
考点:平面向量的数量积坐标表示.
16.636
分三种情况讨论:①甲、乙都不出场;②甲、乙只有一人出场;③甲、乙都出场.分别计算出每种
情况下出场的阵容种数,利用分类加法计数原理即可得出结果.
分以下三种情况讨论:
①甲、乙都不出场,则应从6名打前锋的队员中挑选3人,从4名打后卫的队员中挑选 2人,此时,
出场阵容种数为
3 2
6 4 120C C ;
②甲、乙只有一人出场,若出场的这名队员打前锋,则应从6名打前锋的队员中挑选 2人,从 4名
打后卫的队员中挑选 2人;若出场的这名队员打后卫,则应从6名打前锋的队员中挑选3人,从 4名
打后卫的队员中挑选1人.
此时,出场阵容种数为 1 2 2 3 1
2 6 4 6 4 340C C C C C ;
③甲、乙都出场,若这两名队员都打前锋,则应从6名打前锋的队员中挑选1人,从4名打后卫的
队员中挑选 2人;若这两名队员都打后卫,则应从6名打前锋的队员中挑选3人,从4名打后卫的
队员中不用挑选;若这两名队员一人打前锋、一人打后卫,则应从6名打前锋的队员中挑选 2人,
从 4名打后卫的队员中挑选1人,此时,出场阵容种数为
1 2 3 0 1 2 1
6 4 6 4 2 6 4 176C C C C C C C .
综上所述,由分类加法计数原理可知,共有120 340 176 636 种不同的出场阵容.
故答案为:636 .
本题考查排列组合的综合应用,解题的关键就是对甲、乙这两名特殊队员的角色安排进行分类讨论,
考查分类讨论思想的应用,有一定的难度.
17.(1)0.6;(2)y=100.6+68 x,576.6千件.
(1)设 A地 2家分为 A1,A2,B地 3家分为 B1,B2,B3,由题意得,所有情况为 10种,满足条件
的有 6种,求出即可;
(2)由线性回归方程公式,求出 a,b,再求出线性回归方程,取 x=49代入求出即可.
(1)设 A地 2家分为 A1,A2,B地 3家分为 B1,B2,B3,由题意得,所有情况为:
(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A2,B3),(A1,B1,B2),(A1,B1,B3),
(A1,B2,B3),(A2,B1,B2),(A2,B1,B3),(A2,B2,B3),(B1,B2,B3),
共 10种,其中 A地 1家,B地 2家的有 6个,故所求的概率为
6 0.6
10
;
(2)由线性回归方程公式,
8
1
8 2
1
108.8 68
1.6 ( )
i ii
ii
t t y y
b
t t
,
且 a 563 68 6.8 100.6y bt ,
所以线性回归方程为:y=100.6+68 x,
当 x=49时,年销售量 y的预报值 y=100.6+68×7=576.6千件,
故预测先进生产技术投入为 49千元时的月产增量为 576.6千件.
本题考查了古典概型求概率,求线性回归方程,考查了运算能力,中档题.
18.(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
1
2
a ,见解析
(Ⅰ)求导后,分 0a 及 0a 讨论即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f x 有两个零点 1 2,x x ,必须有 0a 且最小值
ln 2ln 2 2 ln 2 2 2 ln 2 0af a e a a a a a ,即可得到
1
2
a ,因为 f x 有两个零点 1 2,x x ,
不妨设 1 2x x ,则 1 2ln 2x a x ,即
1 2
1 22 1 1
4
x xe x x
a
,要证: 1 21 1 1x x ,即证:
1 2
2 1
4
x xe
a
,即证: 2 22ln 2f x f a x ,令 2ln2 4 4 ln 2 ln 2x a xe e ax a a x ag x ,
利用导数研究函数的单调性,即可得证;
解:(Ⅰ) 2xf x e a ,
当 0a 时, 0f x , f x 在 , 上单调递增;
当 0a 时,当 ln 2x a 时, 0f x , f x 在 ln 2 ,a 上单调递增;
当 ln 2x a 时, 0f x , f x 在 , ln 2a 上单调递减.
综上可知,当 0a 时, f x 在 , 上单调递增;
当 0a 时, f x 在 ln 2 ,a 上单调递增,在 , ln 2a 上单调递减.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f x 有两个零点 1 2,x x ,
必须有 0a 且最小值 ln 2ln 2 2 ln 2 2 2 ln 2 0af a e a a a a a ,
∴ ln 2 0a ,∴
1
2
a ,
又∵当 x时, f x ;当 x时, f x ,
∴
1
2
a , f x 有两个零点 1 2,x x ,不妨设 1 2x x ,∴ 1 2ln 2x a x ,
此时 1
1 12 2 0xf x e ax a , 2
2 22 2 0xf x e ax a ,
即 1
12 1x a xe , 2
22 1x a xe ,
∴
1 2
1 22 1 1
4
x xe x x
a
,
要证: 1 21 1 1x x ,即证:
1 2
2 1
4
x xe
a
,
即证: 1 2 24x xe a ,即证: 1 2 2ln 2x x a ,即证: 1 22ln 2x a x ,
又 1 2ln 2x a x ,∴ 1 22ln 2 ln 2x a x a ,
即证: 1 22ln 2f x f a x ,即证: 2 22ln 2f x f a x ,
令 2ln 22 2 2 2ln 2 2x a xe ax a eg a a x ax
2ln2 4 4 ln 2 ln 2x a xe e ax a a x a ,
2
2ln 2 244 4 2 4 4 0x a x x
x
ag x e e a e a a a
e
,当仅当 ln 2x a 取“ ”,
∴ g x 在 ln 2 ,a 上为增函数,∴ ln 2 0g x g a ,
∴ 2 22ln 2f x f a x 成立,
∴ 1 21 1 1x x 成立.
本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题,考查转化思想,构造函数思想以及推理论
证,运算求解能力,属于难题.
19.(1)9;(2) 1,3t .
【试题分析】(1)依据题设进行巧妙变形,再运用基本不等式分析求解;(2)依据题设借助绝对值
的几何意义分析探求:
(1) 4a b ab 4 1 1
b a
,
所以 4 1a b a b
b a
45 a b
b a
45 2 9a b
b a
,当且仅
4a b
b a
当时,即 2b a
时, a b 有最小值 9,由 4a b ab ,可求得此时 3a , 6b ;
(Ⅱ)对任意的 x R , x a x b 3 6 3x x 恒成立,所以
23 2t t ,解得
1,3t .
20.(1) 2 4y x ;(2) 4 2 .
(1)设点 1 1,A x y 、 2 2,B x y ,由题意可得直线 l的方程为
2
py x ,与抛物线C的方程联立,
列出韦达定理,利用抛物线的焦点弦公式求出 p的值,即可得出抛物线C的方程;
(2)可得出直线 l的方程为 1 0x y ,由点 P在抛物线C上可得出
2
0
0 4
yx ,然后利用二次函
数的基本性质可求出点 P到直线 l距离的最大值,由此可得出 PAB 面积的最大值.
(1)抛物线 2: 2C y px 的焦点为 ,0
2
pF
,直线 l的方程为
2
py x .
设 1 1,A x y 、 2 2,B x y .由
2
2
2
py x
y px
,得
2
2 3 0
4
px px .
2
2 23 4 1 8 0
4
pp p , 1 2 3x x p ,
故 1 2 4 8AB AF BF x x p p ,所以 2p ,
因此抛物线C的方程为 2 4y x ;
(2)由(1)得 l的方程为 1 0x y .
P到直线 l的距离为
2
20
0 0
0 0
11 2 21 4 4
2 2 2
y y yx y
d
.
因 0 2 2 2,2 2 2y ,所以 20
12 2 2 0
4
y ,
所以
20
12 2
4 2
2
y
d
,
因此
1 4 2
2PABS AB d ,所以 PAB 面积的最大值为 4 2 .
本题考查抛物线标准方程的求解,同时也考查了抛物线中三角形面积最值的计算,涉及二次函数基
本性质的应用,考查计算能力,属于中等题.
21.(1)
3
B
(2)
3 ,2 3
2
(1)利用正弦定理边角互化的思想以及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理以及诱导公式求
出 cosB的值,结合角 B的范围求出角 B的值;
(2)由三角形的面积公式得
1 3sin
2 2ABCS ac B a ,由正弦定理结合内角和定理得出
3 1
tan
a
C
,利用 ABC 为锐角三角形得出C的取值范围,可求出 a的范围,进而求出 ABC 面
积的取值范围.
(1) 2 cos cosc a B b A Q ,
由正弦定理边角互化思想得 2sin sin cos sin cosC A B B A ,
所以, 2sin cos sin cos cos sin sin sinC B A B A B A B C ,
sin 0C Q ,
1cos
2
B , 0 B ,
3
B
;
(2)由题设及(1)知 ABC 的面积
3
2ABCS a .
由正弦定理得
22sin
sin 33 1
sin sin tan
C
c Aa
C C C
.
由于 ABC 为锐角三角形,故0 , 0
2 2
A C
,由(1)知
2
3
A C
,
所以
6 2
C
,故1 4a ,从而
3 2 3
2 ABCS △
.
因此 ABC 面积的取值范围是
3 ,2 3
2
.
本题考查正弦定理解三角形以及三角形面积的取值范围的求解,在解三角形中,等式中含有边有角,
且边的次数相等时,可以利用边角互化的思想求解,一般优先是边化为角的正弦值,求解三角形中
的取值范围问题时,利用正弦定理结合三角函数思想进行求解,考查计算能力,属于中等题.
22.(1) 2cos 2sin (2)最大值为 8,此时直线 1C 的倾斜角为
4
(1)先将曲线 2C 的参数方程化为代数方程,再将此平面直角坐标系的代数方程化为极坐标方程;
(2)将直线 1C 的参数方程代入曲线 2C 的代数方程,得出当
2 2MA MB 取最大值时直线 1C 的参
数.
(1)因为曲线 2C 的参数方程为
1 2 cos ,
(
1 2 sin
x
y
为参数),所以曲线 2C 的普通方程为
2 21 1 2x y ,即 2 2 2 2 0x y x y ,
所以曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 cos 2 sin 0 ,即 2cos 2sin .
(2)设直线 1C 上的点 A B, 对应的参数分别为 1 2t t, ,
将直线 1C 的参数方程代入曲线 2C 的普通方程,可得 2 2cos 1 sin 1 2t t ,即
2 2 sin cos 0t t
所以 1 2 2 sin cost t , 1 2 0t t .
故 2 22 2 2 2
1 2 1 2 1 22 4 sin cos 4 1 sin 2MA MB t t t t t t ,
所以当 sin 2 1 ,即
4
时,
2 2MA MB 取得最大值,最大值为 8,此时直线 1C 的倾斜角为
4
.
本题考查曲线的参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查直线参数方
程中参数的几何意义,考查考生的运算求解能力。
23.(1)OC∥平面 A1B1C1
(2) 二面角的大小为 ʹ
(3)
(1)证明:作 o交 o o于 ,连 o .
则 o o.
因为 是 的中点,
所以 设 o
o o 设 设 o.
则 o 是平行四边形,因此有 o .
o 平面 o 且 平面 o ,
则 面 o .
(2)如图,过 作截面 面 o ,分别交 o, o于 , .
作 于 ,连 .
因为 o o o面 o o o,所以 o ,则 平面 o.
又因为 设 , 设 , 设 设 .
所以 ,根据三垂线定理知 ,所以 就是所求二面角的平面角.
因为 设
,所以 sin 设
设 o
,故 设 ʹ ,
即:所求二面角的大小为 ʹ .
(3)因为 设
,所以
所求几何体体积为
.
解法二:
(1)如图,以 o为原点建立空间直角坐标系,
则 , ʹ,o, , ,因为 是 的中点,所以 设
,
设 o, o
,ʹ .
易知, 设 ʹ,ʹ,o 是平面 o 的一个法向量.
因为 设 ʹ,ʹ,o , 平面 o ,所以 平面 o .
(2) 设 ʹ, o, , 设 o,ʹ,o ,
设 设 ㌮, , 是平面 的一个法向量,则
则 得:
设 ʹ
㌮ 设 ʹ
取 ㌮ 设 设 o, 设 o, , o .
显然, 设 o,o,ʹ 为平面 o,ʹ, 的一个法向量.
则 ,
结合图形可知所求二面角为锐角.
所以二面角 设 o,ʹ,o 的大小是 ʹ .
(3)同解法一.
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