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- 2021-06-30 发布
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一.【学习目标】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.
4.会用数列的递推关系求其通项公式.
二.【方法总结】
1.利用通项公式,应用函数思想是研究数列特征的基本方法之一,应善于运用函数观点认识数列,用函数的图象与性质研究数列性质.
练习1. 已知数列满足,,则数列的前40项的和为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【方法总结】:这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法有,裂项求和,主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项;分组求和,用于相邻两项之和是定值,或者有规律的;错位相减求和,用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。
练习2. 数列满足,且对于任意的都有,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【方法总结】:数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
练习3. 已知数列满足, ,若,则数列的通项( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】, , ,
则,数列是首项为2,公比为2的等比数列,
,利用叠加法, ,
,则.选B.
【方法总结】:由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略
(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用处理.
练习1. 数列的一个通项公式可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
练习2.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的通项公式是an=( )
A. (10n-1) B. C. (10n-1) D. (10n-1).
【答案】B
【解析】1-=0.9,1-=0.99,…,故原数列的通项公式为an=.选B.
练习3.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图中实心点的个数5,9,14,20,…为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第2017项为,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【方法总结】:根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:相邻项的变化特征;拆项后的各部分特征;符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.
4.项和互化求通项
例4.设是数列的前项和,且,则=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得:,考查所给选项:
,
则选项B错误;
当时:,即,
考查ACD选项:,
则选项AC错误,
本题选择D选项.
【方法规律总结】:给出 与 的递推关系,求an,常用思路是:一是利用转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.
练习1. 设数列满足,通项公式是( )
A. B. C. D.
【答案】C
练习2. 设数列满足,通项公式是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时, ,
…………...(1) , ……....(2),
(1)-(2)得: , , 符合,则通项公式是,选C.
练习3. 已知正项数列的前项和为,且, ,现有如下说法:
①;②当为奇数时,;③.
则上述说法正确的个数为( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【方法总结】:给出与的递推关系求,常用思路是:一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式;二是转化为的递推关系,先求出与之间的关系,再求. 应用关系式时,一定要注意分两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.
5.构造辅助数列求通项
(1)的形式
例5.数列满足则( )
A. 33 B. 32 C. 31 D. 34
【答案】A
【解析】数列满足,是以2为公比的等比数列,首项为1,得到
故答案为:A。
练习1. 已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2,则{an}的通项公式为
A. an=2n-1 B. an=3n-1 C. an=2n-1 D. an=6n-4
【答案】B
【解析】,得是以3为首项,3为公比的等比数列,
则,即。故选B。
(2)的形式
例6设为数列的前项和,,且.记 为数列的前项和,若,则的最小值为( )
A. B. C. D. 1
【答案】A
【方法总结】:这个题目考查的是数列求通项的常用方法:配凑法,构造新数列。也考查了等比数列求和公式的应用,数列和的最值。关于数列之和的最值,可以直接观察,比如这个题目,一般情况下需要研究和的表达式的单调性:构造函数研究单调性,做差和0比研究单调性,直接研究表达式的单调性。
练习1. 已知数列的前项和为,,则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
【答案】C
练习2. 已知数列满足,则的通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得,∴
,∴,当时也符合,∴数列的通项公式为.故选C.
练习2. 已知数列满足,,则 ( )
A. 121 B. 136 C. 144 D. 169
【答案】C
练习3. 数列中,已知对任意正整数,有,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵
∴
∴()
当也适合,故
所以是以1为首项,4为公比的等比数列,所以,故选B.
练习4. 已知数列则 ( )
A. B. C. 或1 D.
【答案】B
【方法总结】:已知数列要求通项,可以两边取倒数,得到是等差数列,已知
可以求出 ,再根据等差数列的性质求出数列的通项公式,,再取倒数可以求出,代入n=7,求得结果即可.
练习5. 已知数列的首项,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由,可得,
是以为公差,以为首项的等差数列,,故选C.
7.倒序相加求通项
例7. 已知是上的奇函数,,则数列的通项公式为( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【方法总结】:本题首先考查函数的基本性质,借助函数性质处理数列问题问题,十分巧妙,对数学思维的要求比较高,奇函数的应用与数列第一项联系起来,就知道该怎么对x赋值了,继续推导,要求学生理解f(t)+f(1-t)=2.本题有一定的探索性,难度大.
练习2.已知数列满足, , ,则( )
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】由题意,对进行变形,得
则,即4个一循环,那么,故选A.
【方法总结】:本题主要考查数列通项公式的求解,根据递推关系求出数列的循环是解决问题的关键.
练习2. 在数列中,,则( )
A. 2 B. C. D.
【答案】A
练习3. 已知数列满足,则=( )
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】,,是周期为的数列,,故选C.
10.裂项求通项
例10. 数列满足,且对任意的都有,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对任意的都成立,,即
,,把上面个式子相加可得,,,从而有, ,故选C.
【方法点晴】本题主要考查递推公式求通项、累加法的应用,以及裂项相消法求数列的和,属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2) ; (3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
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