2020年高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2 4页

‎2.3 反证法与放缩法 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是(　　)‎ A.＝　　　　　　　 B. ＜ C. ＝，且＜ D. ＝或＜ 解析：应假设≤，即＝或＜.‎ 答案：D ‎2．用反证法证明命题“a，b，c全为‎0”‎时，其假设为(　　)‎ A．a，b，c，全不为0‎ B．a，b，c至少有一个为0‎ C．a，b，c至少有一个不为0‎ D．a，b，c至多有一个不为0‎ 解析：“a，b，c全为‎0”‎的否定是“a，b，c至少有一个不为‎0”‎．‎ 答案：C ‎3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：‎ ‎①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；‎ ‎②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；‎ ‎③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．‎ 其中判断正确的命题个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；‎ 对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．‎ 答案：C ‎ ‎4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)‎ A．至少有一个不大于2 B．都小于2‎ C．至少有一个不小于2 D．都大于2‎ 4‎ 解析：因为a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.‎ 答案：C ‎5．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝，N＝(a＋c)·(a＋b)，则(　　)‎ A．M≥N B．M≤N C．M＞N D．M＜N 解析：依题设，1－a，1－b，1－c均大于0，‎ 又a＋b＋c＝1，‎ 所以≤[(1－a)＋(1－b)＋(1－c)]＝，‎ 所以(1－a)(1－b)(1－c)≤，‎ 从而≥(1－b)(1－c)＝(a＋c)(a＋b)，‎ 所以M≥N，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．‎ 答案：A 二、填空题 ‎6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：‎ ‎①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；‎ ‎②所以一个三角形中不能有两个直角；‎ ‎③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，‎ 不妨设∠A＝∠B＝90°.‎ 正确顺序的序号排列为________．‎ 解析：由反证法证明的步骤知，先假设即③，再推出矛盾即①，最后做出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.‎ 答案：③①②‎ ‎7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．‎ 解析：因为＜＝＜＝1，‎ 所以lg 9·lg 11＜1.‎ 答案：lg 9·lg 11＜1‎ ‎8．设M＝＋＋＋…＋，则M与1的大小关系为________．‎ 4‎ 解析：因为210＋1＞210，210＋2＞210，…，211－1＞210，所以 M＝＋＋＋…＋＜＋＋…＋,210个＝1.‎ 答案：M＜1‎ 三、解答题 ‎9．已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：，中至少有一个小于2.‎ 证明：(反证法)设≥2，≥2，‎ 则 由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，与题设矛盾．‎ 所以，中至少有一个小于2.‎ ‎10．已知n∈N*，求证：＋＋…＋＜‎ .‎ 证明：由基本不等式，得＜＝，‎ 所以＋＋…＋＜＋＋…＋＝＝＝＜，故原不等式成立．‎ B级　能力提升 ‎1．若a＞0，b＞0，满足ab≥1＋a＋b，那么(　　)‎ A．a＋b有最小值2＋2 B．a＋b有最大值(＋1)2‎ C．ab有最大值＋1‎ D．ab有最小值2＋2 解析：1＋a＋b≤ab≤，‎ 所以(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，‎ 解得a＋b≤2－2或a＋b≥2＋2，‎ 因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2＋2.‎ 答案：A ‎2．设x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤100，则＋的最小值为________．‎ 解析：因为≥≥，且≥，‎ 4‎ 所以＋≥＋≥2 ＝，‎ 当且仅当x＝1，y＝z＝10，t＝100时，等号成立．‎ 答案： ‎3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．‎ ‎(1)解：当n＝1时，a1＋S1＝‎2a1＝2，则a1＝1.‎ 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2.‎ 两式相减得an＋1＝an.‎ 所以an是首项为1，公比为的等比数列．‎ 所以an＝.‎ ‎(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，‎ 则2·＝＋，‎ 所以2·2r－q＝2r－p＋1.①‎ 又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*，‎ 所以①式等号左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．‎ 所以假设不成立，原命题得证．‎ 4‎