- 928.00 KB
- 2021-06-30 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
第1课时 一元二次不等式及其解法
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握一元二次不等式的解法.(重点)
2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题.(难点)
通过一元二次不等式的学习,培养数学运算素养.
2022年,冬季奥运会将在中国举行,跳台滑雪是其中最具有观赏性的项目之一,一位跳台滑雪运动员在90 m级跳台滑雪时,想使自己的飞行距离超过68 m.他若以自身体重从起滑台起滑,经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110 km/h.那么他能实现自己的目标吗?
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式不等式,称为一元二次不等式.
思考1:不等式x2-y2>0是一元二次不等式吗?
[提示] 此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不等式.
2.三个“二次”的关系
设二次函数y=ax2+bx+c(a>0),一元二次方程ax2+bx+c=0
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
方程ax2+bx+c=0的根
有两个相异的实数根x1,x2(x1<x2)
有两个相等的实数根x1=x2=-
没有根实数
二次函数y=ax2+bx+c的图象
ax2+bx+c>0的解集
{x|x<x1或x>x2}
R
- 9 -
ax2+bx+c<0的解集
{x|x1<x<x2}
∅
∅
思考2:若一元二次不等式ax2+x+1>0的解集为R,则实数a应满足什么条件?
[提示] 结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2+x+1>0的解集为R,则解得a>,所以a∈使不等式ax2+x+1>0的解集为R.
1.不等式3+5x-2x2≤0的解集为( )
A.
B.
C.
D.R
C [3+5x-2x2≤0⇒2x2-5x-3≥0⇒(x-3)(2x+1)≥0⇒x≥3或x≤-.]
2.不等式3x2-2x+1>0的解集为( )
A. B.
C.∅ D.R
D [因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0,所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R.]
3.不等式x2-2x-5>2x的解集是 .
{x|x>5或x<-1} [由x2-2x-5>2x,得x2-4x-5>0,
因为x2-4x-5=0的两根为-1,5,
故x2-4x-5>0的解集为{x|x<-1或x>5}.]
4.不等式-3x2+5x-4>0的解集为 .
∅ [原不等式变形为3x2-5x+4<0.
因为Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0,所以3x2-5x+4=0无解.
由函数y=3x2-5x+4的图象可知,3x2-5x+4<0的解集为∅.]
一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式:
(1)2x2+7x+3>0;
(2)-4x2+18x-≥0;
- 9 -
(3)-2x2+3x-2<0.
[解] (1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,x2=-.又二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上,所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0,所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实根,又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
1.解下列不等式
(1)2x2-3x-2>0;
(2)x2-4x+4>0;
(3)-x2+2x-3<0;
(4)-3x2+5x-2>0.
[解] (1)∵Δ>0,方程2x2-3x-2=0的根是x1=-,x2=2,
∴不等式2x2-3x-2>0的解集为
.
(2)∵Δ=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,
∴不等式x2-4x+4>0的解集为.
(3)原不等式可化为x2-2x+3>0,
由于Δ<0,方程x2-2x+3=0无解,
∴不等式-x2+2x-3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2-5x+2<0,
由于Δ>0,方程3x2-5x+2=0的两根为x1=,x2=1,
- 9 -
∴不等式-3x2+5x-2>0的解集为.
含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
[思路点拨] ①对于二次项的系数a是否分a=0,a<0,a>0三类进行讨论?②当a≠0时,是否还要比较两根的大小?
[解] 当a=0时,原不等式可化为x>1.
当a≠0时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0.
当a<0时,不等式可化为(x-1)>0,
∵<1,∴x<或x>1.
当a>0时,原不等式可化为(x-1)<0.
若<1,即a>1,则1,即01};当01时,原不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.
- 9 -
2.解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).
[解] 原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0,
化简为(x+1)(ax-2)≥0.
∵a<0,∴(x+1)≤0.
当-20、y<0、y=0时x的取值集合分别是什么?这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系?
[提示] y=x2-2x-3的图象如示.
函数y=x2-2x-3的值满足y>0时自变量x组成的集合,亦即二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<-1或x>3};同理,满足y<0时x的取值集合为{x|-10(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)是函数y=ax2+bx+c(a≠0)的一种特殊情况,它们之间是一种包含关系,也就是当y=0时,函数y=ax2+bx+c(a≠0)就转化为方程,当y>0或y<0时,就转化为一元二次不等式.
2.方程x2-2x-3=0与不等式x2-2x-3>0的解集分别是什么?观察结果你发现什么问题?这又说明什么?
[提示] 方程x2-2x-3=0的解集为{-1,3}.
- 9 -
不等式x2-2x-3>0的解集为{x|x<-1或x>3},观察发现不等式x2-2x-3>0解集的端点值恰好是方程x2-2x-3=0的根.
3.设一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2},{x|x10(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2},{x|x10的解集为{x|20的解集为{x|20,即x2-x+>0,解得x<或x>,所以不等式cx2+bx+a<0的解集为.
法二:由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|20的解集.
[解] 由根与系数的关系知=-5,=6且a<0.
∴c<0,=-,故不等式cx2-bx+a>0,
即x2-x+<0,即x2+x+<0.
解得.
2.(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|20),一根(Δ=0),无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2.
3.由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)mx2-5x<0是一元二次不等式. ( )
(2)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解. ( )
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2(x10的解集为R. ( )
[提示] (1)当m=0时,是一元一次不等式;当m≠0时,是一元二次不等式.
(2)因为a>0,所以不等式ax2+1>0恒成立,即原不等式的解集为R.
(3)当a>0时,ax2+bx+c<0的解集为{x|x10的解集为R.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2.设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)<0的解集为 .
[因为a<-1,所以a(x-a)·<0⇔(x-a)·>0.又a<-1,所以>a,所以x>或x0的解集为
- 9 -
.
[由题意知-2,-是方程ax2+bx+c=0的两个根且a<0,
故
解得a=c,b=a.
所以不等式ax2-bx+c>0,即为2x2-5x+2<0,
解得0的解集为.]
4.解下列不等式:
(1)x(7-x)≥12;
(2)x2>2(x-1).
[解] (1)原不等式可化为x2-7x+12≤0,因为方程x2-7x+12=0的两根为x1=3,x2=4,
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}.
(2)原不等式可以化为x2-2x+2>0,
因为判别式Δ=4-8=-4<0,方程x2-2x+2=0无实根,而抛物线y=x2-2x+2的图象开口向上,
所以原不等式的解集为R.
- 9 -
相关文档
- 2020年高中数学 第二讲 证明不等式2021-06-304页
- 2018-2019学年广西南宁市“4+ N”2021-06-3010页
- 河南省郑州市2020届高三高中毕业年2021-06-304页
- 数学卷·2019届河南省平顶山市实验2021-06-3012页
- 高中数学函数知识点总结2021-06-307页
- 高中数学必修5公开课教案2_3_1 等2021-06-306页
- 2012高中数学 2_2_2第2课时课时同2021-06-304页
- 高中数学第三章不等式3-2-2一元二2021-06-305页
- 高中数学选修2-2课件2_2_1_12021-06-3049页
- 高中二次函数的概念、图像、性质、2021-06-303页