【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷（新高考专用）测试卷12 双曲线（解析版） 17页

2021 年高考数学一轮复习双曲线创优测评卷(新高考专用) 一、单选题（共 60分，每题 5分） 1．定义：离心率 1 5 2 e   的双曲线为“黄金双曲线”，对于双曲线 E： 2 2 2 2 1( 0,x y a a b    0)b  ，c为 双曲线的半焦距，如果 , ,a b c成等比数列，则双曲线 E（ ） A．可能是“黄金双曲线” B．可能不是“黄金双曲线” C．一定是“黄金双曲线” D．一定不是“黄金双曲线 【答案】C 【解析】由 , ,a b c成等比数列可得 2b ac ，而 2 2 2b c a  ， 2, 1 0ce e e a      解方程求得双曲线的 离心率，即可判断双曲线是否为“黄金双曲线”. 详解：双曲线的方程为   2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b     ， 设c为双曲线的半焦距， , ,a b c 成等比数列， 2b ac ，又 2 2 2b c a  ， 2 2c a ac   ， 2 2 0c ac a    ， 2, 1 0ce e e a      ， 又 1e  ，  21 1 4 1 5 1 2 2 e       ， 所以双曲线一定是“黄金双曲线”，故选 C. 2．已知双曲线 2 2 1 : 1 4 xC y  ，双曲线 2 :C   2 2 2 2 1 0, 0x y a b a b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，双曲 线 1C 、 2C 的离心率相同.若M 是双曲线 2C 一条渐近线上的点，且 2OM MF （O为原点），若 2 16OMFS  ， 则双曲线 2C 的方程为（ ） A． 22 1 36 9 x y   B． 2 2 1 4 x y  C． 22 1 16 4 x y   D． 22 1 64 16 x y   【答案】D 【解析】双曲线 2 2 1 : 1 4 xC y  则其离心率为 1 4 1 5 4 2 e    设  2 ,0F c ,双曲线 2C 的一条渐近线方程为 by x a  ,即 0bx ay  则 2 2 2 bcMF b a b    2 2OM c b a   由 2 16OMFS  可得 1 16 2 ab  ,所以 32ab  又因为双曲线 1C 、 2C 的离心率相同 则 2 2 2 2 5 2 32 ce a c a b ab          , 解方程组可得 2 264, 16a b  所以双曲线 2C 的方程为 22 1 64 16 x y   故选:D 3．已知双曲线 ，若抛物线 （ 为双曲线半焦距）的准线被双曲线 截得 的弦长为 （ 为双曲线 的离心率），则双曲线 的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵抛物线 的准线： ，它正好经过双曲线 的下焦点， ∴准线被双曲线 截得的弦长为 ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴双曲线 的渐近线方程为 . 故应选 D. 4．设 F 为椭圆的左焦点，A为椭圆的右顶点，B为椭圆短轴上的一个顶点，当 7 2 AB FB 时，该椭圆 的离心率为 1 2 ，将此结论类比到双曲线，得到的正确结论为（ ） A．设F 为双曲线的左焦点，A为双曲线的右顶点，B为双曲线虚轴上的一个顶点，当 7 2 AB FB 时， 该双曲线的离心率为 2 B．设F 为双曲线的左焦点， A为双曲线的右顶点，B为双曲线虚轴上的一个顶点，当 7 2 AB FB 时， 该双曲线的离心率为 4 C．设F 为双曲线的左焦点， A为双曲线的右顶点，B为双曲线虚轴上的一个顶点，当 7 2 FB AB 时， 该双曲线的离心率为 2 D．设F 为双曲线的左焦点，A为双曲线的右顶点，B为双曲线虚轴上的一个顶点，当 7 2 FB AB 时， 该双曲线的离心率为 4 【答案】C 【解析】对于双曲线而言， FB AB ，排除 A，B. 由 7 2 FB AB ，得 2 2 2 2 2 2 2 2 7 3 4 2 2 4 cb c c c a c e e a           ， 故选：C. 5．已知双曲线 2 2 : 1 4 5 x yC - = ，圆 2 2 1 : ( 3) 16F x y   .Q是双曲线C右支上的一个动点，以Q为圆心作 圆Q与圆 1F 相外切，则以下命题正确的是（ ） A． Q 过双曲线C的右焦点 B． Q 过双曲线C的右顶点 C． Q 过双曲线C的左焦点 D． Q 过双曲线C的左顶点 【答案】A 【解析】 Q 与 1F 相外切， 可得： 1 4 QFQ R  ， 而 1 2 2 4FQ F Q a   ， 故 2 QF Q R ， 故 Q 过右焦点 2F . 故选：A 6．已知双曲线 1C ： 2 2 2 2 1y x a b   及双曲线 2C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a b b a     ，且 1C 的离心率为 5，若直线  0y kx k  与双曲线 1C ， 2C 都无交点，则 k的值是（ ） A．2 B． 1 2 C． 5 D．1 【答案】B 【解析】双曲线 1C ： 2 2 2 2 1y x a b   及双曲线 2C ： 2 2 2 2 1x y b a   ,是共渐近线的双曲线，则直线  0y kx k  与 双曲线 1C ， 2C 都无交点，只能是直线和双曲线重合，渐近线方程 为: 2 2 1, 5 1 5 2, . 2 a c b b ay x b a a a b          因为 0k  ，故得到值为 1 2 . 故答案为：B. 7．设双曲线 M与双曲线 N的中心都为坐标原点，对称轴都为坐标轴，双曲线 M与双曲线 N的离心率分别 为 1 2,e e ，若双曲线 M的实轴长是双曲线 N的实轴长的 2倍，它们的虚轴长相等，则点  1 2,e e 必在（ ） A．双曲线 2 24 3y x  上 B．椭圆 2 24 3x y  上 C．双曲线 2 24 3x y  上 D．椭圆 2 24 3x y  上 【答案】C 【解析】设双曲线 N的方程为 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     ， 则双曲线 M的方程为 2 2 2 2 1 4 x y a b   或 2 2 2 2 1 4 y x a b   ， 所以 2 2 2 2 2 12 21 , 1 4 b be e a a     ， 则  2 2 2 1 4 1e e   ，即 2 2 1 24 3e e  . 所以点  1 2,e e 必在双曲线 2 24 3x y  上. 故选：C 8．双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     ，曲线 cos( ),y b x x R b    经过双曲线的焦点，则双曲线的离心率为 （ ） A． 2 1 2 ( 2, ) 1 k k k N k      B． 2 ( 2, ) 1 k k k N k    C． 2 1 2 ( ) 1( ) 1 2 k k N k      D． 2 1 ( ) 1( ) 1 2 k k N k     【答案】C 【解析】由曲线 cos( ),y b x x R b    ，可得令 , 2 x k k N b       ，得 1( ) , 2 x k b k N    ， 即 1( ) , 2 c k b k N    ，则 2 2 21( ) 1 2 a c b k b      ， 所以双曲线的离心率为 2 2 1 1( ) 2 2 1 1( ) 1 ( ) 1 2 2 k b kce a k b k            ，故选 C. 9．已知 ( 2,0),M  (2,0),N | | | | 3PM PN  ，则动点 P的轨迹是（ ） A．双曲线 B．双曲线左边一支 C．一条射线 D．双曲线右边一支 【答案】D 【解析】 3PM PN MN   且 PM PN 动点 P的轨迹为双曲线的右边一支 故选：D 10．已知椭圆 2 2 1 16 7 x x   的左、右焦点 1 2,F F 与双曲线   2 2 2 2 1 0x x a b a b     的焦点重合．且直线 1 0x y   与双曲线右支相交于点 P，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（ ） A． 2 2 1 8 xx   B． 2 2 1 6 3 x x   C． 2 2 1 7 2 x x   D． 2 2 1 5 4 x x   【答案】D 【解析】因 3716 c ,故 )0,3(2F ,设交点 )0)(1,(  tttP ,则 2 2 2 ( 3) ( 1)PF t t    22 8 10t t   ,右准线方程为 3 2ax  ,点P到这条直线的距离为 3 2atd  ,所以 3 10823 2 2 at tt a    , 即 222222 1082)3( atataat  ,也即 0102)92( 42222  aatata ,该方程有正根,所以 0)10)(92(44 4224  aaaa ,解之得 52 a 或 92 a ,所以当 52 a 时,双曲线的离心率最小, 此时 4592 b ,应选 D. 11．设 1 2F F、 分别为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点 P，满足 2 1 2PF FF ，且 2F 到直线 1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线 2 4y x 的准 线围成三角形的面积为（ ） A． 3 4 B． 3 5 C． 4 3 D． 5 3 【答案】C 【解析】依题意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形 PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线 PF1的投影是其中点，由勾 股定理可知|PF1|＝2 2 24 4c a  4b 根据双曲定义可知 4b﹣2c＝2a，整理得 c＝2b﹣a，代入 c2＝a2+b2整理得 3b2﹣4ab＝0，求得 4 3 b a  ∴双曲线渐近线方程为 y＝± 4 3 x，即 4x±3y＝0， 渐近线与抛物线的准线 1x   的交点坐标为： 41, 3      ， 41, 3       ， 三角形 的面积为： 1 8 41 2 3 3    . 故选 C. 12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为 1F 、 2F ，且两条曲线在第一象限的交点 为P， 1 2PF F 是以 1PF 为底边的等腰三角形，若 1 10PF  ，椭圆与双曲线的离心率分别为 1e 、 2e ，则 1e 与 2e 满足的关系是（ ） A． 1 2 1 1 2 e e   B． 1 2 1 1 2 e e   C． 1 2 2e e  D． 2 1 2e e  【答案】B 【解析】由椭圆与双曲线定义得 1 2 2 2, 10 2 10 2 c ce e c c     ，所以 1 2 1 1 4 2 2 c e e c    ，选 B. 二、填空题（共 20分，每题 5分） 13．若M 为双曲线 1C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）右支上一点， A， F 分别为双曲线 1C 的左顶点和 右焦点，且 MAF 为等边三角形，双曲线 1C 与双曲线 2C ： 2 2 2 '2 1 4 x y b   （ ' 0b  ）的渐近线相同，则双曲 线 2C 的虚轴长是__________． 【答案】8 15 【解析】由题意，A（-a，0），F（c，0），M（  3 , ) 2 2 c ac a  由双曲线的定义可得 2 2 c a c c a a a c      c2-3ac-4a2=0，∴e2-3e-4=0，∴e=4，即 4 15c b a a    又双曲线 1C 与双曲线 2C ： 2 2 2 '2 1 4 x y b   （ ' 0b  ） 的渐近线相同，所以 15 4 15 4 b b     则双曲线 2C 的虚轴长是8 15 故答案为8 15 14．已知双曲线过点  2, 3 ，且与双曲线 2 2 1 4 x y  有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为 __________． 【答案】 2 2 1 2 8 y x   【解析】设与双曲线 2 2 1 4 x y  有相同的渐近线的双曲线方程为   2 2 0 4 x y     ，将点  2, 3 带人方 程有 4 3 4   ，所以 2   ，则所求双曲线方程为 2 2 1 2 8 y x   . 15．已知 1F、 2F 是双曲线C： 2 2 2 2 1x y a b   的左、右焦点，点M 在双曲线C上， 1MF 与 x轴垂直， 2 1 2sin 3 MF F  ，则双曲线C两条渐近线夹角的正切值为________ 【答案】 4 3 【解析】由题,  1 ,0F c , 因为 1MF 与 x轴垂直, 所以将 x c  代入 2 2 2 2 1x y a b   中可得 2by a   , 所以 2 1 bMF a  , 由双曲线的定义可得 2 2 12 2 bMF a MF a a     , 因为 2 1 2sin 3 MF F  ,即 1 2 1 2 2 2 2 32 sin b MF a bMF MF a a F      , 所以 2b a ,即渐近线为 2y x  , 设两条渐近线的夹角为 0 2       , 所以 2 2 2 4tan 1 2 3      故答案为: 4 3 16．已知一簇双曲线 nE ： 2 2 2 2020 nx y        （ n N 且 2020n  ），设双曲线 nE 的左、右焦点分别为 1n F 、 2n F ， nP 是双曲线 nE 右支上一动点，三角形 1 2n n nP F F 的内切圆 nG 与 x轴切于点  ,0n nA a ，则 1 2 2020a a a   __________． 【答案】 2021 2 【解析】如图，设 1n nP F 、 2n nP F 与圆 nG 分别切于点 nB 、 nC ， 根据内切圆的性质可得 n n n nPB PC ， 1 1n n n nF B F A ， 2 2n n n nF C F A ， 又点 nP 在双曲线的右支上，所以有 1 2 2 2 2020n n n n nP F P F a    ． 则  1 2 1 2 1 2 2 2020n n n n n n n n n n n n n n n n nP F P F P B F B PC F C F A F A         ． 又 1 1n n n nF A F O a  ， 2 2n n n nF A F O a  ， 1 2n nF O F O ， 所以 1 2 2n n n n nF A F A a  ， 所以 2 2 2020n na   ，即 2020n na  ， 因此   1 2 2020 1 2020 20201 2 2020 1 2021 2020 2020 2020 2020 2 2 a a a           L ． 故答案为： 2021 2 . 三、解答题 17．（10分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     与双曲线 2 2 1 16 4 x y   有相同的渐近线，且双曲线 C 过点  4, 3 ． (1)若双曲线 C的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，双曲线 C上有一点 P，使得 1 2 60F PF  ，求△ 1 2FPF 的面 积； (2)过双曲线 C的右焦点 2F 作直线 l与双曲线右支交于 A，B两点，若△ 1F AB的周长是 40 3 ，求直线 l的方 程． 【答案】（1） 3；（2） 5y x  或 5y x   . 【解析】解：(1) 设双曲线 C： 2 2 16 4 x y   ，点  4, 3 代入得： 1 4   ∴双曲线 C： 2 2 1 4 x y  在△PF1F2中，设 1 2,PF m PF n  ， ∴ 2 2 1 2 4 20 1cos 2 2 m n m nF PF mn           ① ② ， 由②得：  2 2 20m n mn mn    ， 16 2 20mn mn   ， 4mn  ， ∴ 1 2 1 sin60 3 2PF FS mn   ； (2)∵ 1 1 1 2 2 40+ 2 2 8 2 3F ABC AF BF AB AF a BF a AB AB          ∴ 8 3 AB  ， 1°当直线 AB斜率不存在时， 1AB  ，不符合题意（舍） 2°当直线 AB斜率存在时，设 AB：  5y k x  ， 联立：   2 2 5 1 4 y k x x y          ，  2 2 2 24 1 8 5 20 4 0k x k x k     ∴  22 2 2 1 2 2 2 4 11 16 16 81 34 1 4 1 kk kAB k x x k k            ， 解得： 1k   ，此时   ， ∴直线 l方程： 5y x  或 5y x   . 18．（12分）已知双曲线 2 2 : 1 4 3 x yC   . (1)求与双曲线 C 有共同的渐近线，且实轴长为 20 的双曲线的标准方程； (2)P 为双曲线 C 右支上一动点，点 A的坐标是(4，0)，求 | |PA 的最小值. 【答案】（1） 2 2 1 100 75 x y   或 2 2 400100 1 3 y x   ；（2） 3 21 7 . 【解析】（1）设 2 2 1 4 3 x y m m   ，当 0m  ， 4 100 25m m   ； 当 0m  ， 1003 100 3 m m     ， ∴标准方程为 2 2 1 100 75 x y   或 2 2 1400100 3 y x   . （2）设 ,P x y（ ）（x≥2）， ∴  22 2 27 27| | 4 8 13 4 7 PA x y x x       ，即最小值为 3 21 7 . 19．（12分）已知双曲线 2 2 1 5 x y  的焦点是椭圆C： 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的顶点，且椭圆与双曲线的 离心率互为倒数. （1）求椭圆C的方程； （2）设动点M ， N 在椭圆C上，且 4 3 3 MN  ，记直线MN在 y轴上的截距为m，求m的最大值. 【答案】(1) 2 2 1 6 x y  . (2) 15 3 . 【解析】（I）双曲线的焦点为  6,0 ，离心率为 30 5 ，对于椭圆来说， 56, 30 ca e a    ，由此求 得 1b  和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得 ,m k的一 个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得 ,m k一个等量关系，利用 k表示m，进而用基本不等式求得m 的最大值. 试题解析： （Ⅰ）双曲线 2 2 1 5 x y  的焦点坐标为  6,0 ，离心率为 30 5 . 因为双曲线 2 2 1 5 x y  的焦点是椭圆C： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互 为倒数，所以 6a  ，且 2 2 30 6 a b a   ，解得 1b  . 故椭圆C的方程为 2 2 1 6 x y  . （Ⅱ）因为 4 3 2 3 MN   ，所以直线MN的斜率存在. 因为直线MN在 y轴上的截距为m，所以可设直线MN的方程为 y kx m  . 代入椭圆方程 2 2 1 6 x y  得  2 21 6 12k x kmx    26 1 0m   . 因为    2 212 24 1 6km k     2 1 24m    2 21 6 0k m   ， 所以 2 21+6m k . 设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 根据根与系数的关系得 1 2 2 12 1 6 kmx x k     ，  2 1 2 2 6 1 1 6 m x x k    . 则 2 1 21MN k x x    22 1 2 1 21 4k x x x x     22 2 2 2 24 1121 1 6 1 6 mkmk k k         . 因为 4 3 3 MN  ，即  22 2 2 2 24 1121 1 6 1 6 mkmk k k        4 3 3  . 整理得   4 2 2 2 18 39 7 9 1 k km k      . 令 2 1 1k t   ，则 2 1k t  . 所以 2 2 18 75 50 9 t tm t      1 5075 18 9 t t          75 2 30 5 9 3    . 等号成立的条件是 5 3 t  ，此时 2 2 3 k  ， 2 5 3 m  满足 2 21 6m k  ，符合题意. 故m的最大值为 15 3 . 20．（12分）如图， 1 2,F F 是双曲线 2 2 1x y  的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以 1 2F F 为直径的圆， 直线 l： y kx b  与圆 O相切，并与双曲线交于 A、B两点． （Ⅰ）根据条件求出 b和 k的关系式; （Ⅱ）当 2 1OA OB k     时，求直线 l的方程； （Ⅲ）当  2 1OA OB m k     ，且满足 2 4m  时，求 AOB 面积的取值范围． 【答案】（Ⅰ）    2 22 1 1b k k   ；（Ⅱ） 2 6y x   ；（Ⅲ） 3 10,3 34    . 【解析】（Ⅰ）圆 2 2: 2O x y  ，    2 2 2 2 2 1 1 1 b d b k k k         ； （Ⅱ）设点  1 1,A x y 、  2 2,B x y ，由 2 2 1 y kx b x y      ，得    2 21 2 1 0k x kb b     ， 1 2 2 2 1 kbx x k     ， 2 1 2 2 1 1 bx x k     ，       2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21OA OB x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b             uur uuur   2 2 2 2 2 2 1 21 1 1 1 b kbk kb b k k k              ， 2 2k  ， 2k   ， 6b   ，因此，直线 l的方程为 2 6y x   ； （Ⅲ）由（Ⅱ）知： 2 1 1 m k    ， 2 11k m    于是 2 2 2 2b k k   ， 2 2 2 2 1 2 2 2 11 1 1 b kAB k x x k k           ， 又O到 AB的距离 2d  ，     21 32 4 1 2 1 2 8 17 3 10,3 34 2 2AOBS AB d m m m                      . 21．（12 分）已知双曲线C与椭圆 2 2 1 8 4 x y   有相同的焦点，实半轴长为 3． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线 : 2l y kx  与双曲线C有两个不同的交点 A和 B ,且 2OA OB    （其中O为原点）,求 k的 取值范围． 【答案】（1） 2 2 1 3 x y  （2） 3 3( 1, ) ( ,1) 3 3 k    【解析】（1）设双曲线的方程为 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0，b＞0），由已知易求 a，c，根据 a，b，c 的平方关 系即可求得 b 值；（2）设 A  1 1,x y ，B  2 2,x y ，则由 2OA OB    ，可得  2 1 2 1 2 1 21x x y y k x x    1 22 2 2k x x    ，联立方程组消掉 y，根据韦达定理即可得到关于 k的不等式，注意判别式大于 0， 解出即得 k 的范围 试题解析：（1）解：设双曲线的方程为 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 2,3  ca 1b , 故双曲线方程为 2 2 1 3 x y  ． （2）解：将 2 kxy 代入 2 2 1 3 x y  得 0926)31( 22  kxxk 由      0 031 2k 得 , 3 12 k 且 12 k 设 ),(),,( 2211 yxByxA ,则由 2OBOA 得 )2)(2( 21212121  kxkxxxyyxx = 2)(2)1( 2121 2  xxkxxk 22 31 262 31 9)1( 22 2       k kk k k ,得 .3 3 1 2  k 又 2 1k  ， 21 1 3 k   ,即 )1, 3 3() 3 3,1( k 22．（12分）双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的左、右焦点分别是 1 2,F F ，抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点与 点 2F 重合，点 (2, 2 6)M 是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示. (1)求双曲线及抛物线的标准方程； (2)设直线 l与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于 ,A B两点，交双曲线于点C，若点C是 线段 AB的中点，求直线 l的方程. 【答案】（1） 2 12y x ， 2 2 1 8 yx   （2） 2 2 2y x  【解析】(1)先根据M坐标求 p,得焦点坐标，再将M坐标代入双曲线方程，联立方程组解得 a,b，(2)先求渐 近线方程，设直线 l方程，分别与抛物线方程、双曲线方程联立方程组，利用韦达定理以及中点坐标公式列 方程，解得直线 l的方程. 详解： (1) 2 2y px 代入  2,2 6M 得 2 6 2 2p  解得 6p  因为焦点为  3,0 所以 3c  ，双曲线的焦点在 x轴上 将 2 2 2 2 1 9 x y a a    代入  2,2 6M 所以 2 1a  或 2 36a  (舍去) 所以 2 29, 8c b  所以她物线的标准方程为 2 12y x 曲线的标准方程为 2 2 1 8 yx   (2)渐近线 by x a  2 2y x 设直线 l， 2 2y x m  2 2 2 12 y x m y x      别消去 ,x y得  2 2 2 8 4 2 12 0 3 2 3 2 0 x m x m y y m           将 2 28 8x y  代入 3 2 3 2, 4 2 mC        得 2 3 2 8 0m m   ，解得 4 2m  或 2，经验证， 4 2m  不合题意，故舍去. 所以 2 2 2y x 