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- 2021-06-30 发布
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5.5.2
简单的三角恒等变换
(
二
)
关键能力
·
合作学习
类型一 角的变换问题
(
数学运算
)
【
题组训练
】
1. -tan 20°= (
)
2.
若
sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=0
,则
sin(α+2β)+sin(α-2β)
等
于
(
)
A.1 B.-1 C.0 D.±1
3.
若
3sin x- cos x=2 sin(x+
φ
)
,
φ
∈(-π
,
π)
,则
φ
=_______.
【
解析
】
1.
选
C.
原式
=
2.
选
C.
因为
sin(
α
+
β
)cos
β
-cos(
α
+
β
)sin
β
=sin(
α
+
β
-
β
)=sin
α
=0
,
所以
sin(
α
+2
β
)+sin(
α
-2
β
)=2sin
α
cos 2
β
=0.
3.
因为
3sin x- cosx
,又因为
φ
∈(-
π
,
π
)
,
所以
φ
=- .
答案:
-
【
解题策略
】
角的三种变换
(1)
常见的配角变换
.
α=2·
,
α=(α+β)-β
,
α=β-(β-α)
,
α= [(α+β)+(α-β)]
,
β= [(α+β)-(α-β)]
,
(2)
辅助角变换
.
asin x+bcos x= sin(x+
φ
)
,其中
tan
φ
= .
(3)
注意常值的代换
.
用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能用相关公式,如
1=sin
2
α+
cos
2
α
,
1=sin 90°
,
=sin 30°
,
=cos 30°
等
.
【
补偿训练
】
1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)- cos(θ+15°)=_______.
【
解析
】
令
α
=
θ
+15
°
,
则原式
=sin(
α
+60
°
)+cos(
α
+30
°
)- cos
α
= sin
α
+ cos
α
+ cos
α
- sin
α
- cos
α
=0.
答案:
0
2.(2020·
莒南高一检测
) =_______.
【
解析
】
原式
=
答案:
4
类型二 三角恒等变换的实际应用问题
(
数学建模、数学运算
)
【
典例
】
某工人要从一块圆心角为
45°
的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径长为
1 m
,求割出的长方形桌面的最大面积
(
如图
).
四步
内容
理解
题意
条件:①圆心角为
45°
,半径长为
1 m
的扇形木板;
②割出一块一边在半径上的内接长方形桌面
.
结论:求割出的长方形桌面的最大面积
.
思路
探求
连接
CO
,设∠
COB=θ
,用
θ
表示矩形的长宽,写出矩形面积关于
θ
的函数关系,进而求最值
.
【
解题策略
】
三角恒等变换实际问题的解题策略
此类问题关键在于构建函数模型,首先要选准角,有利于表示所需线段,其次要确定角的范围
.
【
跟踪训练
】
如图所示,要把半径为
R
的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使△
OAB
的周长最长?
【
解析
】
设∠
AOB=
α
,△
OAB
的周长为
l
,则
AB=Rsin
α
,
OB=Rcos
α
,
所以
l
=OA+AB+OB=R+Rsin
α
+Rcos
α
=R(sin
α
+cos
α
)+R= +R.
因为
0<
α
<
,所以
<
α
+ <
,
所以
l
的最大值为
R+R=( +1)R
,此时,
α
+
,即
α
=
,即当
α
=
时,△
OAB
的周长最长
.
类型三 三角恒等变换与函数问题
(
数学运算,逻辑推理
)
角度
1
与三角函数性质有关的问题
【
典例
】
函数
f(x)= (1+cos 2x)·sin
2
x(x∈R)
是
(
)
A.
最小正周期为
π
的奇函数
B.
最小正周期为 的奇函数
C.
最小正周期为
π
的偶函数
D.
最小正周期为 的偶函数
【
思路导引
】
先利用三角恒等变换把解析式化简为
f(x)=Acos(ωx+
φ
)+c
的形式
再解答
.
【
解析
】
选
D.
因为
f(x)= (1+cos 2x)(1-cos 2x)= (1-cos
2
2x)= sin
2
2x=
(1-cos 4x).
又
f(-x)=f(x)
,所以函数
f(x)
是最小正周期为 的偶函数
.
【
变式探究
】
本例若把函数解析式改为:
f(x)=sin
2
x-sin
2
,
x∈R
,试求
f(x)
的最小正周期及在区间 上的最大
值和最小值
.
【
解析
】
由已知
,有
f(x)=
所以
f(x)
的最小正周期
T= =
π
.
因为
f(x)
在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
,所以
f(x)
在区间 上的最大值为 ,最小值为
- .
角度
2
与三角函数图象有关的问题
【
典例
】
函数
f(x)=4cos
2
cos -2sin x-|ln(x+1)|
的零点个数为
_____.
【
思路导引
】
利用三角恒等变换公式化简函数解析式后再结合图象解答
.
【
解析
】
因为
f(x)=4cos
2
cos -2sin x-|ln(x+1)|
=2(1+cos x)sin x-2sin x-|ln(x+1)|
=sin 2x-|ln(x+1)|
,
所以函数
f(x)
的零点个数为函数
y=sin 2x
与
y=|ln(x+1)|
图象的交点的个数,
函数
y=sin 2x
与
y=|ln(x+1)|
的图象如图,
由图知,两函数图象有
2
个交点,所以函数
f(x)
有
2
个零点
.
答案:
2
【
解题策略
】
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略:运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成
y=asin ωx+bcos ωx+k
的形式,借助辅助角公式化为
y=Asin(ωx+
φ
)+k(
或
y=Acos(ωx+
φ
)+k)
的形式,将
ωx+
φ
看作一个整体研究函数的性质
.
研究图象问题时用数形结合的方法直观解题,由“数”想图,借“图”解题
.
【
题组训练
】
1.
函数
f(x)=cos
2
,
x∈R
,则
f(x) (
)
A.
是奇函数
B.
是偶函数
C.
既是奇函数,也是偶函数
D.
既不是奇函数,也不是偶函数
【
解析
】
选
D.
由
cos 2x=2cos
2
x-1
,
得
f(x)=
所以该函数既不是奇函数,也不是偶函数
.
2.
函数
f(x)=sin xcos x-ln|x|
有
_______
个零点
.
【
解析
】
因为
f(x)=sin xcos x-ln|x|= sin2x-ln
,所以函数
f(x)
的零点个
数为函数
y= sin 2x
与
y=ln
图象的交点的个数,
y= sin 2x
与
y=ln |x|
的
图象如图,由图知零点的个数为
2
个
.
答案:
2
3.
设函数
f(x)=sin
2
ωx+2 sin ωx·cos ωx-cos
2
ωx+λ(x∈R)
的图象关于
直线
x=π
对称
.
其中
ω
,
λ
为常数,且
ω∈ .
(1)
求函数
f(x)
的最小正周期;
(2)
若
y=f(x)
的图象经过点 ,求函数
f(x)
的值域
.
【
解析
】
(1)
因为
f(x)=sin
2
ω
x-cos
2
ω
x+2 sin
ω
x·cos
ω
x+
λ
=
-cos 2
ω
x+ sin 2
ω
x+
λ
=2sin +
λ
.
由直线
x=
π
是
y=f(x)
图象的一条对称轴,
可得
sin =
±
1.
所以
2
ωπ
- =k
π
+ (k∈Z)
,即
ω
= (k∈Z).
又
ω
∈
,
k∈Z
,所以
k=1
,故
ω
= .
所以
f(x)
的最小正周期是
.
(2)
由
y=f(x)
的图象过点 ,得
f =0
,
即
λ
=-2sin
即
λ
=-
,故
f(x)=2sin
函数
f(x)
的值域为
【
补偿训练
】
已知函数
f(x)=2asin ωxcos ωx+2 cos
2
ωx- (a>0
,
ω>0)
的最大值为
2.x
1
,
x
2
是集合
M={x∈R|f(x)=0}
中的任意两个元素,
|x
1
-x
2
|
的最小
值为
.
(1)
求
a
,
ω
的值;
(2)
若
f(α)=
,求
sin
的值
.
【
解析
】
(1)f(x)=asin 2
ω
x+ cos 2
ω
x
= sin(2
ω
x+
φ
)
,其中
tan
φ
= .
由题意知
=2
,
a>0
,则
a=1.
f(x)
的最小正周期为
π
,
则
=
π
,故
ω
=1.
(2)
由
(1)
知
f(x)=sin 2x+ cos 2x=2sin
由
f(
α
)=
,知
2sin
,
即
sin
所以
sin
课堂检测
·
素养达标
1.
下列各式中,值为 的是
(
)
A.sin 15°cos15° B.cos
2
-sin
2
【
解析
】
选
B.A
中,原式
=
B
中,原式
=cos
C
中,原式
=
D
中,原式
=cos 30
°
= .
2.
已知
sin 2
α
=
,则
cos
2
= (
)
【
解析
】
选
D.cos
2
3.
函数
y= sin 2x+cos
2
x
的最小正周期为
(
)
A. B.
π
C. D.2
π
【
解析
】
选
B.
因为
y= sin 2x+cos
2
x= sin 2x+ cos 2x+ =
sin
,所以函数的最小正周期
T= =
π
.
4.(
教材二次开发:练习改编
)
函数
f(x)=sin x-cos x
,
x∈
的最小值为
_______.
【
解析
】
f(x)=
,
x∈ .
因为
-
,所以
f(x)
min
=
=-1.
答案:
-1
5.
已知
f(x)= sin x-cos x
,则
f
的最小正周期为
_______
;若
f(x)=
,
则
cos =_______.
【
解析
】
因为
f(x)= sin x-cos x=2sin
,
所以
f
所以最小正周期
T=4
π
.
由
f(x)=
则
cos
答案:
4
π
-
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