2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第6节解三角形第1课时正弦定理和余弦定理教学案含解析新人教A版 17页

第6节　解三角形 考试要求　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ‎(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A ‎b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 ‎3.三角形常用面积公式 ‎(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).‎ ‎(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).‎ ‎4.测量中的几个术语 ‎(1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).‎ ‎(2)方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).‎ ‎(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.‎ ‎(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.‎ 解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.三角形中的三角函数关系 ‎(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；‎ ‎(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.‎ ‎2.三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.‎ ‎3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos Asin B，则A>B.(　　)‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)‎ ‎(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)‎ 解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.‎ ‎(3)已知三角时，不可求三边.‎ ‎(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2.(新教材必修第二册P44例6改编)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由余弦定理知cos B＝＝.‎ 答案　A ‎3.(老教材必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)‎ A.50 m B.50 m C.25 m D. m 解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，‎ ‎∴AB＝＝＝50(m).‎ 答案　A ‎4.(2019·安庆二模)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin ‎ B，且c＝2b，则等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由bsin 2A＝asin B，及正弦定理得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，得cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.‎ 答案　D ‎5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)‎ A.4 B. C. D.2 解析　由题意得cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.‎ 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.‎ 答案　A ‎6.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.‎ 解析　作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1，S6＝6××12×sin 60°＝.‎ 答案　 第一课时　正弦定理和余弦定理 考点一　利用正、余弦定理解三角形 ‎【例1】 (1)(2019·郑州二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2 ‎－cos 2C＝1，4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为(　　)‎ A. B. C. D.6‎ ‎(2)(2020·衡水模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝1，sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，则A＝________.‎ 解析　(1)由2cos2－cos 2C＝1，‎ 可得2cos2－1－cos 2C＝0，‎ 则有cos 2C＋cos C＝0，即2cos2C＋cos C－1＝0，‎ 解得cos C＝或cos C＝－1(舍)，‎ 由4sin B＝3sin A，得4b＝3a，①‎ 又a－b＝1，②‎ 联立①，②得a＝4，b＝3，‎ 所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋9－12＝13，则c＝.‎ ‎(2)由sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，‎ 得sin Acos C＋sin Ccos A＝－bcos A，‎ 所以sin(A＋C)＝－bcos A，即sin B＝－bcos A，‎ 又＝，所以＝＝－，‎ 从而＝－⇒tan A＝－，‎ 又因为00，∴sin A＝1，即A＝，‎ ‎∴△ABC为直角三角形.‎ 答案　(1)C　(2)B 规律方法　1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.‎ ‎2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.‎ ‎【训练2】 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若0，‎ 所以sin C0，所以cos B<0，‎ 即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.‎ ‎(2)∵＝，∴＝，∴b＝c.‎ 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，‎ ‎∴b2＋c2－a2＝bc，‎ ‎∴cos A＝＝＝.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴A＝，‎ ‎∴△ABC是等边三角形.‎ 答案　(1)A　(2)C 考点三　和三角形面积有关的问题 ‎【例3】 (2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.‎ 解　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.‎ 因为sin A≠0，所以sin＝sin B.‎ 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，‎ 故cos＝2sincos.‎ 因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.‎ ‎(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.‎ 由(1)知A＋C＝120°，‎ 由正弦定理得a＝＝＝＋.‎ 由于△ABC为锐角三角形，故0°c2，故2b＝a，故选A.‎ ‎[应用示范]由正弦定理及sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b，即2bcos C＝acos C，又因为△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，则2b＝a.‎ 答案　A ‎【例2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.‎ ‎[通性通法]依题意得2b×＝a×＋c×，即a2＋c2－b2＝ac，所以2accos B＝ac>0，cos B＝.又0a，B>A，0°