河北省唐山一中2020届高三上学期期中考试数学（文）试卷 Word版含解析 18页

唐山一中2019-2020学年度第一学期期中考试 高三年级 文科数学试卷 卷Ⅰ（选择题 共60分）‎ 一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分）‎ ‎1. 已知全集，集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷多个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解分式不等式得集合A，再化简B，最后根据交集与补集定义得结果.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以阴影部分所表示集合为,元素共有4个，‎ 故选B ‎【点睛】本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2. 已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立.‎ - 18 -‎ ‎【详解】当时，，所以数列为公差为1的等差数列，即充分性成立；‎ ‎，所以若数列为等差数列，则或，即必要性不成立，‎ 综上，“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，‎ 故选A ‎【点睛】本题考查等差数列定义以及充要关系判定，考查基本分析化简求证能力，属中档题.‎ ‎3. 已知向量，，，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行可构造方程求得，由同角三角函数关系求得；根据诱导公式可求得结果.‎ ‎【详解】 ，解得：‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查向量平行关系的应用、同角三角函数关系与诱导公式求解三角函数值的问题；关键是能够根据向量平行关系求得.‎ ‎4. 函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ 先根据分段函数转化为两个不等式组，解得结果.‎ ‎【详解】因为，所以或 因此或，或，即 故选:A ‎【点睛】本题考查分段函数性质以及解指对数不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎5. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝，其中p0为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝(　　)‎ A. 150毫克/升 B. 300毫克/升 C. 150ln 2毫克/升 D. 300ln 2毫克/升 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由当时，污染物数量的变化率是，求出，再利用关系式，可求 的值．‎ ‎【详解】选C　因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝，所以p(60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升)．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 借助第三量比较大小关系.‎ - 18 -‎ ‎【详解】因为 所以 故选D ‎【点睛】本题考查比较大小以及二次函数值域，考查基本分析判断能力，属中档题.‎ ‎7. 已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 A. 3 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解析：考察均值不等式，整理得即，又，‎ ‎8. 函数的图象大致是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．‎ - 18 -‎ ‎【详解】∵函数 ‎∴‎ ‎∴函数为奇函数，即图象关于原点对称 当向右趋向于1时，趋向于，故排除D；‎ 当向左趋向于1时，趋向于，故排除B、C.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除 ‎9. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题可得，‎ 因为，所以，，故，‎ 令，解得或，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以的极小值为，故选A．‎ ‎【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；‎ ‎（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．‎ - 18 -‎ ‎10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝2C,2bcosC－2ccosB＝a，则角A的大小为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由正弦定理得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，为锐角,‎ 所以，故选A.‎ ‎11. 实数，，成等差，点在动直线上的射影为，点则线段长度的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件确定动直线过定点，再确定点轨迹，最后根据点与圆位置关系求最值.‎ ‎【详解】因为，，成等差，所以，因此过定点,‎ 因为点在动直线上的射影为，所以点轨迹为以为直径的圆，即，从而,（为坐标原点）‎ - 18 -‎ 故选B ‎【点睛】本题考查直线过定点、圆的轨迹以及点与圆的位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎12. 已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.‎ ‎【详解】因为函数是偶函数，，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当时，，所以方程可以化为：，即，‎ 记，，设直线与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得.选D.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.‎ 卷Ⅱ（非选择题 共90分）‎ 二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）‎ ‎13. 已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，若点在第四象限，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，又点在第四象限，‎ 所以，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14. 函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，得，故存在切点，使得，所以 - 18 -‎ 有解．由于，所以（当且仅当取等号），即．‎ 考点：1、导数的几何意义；2、基本不等式．‎ ‎【思路点晴】求解时要充分借助题设和直线与函数代表的曲线相切的的条件,建立含参数的方程,然后运用存在变量使得方程有解,再进一步转化为求函数的值域问题．求值域时又利用题设中的，巧妙运用基本不等式使得问题简捷巧妙获解．‎ ‎15. 执行如图所示的程序框图，若输出，则输入的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 执行程序一次，，执行第二次后，执行第三次后，执行第四次后，此时应该跳出循环，所以，故填． ‎ ‎16. 已知三棱锥中，平面平面，，则三棱锥的外接球的大圆面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 球的切接问题是最近高考的热点之一，解题的关键是利用所给几何体的特征，找到球心，求出半径；找球心常用方法就是先找到多面体的一个三角形面的外心，球心在过这个外心且垂直于这个平面的直线上，再利用已知条件求出半径，如本题就釆用这种方法；或者是看所给多面体是否能放入某个正方体或长方体中，借助正方体或长方体的外接球去求解.‎ ‎【详解】解：如下图所示，设的中点为，，连结，因为，所以 - 18 -‎ ‎，又平面平面，所以平面，又因为是等腰直角三角形，所为的外心，，所以球心一定在直线上，，所以球心在线段的延长线上，设，则三棱锥外接球半径，即，解得，所以，所以三棱锥的外接球的大圆面积.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查球的切接问题与球的性质，属中档题.‎ 考点：1.球的切接问题；2.球的性质.‎ 三．解答题（共6小题，计70分）‎ ‎17. 在中，，.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)设的面积，求边上的高.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角形内角关系以及两角和正弦公式求解，（2）先根据正弦定理以及三角形面积公式求，再利用三角形面积公式求高.‎ ‎【详解】解：(1)，‎ 为钝角，，‎ 为钝角为锐角，‎ ‎，‎ - 18 -‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎(2)，‎ 设，，，边上的高为 则，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 边上的高为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式以及两角和正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎18. 在数列中，，，且对任意的N*，都有.‎ ‎（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）可变形为，故是等比数列.利用累加法可以求出的通项.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，用裂项相消法可求，求出的最小值后可得的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由可得． ‎ - 18 -‎ 又，，所以，故.‎ 所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以. ‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）因为. ‎ 所以 ‎. ‎ 又因为对任意的都有，所以恒成立，‎ 即,即当时，.‎ ‎【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.‎ ‎19. 如图，在三棱柱中，，，为中点，点在平面内的射影在线段上.‎ ‎ ‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若是正三角形，求三棱柱的体积.‎ ‎【答案】（1）见证明；(2) ‎ - 18 -‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）分别证明和，结合直线与平面垂直判定，即可．（2）法一：计算，结合和，即可．法二 :计算，结合，计算体积，即可．法三：结合，计算结果，即可．‎ ‎【详解】(1)证明：设点在平面内的射影为，‎ 则，，且，因，所以.‎ 在中，，，‎ 则，在中，，，‎ 则，‎ 故，故.‎ 因，故.‎ ‎(2)法一、，‎ 由(1)得，故是三棱锥的高，‎ 是正三角形，，，‎ - 18 -‎ ‎，‎ ‎，‎ 故三棱柱的体积，故三棱柱的体积为. ‎ 法二、将三棱柱补成四棱柱如图，因且高一样，‎ 故，‎ 故，‎ 由(1)得，故是四棱柱的高，‎ 故， ‎ 故，故三棱柱的体积为.‎ 法三、在三棱锥中，由(1)得，是三棱锥的高，6分 记到平面的距离为，‎ 由得，即，‎ 为的中点，故到平面的距离为， ‎ ‎.‎ 故三棱柱的体积为.‎ ‎【点睛】本道题考查了直线与平面垂直判定，考查了三棱柱的体积计算公式，难度较大．‎ - 18 -‎ ‎20. 已知为函数的一个极值点.‎ ‎（1）求实数的值，并讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若方程有且只有一个实数根，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1），．‎ ‎．‎ ‎∵ 为函数的一个极值点，‎ ‎∴ ，‎ 故，．‎ 令，解得或．‎ ‎∴ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增；‎ ‎（2）方程，‎ 整理得．因为，所以有 ‎．‎ 令，则．‎ 令，，故在上是增函数．‎ ‎∵ ，‎ - 18 -‎ ‎∴ 当时，，即，单调递减；‎ 当时，，即，单调递增；‎ ‎∴ ．‎ ‎∵ 当或时，，‎ ‎∴ 方程有且只有一个实数根时，实数．‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎21. 已知中，内角，，的对边分别为，，.‎ ‎(1)若且，求角的大小；‎ ‎(2)若为锐角三角形，且，，求面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据正弦定理化简得，再代入条件化简得，（2）根据正弦定理以及三角形面积公式得面积为，再根据锐角三角形确定B角范围，最后根据正弦函数性质求取值范围.‎ ‎【详解】(1)由于，由正弦定可得，‎ 即，‎ ‎，，‎ 故，，‎ - 18 -‎ 又，‎ 所以，‎ 即 由于，所以，由于是三角形的内角，‎ 故.‎ ‎(2)由，所以，，‎ 所以面积为 由于为锐角三角形，所以，即，‎ 解得，所以，，‎ 所以.‎ 即面积的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式、二倍角公式以及辅助角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎22. 已知（‎ ‎（1）当a＝0时，求f（x）的极值；‎ ‎（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；‎ ‎（3）若对任意的a∈（2, 3），x1, x2∈[1, 3]，恒有（m－ln3）a－2ln3＞|f（x1）－f（x2）|成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2）①当时，‎ - 18 -‎ 在和上是增函数，在上是减函数；②当时，在上是增函数；③当时，在和上是增函数，在上是减函数 （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 由,解得，可知在上是增函数，在上是减函数.‎ ‎∴的极大值为，无极小值. ‎ ‎①当时，在和上增函数，在上是减函数； ‎ ‎②当时，在上是增函数； ‎ ‎③当时，在和上是增函数，在上是减函数 ‎ ‎（3）当时，由（2）可知在上是增函数，‎ ‎∴. ‎ 由对任意的a∈（2, 3），x1, x2∈[1, 3]恒成立，‎ ‎∴ ‎ 即对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立， ‎ 由于当时，，∴.‎ - 18 -‎