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- 2021-07-01 发布
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解简单的不等式
1解不等式：(x2－x+1)(x+1)(x－4)(6－x)>0
解：对于任何实数x，x2－x+1>0恒成立，所以原不等式等价于：(x+1)(x－4)(6－x)>0 ∴(x+1)(x－4)(x－6)<0
所以原不等式的解为：x<－1或4－9, ∴x≥5
由①②③可知原不等式的解集为： 即x<－7或x>。
解法二：原不等式化为:|x－5|<|2x+3|+1两边平方得：x2－10x+25<4x2+12x+10+2|2x+3|即：2|2x+3|>－3x2－22x+15
∴4x+6>－3x2－22x+15 3x+26x－9>0 ∴x<－9或x>或4x+6<3x2+22x－15 x2+6x－7>0 ∴ x<－7或x>1
∴原不等式的解集为： 即：x<－7或x>
4 已知不等式与不等式同解，解不等式。
解：， ∴ 的解为
∴ 中 ∴ 解 由题意 ∴ 代入所求： ∴
5 (1998年全国高考)设a≠b，解关于x的不等式 a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.
解析 将原不等式化为 (a2-b2)x-b2≥(a-b)2x2+2(a-b)bx+b2， 移项，整理后得 (a-b)2(x2-x)≤0， ∵a≠b 即(a-b)2>0， ∴x2-x≤0， 即 x(x-1)≤0. 解此不等式，得解集 {x|0≤x≤1}.
6 (1995年全国高考) 的解集是________________.解析 这是一个指数不等式，基本解法是化为同底的指数形式，然后利用指数函数的单调性转化为整式不等式. 原不等式即，也就是x2-2x-8<0，解得-20
（1） 当a>1时，解为x<1或x>a
（2） 当a=1时，解为x∈R且x≠1
（3） 当a<1时，解为x1
例2. 解：
例3 若a≠0,解不等式x+2＜a(+1).
解析 怎样对参数a进行分类讨论？必须先对原不等式等价变形：x+2＜a(+1)<0x(x+2)(x－a)＜0. 于是得到必须将a与-2,0进行比较分类：
①当a＞0时，解集为x|x＜－2或0＜x＜a ②当－2＜a＜0时，解集为x|x＜－2或a＜x＜0
③当a=－2时，解集为x|x＜0且x≠－2 ④当a＜－2时，解集为x|x＜a或－2＜x＜0
例4 解关于x的不等式：(m+1)x2－4x+1≤0 (m∈R)
分析：此题是含参数m的不等式，首先应根据m+1是否取0确定原不等式是一元一次不等式还是一元二次不等式；若m+1不等于零，还要按m+1的值为正或负及关于x的二次三项式的判别式的符号为分类标准对m取一切实数的情形进行分类，求出原不等式的解.
解：⑴当m=－1时，－4x+1≤0 x≥
⑵当m≠–1时，△=16－4(m+1)=4(3－m),当m≤3时，方程(m+1)x2－4x+1=0才有解
下面以m与－1和3的大小关系作为分类标准来讨论：
①当m<－1时， m+1<0，且<此时原不等式的解集为：(－∞, ]∪[,+∞)
②当－10且≤此时原不等式的解集为：[,]
③当m=3时，解集为：{} ④当m>3时，解集为空集.
例5.
解：原不等式等价于
例6 (2000年全国高考题)设函数，其中.（Ⅰ）解不等式≤1； (2)略.
解析 不等式即，由此得，即，其中常数.
所以，原不等式等价于即
所以，当时，所给不等式的解集为；当时，所给不等式的解集为.
解抽象函数型不等式
所谓抽象函数型不等式，即不等式与一个抽象函数有关，同时已知抽象函数的定义域、奇偶性或单调性等. 这一类不等式的解法是先根据单调性去掉函数符号，转化为一般不等式来解，但一定要注意定义域.
例15 设f(x)是定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)的奇函数，且在(0，+∞)上为增函数. 若f(1)=0，解关于x的不等式 f[loga(1-x2)+1]>0，其中a>1.
解析 由于f(x)是奇函数，且在(0，+∞)上为增函数，所以它在(-∞，0)上也为增函数.又由于f(1)=f(-1)=0. 于是原不等式等价于①或②
由①得x2<0，所以解集为φ；由②解得.
故原不等式的解集为{x|或}.
例16 已知偶函数f(x)在上是增函数，求解不等式f(2x+5)3；解(2)得. 故原不等式的解集为.
例17 已知函数f(x)是定义在上的函数，且f(1)=1，f(-x)=-f(x)，若a、b∈，a+b≠0，有. 试解不等式.
解析 先要由已知条件判断函数f(x)的单调性，因为当x∈时，f(1)=1，f(-x)=-f(x)，所以f(x)在上是奇函数，且令中b为-b，得，从而知函数f(x)在上为增函数，于是
，故原不等式的解集为.
含参不等式的解法举例
当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。
一， 含参数的一元二次不等式的解法：
例1：解关于的x不等式
分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+11时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<-1时，⊿
=4（3-m）>0，图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当-10, 图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。⑶当m=3时，⊿=4（3-m）=0，图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式的解为方程的根。⑷当m>3时，⊿=4（3-m）<0,图象开口向上全部在x轴的上方，不等式的解集为。
解：
当m=3时，原不等式的解集为；
当m>3时, 原不等式的解集为。
小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。
牛刀小试：解关于x的不等式
思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。
一， 含参数的分式不等式的解法：
例2：解关于x的不等式
分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax-1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。
解：原不等式等价于
当=0时，原不等式等价于
解得，此时原不等式得解集为{x|}；
当>0时, 原不等式等价于,
则：当原不等式的解集为；
当0<原不等式的解集为；
当原不等式的解集为；
当<0时, 原不等式等价于，
则当时, 原不等式的解集为；
当时, 原不等式的解集为；
当时, 原不等式的解集为；
小结：⑴本题在分类讨论中容易忽略=0的情况以及对，-1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。
牛刀小试：解关于x的不等式
思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数分两级讨论：先按>1和<1分为两类，再在<1的情况下，又要按两根与2的大小关系分为三种情况。有很多同学找不到分类的依据，缺乏分类讨论的意识，通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。
一， 含参数的绝对值不等式的解法：
例3：解关于x的不等式
分析：解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，本题要用到同解变形，首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，然后就、两个参数间的大小关系分类讨论求解。
解：
当时，
此时原不等式的解集为；
当时，由，
此时原不等式的解集为；
当时，
此时此时原不等式的解集为；
综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为。
小结：去掉绝对值符号的方法有①定义法：②平方法：
③利用同解变形：
;
牛刀小试：（2004年辽宁省高考题）解关于x的不等式
思路点拨：⑴将原不等式化为然后对进行分类讨论求解。⑵要注意空集;
⑶抓住绝对值的意义，在解题过程中谨防发生非等价变形造成的错误。具体解答请同学们自己完成。
求参数的值或范围
已知含参不等式的解集，求参数的值或范围也是高考中不等式问题中的一种常见题型. 基本解法是先将参数看成常数，按常规方法来解不等式，然后再根据所给定的解集求出参数的值或范围.
例19 (2003年北京春招)若不等式的解集为（－1，2），则实数a等于（ ）.A．8B．2C．－4D．－8
解析 原不等式两边平方后可化为a2x2+4ax-32<0，由题意知-1和2是方程a2x2+4ax-32=0的两个根，所以-1+2=，且-2=，解之得a=-4，选C.
例20 不等式的解集为，则a=_________.
解析 ，因为解集为，所以1-a>0且，解得a=.
[例6] 不等式的解为，求、
解： ，恒为正∴
得依题意的根为，1
∴
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