高考数学专题复习练习第四章 平面和量、数列的扩充与复数的引入 质量检测 11页

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 ‎(时间120分钟，满分150分)‎ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝ (　　)‎ A．－1－i　　　　　　　　B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋i2＋2i＝1＋i.‎ 答案：D ‎2．在△ABC中，D为BC的中点，已知＝a，＝b，则在下列向量中与同向 的向量是 (　　)‎ A.＋ B.－ C. D．|a|a＋|b|b 解析：是a＋b的单位向量，a＋b与同向．‎ 答案：C ‎3．已知向量p＝(2，x－1)，q＝(x，－3)，且p⊥q，若由x的值构成的集合A满足A⊇‎ ‎{x|ax＝2}，则实数a构成的集合是 (　　)‎ A．{0} B．{}‎ C．∅ D．{0，}‎ 解析：∵p⊥q，∴2x－3(x－1)＝0，‎ 即x＝3，∴A＝{3}．又{x|ax＝2}⊆A，‎ ‎∴{x|ax＝2}＝∅或{x|ax＝2}＝{3}，‎ ‎∴a＝0或a＝，‎ ‎∴实数a构成的集合为{0，}．‎ 答案：D ‎4．设x、y均是实数，i是虚数单位，复数＋i的实部大于0，虚部不小于0，则复 数z＝x＋yi在复平面上的点集用阴影表示为下图中的 (　　)‎ 解析：因为＋i＝＋i，‎ 所以由题意得即.‎ 画出不等式组表示的平面区域即可知应选A.‎ 答案：A ‎5．(2010·黄冈模拟)已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(1＋sinA,1＋cosA)，‎ q＝(1＋sinB，－1－cosB)，则p与q的夹角是 (　　)‎ A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 解析：锐角△ABC中，sinA＞cosB＞0，sinB＞cosA＞0，‎ 故有p·q＝(1＋sinA)(1＋sinB)－(1＋cosA)(1＋cosB)＞0，同时易知p与q方向不相同，‎ 故p与q的夹角是锐角．‎ 答案：A ‎6．在△ABC中，若对任意t∈R，恒有|，则 (　　)‎ A．∠A＝90° B．∠B＝90°‎ C．∠C＝90° D．∠A＝∠B＝∠C＝60°‎ 解析：如图，设t ‎∴∴‎ 由于上式恒成立，∴‎ ‎∴‎ 答案：C ‎7.已知| |＝1，| |＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝mOA＋n (m、n∈R)，则等于 (　　)‎ A. B‎.3 C. D. 解析：法一：如图所示：＝＋，‎ 设=x,则=‎ ‎∴＝＝3. ‎ 法二：如图所示，建立直角坐标系.‎ 则＝(1,0)，＝(0，)，‎ ‎∴＝m＋n ‎＝(m，n)，‎ ‎∴tan30°＝＝，‎ ‎∴＝3.‎ 答案：B ‎8．在△ABC中，若，则△ABC是 (　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ‎∴‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ 答案：B 二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎9．已知复数－i的对应点在复平面坐标系第二、四象限的角平分线上，则实数a＝‎ ‎________.‎ 解析：已知复数－i＝－1－(a＋1)i，‎ 由题意知a＋1＝－1，解得a＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎10．已知复数z1＝4＋2i，z2＝k＋i，且z1·2是实数，则实数k＝________.‎ 解析：2＝k－i，‎ z1·2＝(4＋2i)(k－i)＝(4k＋2)＋(2k－4)i，‎ 又z1·2是实数，则2k－4＝0，即k＝2.‎ 答案：2‎ ‎11．设P1(2，－1)，P2(0,5)，且P在P1P2的延长线上，使||＝2||，则点P 为________．‎ 解析：由题意知，‎ 设P(x，y)，则(－2,6)＝(x，y－5)，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴点P的坐标为(－2,11)．‎ 答案：(－2,11)‎ ‎12．有下列四个命题：‎ ‎①(a·b)2＝a2·b2；　　 ②|a＋b|>|a－b|；‎ ‎③|a＋b|2＝(a＋b)2；　　 ④若a∥b，则a·b＝|a|·|b|.‎ 其中真命题的序号是________．‎ 解析：①(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉‎ ‎≤|a|2·|b|2＝a2·b2；‎ ‎②|a＋b|与|a－b|大小不确定；‎ ‎③正确；‎ ‎④a∥b，则a＝λb(λ∈R)，∴a·b＝λ·b2，‎ 而|a|·|b|＝|λ|·|b|·|b|＝|λ|b2，‎ ‎∴④不正确．‎ 答案：①‎ ‎13．已知向量a与b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且c⊥a，则＝________.‎ 解析：由题意知a·b＝|a||b|cos120°＝－|a||b|.‎ 又∵c⊥a，∴(a＋b)·a＝0，‎ ‎∴a2＋a·b＝0，‎ 即|a|2＝－a·b＝|a||b|，∴＝.‎ 答案： ‎14．设i，j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单 位向量，且＝3i＋4j，则△OAB的面积等于________．‎ 解析：由已知：A(4,2)，B(3,4)．‎ 则＝12＋8＝20，||＝2，||＝5.‎ ‎∴cos∠AOB＝＝＝，‎ ‎∴sin∠AOB＝，‎ ‎∴S△OAB＝| |·||sin∠AOB ‎＝×2×5×＝5.‎ 答案：5‎ ‎15．(2009·四川高考)设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，‎ 记a的象为f(a)．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ、μ都有f(λa ‎＋μb)＝λf(a)＋μf(b)，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：‎ ‎①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f(a＋b)＝f(a)＋f(b)；‎ ‎②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f(a)＝a＋e，则f是平面M上的线性 变换；‎ ‎③对a∈V，设f(a)＝－a，则f是平面M上的线性变换；‎ ‎④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f(ka)＝kf(a)．‎ 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．‎ 解析：①当λ＝μ＝1时，f(a＋b)＝f(a)＋f(b)成立．‎ ‎②∵f(a)＝a＋e，∴f(λa＋μb)＝λa＋μb＋e.‎ λf(a)＋μf(b)＝λ(a＋e)＋μ(b＋e)＝λa＋μb＋(λ＋μ)e.‎ f(λa＋μb)≠λf(a)＋μf(b)．‎ ‎∴f不是平面M上的线性变换．‎ ‎③∵f(a)＝－a，∴f(λa＋μb)＝－λa－μb，‎ λf(a)＝－λa，μf(b)＝－μb.‎ ‎∴f(λa＋μb)＝λf(a)＋μf(b)．‎ ‎∴f是平面M上的线性变换．‎ ‎④∵f是M上的线性变换，∴当λ＝k，μ＝0时，有f(λa＋μb)＝f(ka)＝kf(a)＋‎0f(b)‎ ‎＝kf(a)．‎ 答案：①③④‎ 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)‎ ‎16．(本小题满分12分)设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，‎ ‎(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；‎ ‎(2)求c在a方向上的投影．‎ 解：(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，‎ ‎∴a与b不共线．‎ 又a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝，|b|＝5，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝－.‎ ‎(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7，‎ ‎∴c在a方向上的投影为＝＝－.‎ ‎17．(本小题满分12分)已知|a|＝1，|b|＝，‎ ‎(1)若a与b的夹角为，求|a＋b|；‎ ‎(2)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．‎ 解：(1)|a＋b|2＝|a|2＋‎2a·b＋|b|2‎ ‎＝1＋2×1××cos＋2‎ ‎＝3＋.‎ ‎∴|a＋b|＝.‎ ‎(2)∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0.‎ ‎∴|a|2－a·b＝0，∴a·b＝|a|2.‎ 设a与b的夹角为θ.‎ ‎∴cosθ＝＝＝＝.‎ 又0≤θ≤π，∴θ＝.‎ 所以向量a与b的夹角为.‎ ‎18．(本小题满分12分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m ‎ ＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．‎ ‎(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；‎ ‎(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．‎ 解：(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，‎ 即a·＝b·，‎ 其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.‎ ‎∴△ABC为等腰三角形．‎ ‎(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.‎ ‎∴a＋b＝ab.‎ 由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，‎ 即(ab)2－3ab－4＝0.‎ ‎∴ab＝4(舍去ab＝－1)，‎ ‎∴S＝absinC＝×4×sin＝.‎ ‎19．(本小题满分13分)已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，|z1－z2|＝.‎ ‎(1)求cos(α－β)的值；‎ ‎(2)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值．‎ 解：(1)∵z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα－sinβ)，‎ ‎|z1－z2|＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴cos(α－β)＝＝.‎ ‎(2)∵－＜β＜0＜α＜，‎ ‎∴0＜α－β＜π.由(1)得cos(α－β)＝，‎ ‎∴sin(α－β)＝.又sinβ＝－，∴cosβ＝.‎ ‎∴sinα＝sin[(α－β)＋β]‎ ‎＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ ‎＝×＋×(－)＝.‎ ‎20.(本小题满分13分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，‎ ‎ (1)求D点坐标；‎ ‎(2)若D点在第二象限，用，表；‎ ‎(3)＝(m,2)，若3＋与垂直，求坐标.‎ 解：(1)设D(x，y)，＝(1,2)，＝(x＋1，y).‎ 由题得 ‎∴‎ ‎∴D点坐标为(－2,3)或(2,1).‎ ‎(2)∵D点在第二象限，∴D(－2,3).‎ ‎∴＝(－1,3).∵＝(－2,1)，‎ 设＝m＋n，‎ 则(－2,1)＝m(1,2)＋n(－1,3)，‎ ‎∴∴‎ ‎∴＝－＋.‎ ‎(3)∵3＋＝3(1,2)＋(－2,1)＝(1,7)，‎ ‎＝(m,2)，‎ ‎∴(3＋)·＝0.‎ ‎∴m＋14＝0.∴m＝－14.‎ ‎∴＝(－14,2).‎ ‎21.（本小题满分13分）已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，AB与BC的夹角为θ.‎ ‎(1)求θ的取值范围；‎ ‎(2)求函数f(θ)＝sin2θ＋2sinθcosθ＋3cos2θ的最小值.‎ 解：(1)由题意知：‎ ‎·＝| || |cosθ＝6， ①‎ S＝| || |sin(π－θ)‎ ‎＝| || |sinθ， ②‎ ‎②÷①得＝tanθ，即3tanθ＝S.‎ 由≤S≤3，得≤3tanθ≤3，即≤tanθ≤1.‎ 又θ为与的夹角，‎ ‎∴θ∈[0，π]，∴θ∈[，].‎ ‎(2)f(θ)＝sin2θ＋2sinθcosθ＋3cos2θ ‎＝1＋sin2θ＋2cos2θ ‎＝2＋sin2θ＋cos2θ ‎＝2＋sin(2θ＋).‎ ‎∵θ∈[，]，∴2θ＋∈[，].‎ ‎∴当2θ＋＝，θ＝时，f(θ)取最小值3.‎