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- 2021-07-01 发布
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第八章 第三节 直线的交点坐标与距离公式
课下练兵场
命 题 报 告
难度及题号
知识点
容易题
(题号)
中等题
(题号)
稍难题
(题号)
两直线交点问题
2、4
3、10
距离问题
1、5
7、8、9
12
对称问题
6
11
一、选择题
1.两条平行线l1:3x+4y+c1=0,l2:6x+8y+c2=0之间的距离是 ( )
A.d= B.d=
C.d= D.以上皆非
解析:l2:3x+4y+=0,∴d=.
答案:B
2.当0<k<时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:解方程组得两直线的交点坐标为,因为0
<k<,所以<0,>0,所以交点在第二象限.
答案:B
3.(2009·邵阳模拟)若k,-1,b三个数成等差数列,则直线y=kx+b必经过定点( )
A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:因为k,-1,b三个数成等差数列,所以k+b=-2,即b=-k-2,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).
答案:A
4.直线y=2x+10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为 ( )
A. B. C. D.
解析:直线y=2x+10与y=x+1的交点坐标为(-9,-8),代入y=ax-2,得-8=a·(-9)-2,a=.
答案:C
5.点P(m-n,-m)到直线+=1的距离等于 ( )
A. B. C. D.
解析:因为直线+=1可化为nx+my-mn=0,
则由点到直线的距离公式,得
d=.
答案:A
6.(2009·海淀模拟)若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点( )
A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2)
解析:由于直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,∴直线l2恒过定点(0,2).
答案:B
二、填空题
7.若两平行直线3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之间的距离为,则的值为______.
解析:由题意得,=≠,∴a=-4,c≠-2,
则6x+ay+c=0可化为3x-2y+=0,
由两平行线间的距离,得=,
解得c=2或-6,所以=±1.
答案:±1
8.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________.
解析:数形结合所求点即为过P点垂直于已知直线的交点,可得P′(5,-3).
答案:(5,-3)
9.与直线x-y-2=0平行,且它们的距离为2的直线方程是________________.
解析:设所求直线l:x-y+m=0,
由=2,∴m=2或-6.
答案:x-y+2=0或x-y-6=0
三、解答题
10.求过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且到点P(0,4)的距离为2的直线方程.
解:由 解得
∴l1,l2交点为(1,2).
设所求直线方程为y-2=k(x-1),
即kx-y+2-k=0,
∵P(0,4)到直线距离为2,
∴2=,解得:k=0或k=.
∴直线方程为y=2或4x-3y+2=0.
11.已知直线l:3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程.
解:设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′).
∵kPP′·k1=-1,即×3=-1. ①
又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,
∴3×-+3=0. ②
由①②得
(1)把x=4,y=5代入③及④得x′=-2,y′=7,
∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).
(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于l的对称直线方程为--2=0,化简得7x+y+22=0.
12.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点,
(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
解:(1)经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,
即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,
∴=3.
即2λ2-5λ+2=0,∴λ=2或.
∴l方程为x=2或4x-3y-5=0.
(2)由解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).
∴dmax=|PA|=.
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