高考数学专题复习练习：13-2-1 专项基础训练 5页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：50分钟)‎ ‎1．(2017·沈阳模拟)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＞0；‎ ‎(2)若f(x)＋3|x－4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)当x≥4时，f(x)＝2x＋1－(x－4)＝x＋5＞0，得x＞－5，所以x≥4.‎ 当－≤x＜4时，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4.‎ 当x＜－时，f(x)＝－x－5＞0，得x＜－5，‎ 所以x＜－5.‎ 综上，原不等式的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞)．‎ ‎(2)f(x)＋3|x－4|＝|2x＋1|＋2|x－4|≥|2x＋1－(2x－8)|＝9，‎ 当－≤x≤4时等号成立，‎ 所以m＜9，即m的取值范围为(－∞，9)．‎ ‎2．(2017·南宁模拟)已知函数f(x)＝|x－a|.‎ ‎(1)若f(x)≤m的解集为[－1，5]，求实数a，m的值；‎ ‎(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．‎ ‎【解析】 (1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.‎ ‎∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，‎ ‎∴a＝2，m＝3.‎ ‎(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|.‎ 当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x，2＋t≥0，‎ ‎∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；‎ 当x∈[0，2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，‎ ‎∵1≤1＋≤2，‎ ‎∴0≤t＜2时，0≤x≤1＋，t＝2时，0≤x＜2；‎ 当x∈[2，＋∞)时，x－2＋t≥x，t≥2，当0≤t＜2时，无解，当t＝2时，x∈[2，＋∞)，‎ ‎∴当0≤t＜2时原不等式的解集为；当t＝2时x∈R.‎ ‎3．(2017·辽宁联考)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－m)．‎ ‎(1)当m＝7时，求函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)由题设知：|x＋1|＋|x－2|＞7，‎ 不等式的解集是以下不等式组解集的并集；‎ 或或 解得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)．‎ ‎(2)不等式f(x)≥2，即|x＋1|＋|x－2|≥m＋4，‎ ‎∵x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，‎ 不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋4的解集是R，‎ ‎∴m＋4≤3，m的取值范围是(－∞，－1]．‎ ‎4．(2017·九江模拟)已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|.‎ ‎(1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－；‎ ‎(2)若存在实数a，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)∵a＝2，‎ ‎∴f(x)＝|x－3|－|x－2|＝ ‎∴f(x)≤－等价于或 或 解得≤x＜3或x≥3，∴不等式的解集为.‎ ‎(2)由不等式性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|，‎ ‎∴若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤，‎ ‎∴实数a的取值范围是.‎ ‎5．(2017·兰州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤6的解集为[－2，3]，求实数a的值；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)由|2x－a|＋a≤6得|2x－a|≤6－a，‎ ‎∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，‎ ‎∴a－3＝－2，‎ ‎∴a＝1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝|2x－1|＋1，‎ 令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，‎ 则φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2＝ ‎∴φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)．‎ ‎6．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝|3x＋2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＜4－|x－1|；‎ ‎(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)不等式f(x)＜4－|x－1|，‎ 即|3x＋2|＋|x－1|＜4.‎ 当x＜－时，即－3x－2－x＋1＜4，解得－＜x＜－；‎ 当－≤x≤1时，即3x＋2－x＋1＜4，解得－≤x＜；‎ 当x＞1时，即3x＋2＋x－1＜4，无解．‎ 综上所述，x∈.‎ ‎(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，‎ 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|‎ ‎＝ ‎∴x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，‎ 只需g(x)max＝＋a≤4，即0＜a≤.‎ 故实数a的取值范围为.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：40分钟)‎ ‎7．(2017·山西忻州一中、长治二中、康杰中学、临汾一中第一次联考)设函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.‎ ‎(1)求不等式|f(x)－2|≤5的解集；‎ ‎(2)若g(x)＝的定义域为R，求实数m的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)不等式|f(x)－2|≤5，即－5≤f(x)－2≤5，‎ 即－3≤f(x)≤7，‎ 即|2x－1|≤7，即－7≤2x－1≤7，‎ 解得－3≤x≤4，‎ 故不等式的解集为{x|－3≤x≤4}．‎ ‎(2)若g(x)＝的定义域为R，则f(x)＋f(x－1)＋m≠0恒成立，‎ 即|2x－1|＋|2(x－1)－1|≠－m，‎ 即＋≠－恒成立．‎ 根据绝对值的意义，＋表示数轴上的x对应点到，对应点的距离之和，它的最小值为1，‎ 故－＜1，解得m＞－2.‎ ‎8．(2017·泉州模拟)已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，‎ 当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；‎ 当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈∅；‎ 当－3＜x＜2时，有2x＋1≥3，解得1≤x＜2.‎ 综上，f(x)≥3的解集为{x|x≥1}．‎ ‎(2)由绝对值不等式的性质可得，‎ ‎||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5，‎ 则有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.‎ 若f(x)≥|a－4|有解，则|a－4|≤5，‎ 解得－1≤a≤9.所以a的取值范围是[－1，9]．‎ ‎9．(2017·镇江模拟)已知a和b是任意非零实数．‎ ‎(1)求的最小值；‎ ‎(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)∵≥＝＝4，∴的最小值为4.‎ ‎(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，‎ 故|2＋x|＋|2－x|≤.‎ 由(1)可知，的最小值为4，‎ ‎∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．‎ 解不等式得－2≤x≤2，‎ 故实数x的取值范围为[－2，2]．‎ ‎10．(2017·河南八市重点高中质量检测)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1.‎ ‎(1)若ab≤m恒成立，求m的取值范围；‎ ‎(2)若＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，求x的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)∵a＞0，b＞0且a＋b＝1，∴由基本不等式得ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立．‎ ‎∵ab≤m恒成立，∴m≥.‎ ‎(2)∵a，b∈(0，＋∞)，＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，‎ ‎∴|2x－1|－|x＋1|≤4.‎ 当x≤－1时，不等式化为2－x≤4，解得－2≤x≤－1；‎ 当－1＜x＜时，不等式化为－3x≤4，解得－1＜x＜；‎ 当x≥时，不等式化为x－2≤4，解得≤x≤6.‎ ‎∴x的取值范围为－2≤x≤6.‎