2020-2021学年人教A版数学选修2-2课时作业：第三章　数系的扩充与复数的引入 单元质量评估 6页

第三章单元质量评估 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1．复数1－i 1＋i 等于( B ) A．－1 B．－i C．1 D．i 解析：由题意得，复数1－i 1＋i ＝1－i1－i 1＋i1－i ＝－2i 2 ＝－i，故选 B. 2.1＋i3 1－i2 ＝( D ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：1＋i3 1－i2 ＝1＋i1＋i2 －2i ＝1＋i·2i －2i ＝－1－i. 3．若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z ＝( A ) A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i 解析：因为 z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以 z ＝2－3i. 4．设 a 是实数，且 a 1＋i ＋1＋i 2 是实数，则 a 等于( B ) A.1 2 B．1 C.3 2 D．2 解析： a 1＋i ＋1＋i 2 ＝a1－i 2 ＋1＋i 2 ＝a＋1 2 ＋1－a 2 i，由题意可知1－a 2 ＝0，即 a＝1. 5．若 a 为实数，且(2＋ai)·(a－2i)＝－4i，则 a＝( B ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：∵(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，∴ 4a＝0， a2－4＝－4， 解之得 a＝0. 6．设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i， 则 z1z2＝( A ) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 解析：由题意知 z2＝－2＋i.所以 z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5. 故选 A. 7．若复数 z 满足 i(z－1)＝1＋i(i 为虚数单位)，则 z＝( A ) A．2－i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i 解析：由 i(z－1)＝1＋i，得 z－1＝1＋i i ＝1＋i－i －i2 ＝1－i，∴z ＝2－i.故选 A. 8．若将复数2＋i i 表示为 a＋bi(a，b∈R，i 是虚数单位)的形式， 则b a 的值为( A ) A．－2 B．－1 2 C．2 D.1 2 解析：因为2＋i i ＝1－2i，所以 a＝1，b＝－2.所以b a ＝－2. 9．已知复数 z 满足z＋1 1－i ＝i，则复数 z 的虚部为( C ) A．－i B．i C．1 D．－1 解析：由题得 z＝i(1－i)－1＝i，其虚部为 1.故选 C. 10．在复平面内，复数 3－4i，i(2＋i)对应的点分别为 A，B，则 线段 AB 的中点 C 对应的复数为( D ) A．－2＋2i B．2－2i C．－1＋i D．1－i 解析：∵i(2＋i)＝－1＋2i，∴复数 3－4i，i(2＋i)对应的点 A，B 的坐标分别为 A(3，－4)，B(－1,2)． ∴线段 AB 的中点 C 的坐标为(1，－1)．则线段 AB 的中点 C 对 应的复数为 1－i.故选 D. 11．已知 z1 与 z2 是共轭虚数，有 4 个命题：①z21<|z2|2；②z1z2＝|z1z2|； ③z1＋z2∈R；④z1 z2 ∈R.其中一定正确的是( B ) A．①② B．②③ C．③④ D．①②③ 解析：z1 与 z2 是共轭虚数，设 z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R， b≠0)． ①z21＝a2－b2＋2abi，|z2|2＝a2＋b2，虚数不能比较大小，因此不 正确； ②z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，正确； ③z1＋z2＝2a∈R，正确； ④z1 z2 ＝a＋bi a－bi ＝ a＋bi2 a－bia＋bi ＝a2－b2 a2＋b2 ＋ 2ab a2＋b2i 不一定是实数，因 此不一定正确．故选 B. 12．已知复数 z＝(3a＋2i)(b－i)的实部为 4，其中 a，b 为正实数， 则 2a＋b 的最小值为( D ) A．2 B．4 C.2 3 3 D.4 3 3 解析：∵z＝(3a＋2i)(b－i)＝3ab＋2＋(2b－3a)i，∴3ab＋2＝4， ∴ab＝2 3 ，∴2a＋b≥2 2ab＝2 2×2 3 ＝4 3 3 ，当且仅当 a＝ 3 3 ，b ＝2 3 3 时取等号，故 2a＋b 的最小值为4 3 3 ，故选 D. 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13．实部为 5，模与复数 4－3i 的模相等的复数的个数为 1. 解析：依题意设 z＝5＋bi(b∈R)，则|z|＝ 25＋b2，而|4－3i|＝ 42＋－32＝5，所以 25＋b2＝5，即 b＝0.所以 z＝5.故满足题意的 复数只有一个． 14．设复数 a＋bi(a，b∈R)的模为 3，则(a＋bi)(a－bi)＝3. 解析：因为复数 a＋bi 的模为 3，所以 a2＋b2＝ 3，即 a2＋b2 ＝3.于是(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2＝3. 15．i 是虚数单位，若复数(1－2i)·(a＋i)是纯虚数，则实数 a 的 值为－2. 解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i.∵(1－2i)(a＋i)是纯虚数， ∴a＋2＝0，且 1－2a≠0，∴a＝－2. 16．下面四个命题：①0 比－i 大；②两个复数当且仅当其和为 实数时，互为共轭复数；③x＋yi＝1＋i 的充要条件为 x＝y＝1；④任 何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是①②③. 解析：①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时 其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭 复数；③x＋yi＝1＋i 的充要条件为 x＝y＝1 是错误的，因为没有表明 x，y 是否是实数；④若 z＝bi(b≠0)为纯虚数，则 z2＝－b2<0，故①② ③均是错误命题，④是正确的． 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共 70 分) 17．(10 分)实数 m 取什么数值时，复数 z＝m2－1＋(m2－m－2)i 分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 解：(1)∵复数 z＝m2－1＋(m2－m－2)i 是实数，∴m2－m－2＝0， ∴m＝－1 或 m＝2. (2)∵复数 z＝m2－1＋(m2－m－2)i 是虚数，∴m2－m－2≠0，∴ m≠－1 且 m≠2. (3)∵复数 z＝m2－1＋(m2－m－2)i 是纯虚数，∴m2－m－2≠0 且 m2－1＝0，∴m＝1. 18．(12 分)已知复数 z1＝m－2i，复数 z2＝1－ni，其中 i 是虚数 单位，m，n 为实数． (1)若 m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值； (2)若 z1＝z22，求 m，n 的值． 解：(1)当 m＝1，n＝－1 时，z1＝1－2i，z2＝1＋i，所以 z1＋z2 ＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i，所以|z1＋z2|＝ 22＋－12＝ 5. (2)若 z1＝z22，则 m－2i＝(1－ni)2，所以 m－2i＝(1－n2)－2ni，所 以 m＝1－n2， －2＝－2n， 解得 m＝0， n＝1. 19．(12 分)已知复数 z1 满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)， 复数 z2 的虚部为 2，且 z1·z2 是实数，求 z2. 解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1－2＝1－i 1＋i ＝ 1－i2 1＋i1－i ＝－2i 2 ＝ －i，∴z1＝2－i. 设 z2＝a＋2i(a∈R)，则 z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. 又∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i. 20．(12 分)复平面内有 A，B，C 三点，点 A 对应的复数是 3＋i， 向量AC→对应的复数是－2－4i，向量BC→对应的复数是－4－i，求 B 点 对应的复数． 解：因为向量AC→对应的复数是－2－4i，向量BC→对应的复数是－ 4－i，所以AB→表示的复数是(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，故OB→ ＝OA→ ＋AB→对 应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，所以 B 点对应的复数为 5－2i. 21．(12 分)已知复数 z 满足|z|＝1＋3i－z，求1＋i23＋4i2 2z 的值． 解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝1＋3i－z，∴ a2＋b2－1－3i ＋a＋bi＝0，即 a2＋b2＋a－1＝0， b－3＝0. 解得 a＝－4， b＝3. ∴z＝－4＋ 3i，∴1＋i23＋4i2 2z ＝2i－7＋24i 2－4＋3i ＝24＋7i 4－3i ＝3＋4i. 22．(12 分)已知 z＝m＋3＋3 3i，其中 m∈C，且m＋3 m－3 为纯虚数； (1)求 m 对应点的轨迹； (2)求|z|的最大值、最小值． 解 ： (1) 设 m ＝ x ＋ yi(x ， y ∈ R) ， 则 m＋3 m－3 ＝ x＋3＋yi x－3＋yi ＝ x2＋y2－9－6yi x－32＋y2 ， ∵m＋3 m－3 为纯虚数，∴ x2＋y2－9＝0， y≠0， 即 x2＋y2＝32， y≠0. ∴m 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为 3 的圆，除去(－ 3,0)，(3,0)两点． (2)由(1)知|m|＝3，由已知 m＝z－(3＋3 3i)，∴|z－(3＋3 3i)|＝3. ∴z 所对应的点 Z 在以(3,3 3)为圆心，以 3 为半径的圆上． 由图形可知|z|的最大值为|3＋3 3i|＋3＝9；最小值为|3＋3 3i|－3 ＝3.