高中数学第一章解三角形1-2-1距离问题课时作业含解析新人教A版必修5 7页

课时作业4　距离问题 时间：45分钟 ‎——基础巩固类——‎ 一、选择题 ‎1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：‎ ‎①测量A，B，b　②测量a，b，C　③测量A，B，a 则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为(　A　)‎ A．3 B．2‎ C．1 D．0‎ 解析：对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出C，对于②，直接利用余弦定理cosC＝即可解出C，对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出C.故选A.‎ ‎2．如图，甲、乙二人同时从A点出发，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30°方向走，当乙走了2千米到达B点时，两人距离恰好为千米，那么这时甲走的距离是(　D　)‎ A．2千米 B．2千米 C.千米 D．1千米 解析：假设甲走到了C，则在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos60°，即()2＝22＋AC2－2×2AC·，解得AC＝1.故选D.‎ ‎3.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　B　)‎ 7‎ A．a km B.a km C.a km D．2a km 解析：如题图，∠ACB＝120°，AC＝BC＝a.‎ 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，‎ ‎∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2.‎ ‎∴AB＝a.‎ ‎4.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC＝ km，当目标出现在B点时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是(　C　)‎ A．1.1 km　　　　　　　　 B．2.2 km C．2.9 km D．3.5 km 解析：∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°.‎ 在△BCD中，由正弦定理，‎ 得BD＝＝(km)．‎ 在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，‎ 由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°‎ ‎＝3＋＋2××× ‎＝5＋2.‎ ‎∴AB＝≈2.9 (km)．‎ ‎∴炮兵阵地与目标的距离约为2.9 km.‎ ‎5．某人在地上画了一个角∠BDA＝60°，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点N，则N与D之间的距离为(　C　)‎ 7‎ A．14米 B．15米 C．16米 D．17米 解析：如图，设CD＝10，则CN＝14，∠D＝60°.‎ 在△CDN中，由余弦定理得cosD＝＝＝，解得DN＝16(负值舍去)．故选C.‎ ‎6.如图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行 h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是(　B　)‎ A．10 km B．10 km C．15 km D．15 km 解析：在△ABC中，BC＝40×＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，‎ ‎∴A＝180°－(30°＋105°)＝45°.‎ 由正弦定理，得 AC＝＝＝10 (km)．‎ 二、填空题 ‎7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为(－1) km.‎ 解析：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝40°＋80°＝120°，AB＝3 km，AC＝2 km.‎ 7‎ 设BC＝a km.‎ 由余弦定理，得cos120°＝，解得a＝－1或a＝－－1(舍去)，即B到C的距离为(－1)km.‎ ‎8．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为30 km.‎ 解析：如图，在△ABC中，AC＝4×15＝60，‎ ‎∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴∠ABC＝45°.‎ ‎∴BC＝＝＝30 (km)．‎ ‎9．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为1小时．‎ 解析：设t小时时，B城市恰好处于危险区，则由余弦定理，‎ 得(20t)2＋402－2×20t×40cos45°＝302，‎ 即4t2－8t＋7＝0，‎ ‎∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.‎ 故|t1－t2|＝＝＝1.‎ 三、解答题 ‎10.为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内．如图，飞机能测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间距离的步骤．‎ 解：①需要测量的数据有A到M、N的俯角α1、β1，B到M、N的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理 7‎ AM＝；‎ 第二步：计算AN.‎ 由正弦定理AN＝；‎ 第三步：计算MN.‎ 由余弦定理MN＝.‎ ‎11.如图，某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C处和D处，已知CD＝6 000 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，求炮兵阵地与目标的距离．‎ 解：由∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，得∠CAD＝60°.‎ 在△ACD中，由正弦定理，得＝，则AD＝CD.在△BCD中，可得∠CBD＝135°，由正弦定理，得BD＝＝CD.又∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝75°＋15°＝90°，连接AB，则在△ABD中，AB＝＝CD＝×6 000＝1 000 (m)．‎ 故炮兵阵地与目标的距离为1 000 m.‎ ‎——能力提升类——‎ ‎12．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3(点B、C在点A所在铅垂线的同侧)，则B，C间的距离为(　D　)‎ A. B. C. D. 解析：在△ABC中，∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.‎ ‎∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.‎ 7‎ ‎∴BC＝.‎ ‎13．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　B　)‎ A．30 m B. m C．15 m D．45 m 解析：在△ABC中，由余弦定理可得cos∠ACB ‎＝＝＝－，‎ 所以∠ACB＝120°，∠ACD＝180°－120°＝60°.‎ 然后由正弦定理＝，‎ 可得AD＝ACsin60°＝ (m)．故选B.‎ ‎14．某人在汽车站M的北偏西20°方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是汽车站M的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．此时汽车离汽车站的距离是15千米．‎ 解析：由题设，画出示意图，如图．‎ 设汽车前进20千米后到达B处．‎ 在△ABC中，AC＝31千米，BC＝20千米，AB＝21千米，由余弦定理，得 cosC＝＝，‎ 则sinC＝＝，‎ 所以sin∠MAC＝sin(120°－C)‎ ‎＝sin120°cosC－cos120°sinC＝.‎ 在△MAC中，由正弦定理，得 7‎ MC＝＝×＝35(千米)．‎ 从而有MB＝MC－BC＝15千米，所以此时汽车离汽车站的距离是15千米．‎ ‎15.如图，已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A，B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏西15°方向也以2海里/小时的速度移动．‎ ‎(1)经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？‎ ‎(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．‎ 解：(1)经过1小时后，甲船到达M点，乙船到达N点，‎ AM＝10－2＝8，AN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos60°＝64＋4－2×8×2×＝52.所以MN＝2.‎ 所以经过1小时后，甲、乙两小船相距2海里．‎ ‎(2)设经过t(0