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- 2021-07-01 发布
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高考填空题分项练7 直线与圆
1.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=________.
答案 1
解析 因为两直线互相垂直,
所以1×2+(-2)×m=0⇒m=1.
2.圆心坐标为(2,-1)的圆截直线x-y-1=0所得的弦长为2,则此圆的方程为________.
答案 (x-2)2+(y+1)2=4
解析 圆心到直线的距离d==,
由于弦心距d,半径r及弦长的一半构成直角三角形,
所以r2=d2+()2=4,
所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
3.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy的最大值是________.
答案 3
解析 AB线段的方程为+=1(0≤x≤3),
则x=3,xy==,
所以当y=2,即x=时,(xy)max=3.
4.直线l1:x-y+1=0关于点P(1,1)对称的直线l2的方程为________.
答案 x-y-1=0
解析 方法一 设点M(x,y)是直线l2上的任意一点,
点M关于点P(1,1)的对称点为N,
则点N的坐标为(2-x,2-y).
∵直线l1与l2关于点P(1,1)对称,
∴点N(2-x,2-y)在直线l1上,
∴(2-x)-(2-y)+1=0,即x-y-1=0.
∴直线l2的方程为x-y-1=0.
方法二 ∵点P不在直线l1上,所以l2∥l1,
设l2的方程为x-y+c=0,在l1上取点A(-1,0),
则点A关于点P的对称点A′(3,2)在直线l2上,
∴3-2+c=0,即c=-1,
∴直线l2的方程为x-y-1=0.
5.(2018·镇江期末)已知圆C与圆M:x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为________________.
答案 (x+3)2+(y+3)2=18
解析 设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其圆心为C(a,b),半径为r(r>0),
∵圆M:x2+y2+10x+10y=0可化简为(x+5)2+(y+5)2=50,
∴其圆心M(-5,-5),半径为5,
将A(0,-6)代入(x+5)2+(y+5)2=26<50,
∴A点在圆M:(x+5)2+(y+5)2=50的内部,
∴两圆内切于原点O,
∵圆C过点(0,-6),
∴
解得a=-3,b=-3,r=3,
∴圆C的标准方程为(x+3)2+(y+3)2=18.
6.(2018·全国大联考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=x+m上存在一点A,圆C:x2+(y-2)2=4上存在一点B,满足=4,则实数m的取值范围为________.
答案 [8-4,8+4]
解析 设点B(x0,y0),
因为=4,
所以点A(4x0,4y0),
因为点A在直线y=x+m上,
所以4y0=2x0+m,
而点B(x0,y0)在圆C上,
所以x+(y0-2)2=4,
由题意关于x0,y0的方程组有解,
消去x0,整理得5y-(4+2m)y0+=0,
所以Δ=-m2+16m+16≥0,
解得实数m的取值范围为[8-4,8+4].
7.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=________.
答案 1
解析 如图,设两圆的公共弦为AB,AB交y轴于点C,连结OA,则OA=2.
把x2+y2=4与x2+y2+2ay-6=0相减,得2ay=2,
即y=为公共弦AB所在直线的方程,所以OC=.
因为AB=2,所以AC=,
在Rt△AOC中,OC2=OA2-AC2,即=4-3=1,
又因为a>0,所以a=1.
8.已知点A(4,-3)与点B(2,-1)关于直线l对称,在l上有一点P,使点P到直线4x+3y-2=0的距离等于2,则点P的坐标是________.
答案 (1,-4)或
解析 由题意知线段AB的中点为C(3,-2),kAB=-1,
故直线l的方程为y+2=x-3,即y=x-5.
设P(x,x-5),则2=,解得x=1或x=.
即点P的坐标是(1,-4)或.
9.已知直线l过点P(1,2)且与圆C:x2+y2=2相交于A,B两点,△ABC的面积为1,则直线l的方程为____________________.
答案 x-1=0或3x-4y+5=0
解析 由S△ABC=×××sin∠ACB=1,
得sin∠ACB=1,所以∠ACB=90°,
若直线l的斜率存在,则点C(0,0)到直线l的距离为1,
设直线l的方程为y-2=k(x-1),利用距离公式可得k=,此时直线l的方程为3x-4y+5=0.
当k不存在时,x-1=0满足题意.
综上,直线l的方程为x-1=0或3x-4y+5=0.
10.已知经过点P的两个圆C1,C2都与直线l1:y=x,l2:y=2x相切,则这两圆的圆心距C1C2=________.
答案
解析 假设圆心所在直线为y=kx,则
直线上点(1,k)到l1,l2的距离相等,
即=,解得k=1(-1舍去).
故假设圆C1:(a-1)2+2=,
圆C2:(b-1)2+2=,
即圆C1:36a2-100a+65=0,
圆C2:36b2-100b+65=0.
∴a+b=,ab=,
∴C1C2==.
11.已知点P在直线l:y=x+1上,过点P作圆C:x2+y2-2x+4y-4=0的切线,切点分别是A,B,AB的中点为Q,若点Q到直线l的距离为,则点Q的坐标是________.
答案 或
解析 圆C:x2+y2-2x+4y-4=0的标准方程为
(x-1)2+(y+2)2=9.
设P(a,a+1),则P,A,C,B四点共圆,
该圆以PC为直径,
方程为(x-a)(x-1)+(y-a-1)(y+2)=0,
即x2+y2-(a+1)x+(1-a)y-a-2=0,
与圆C的方程相减得,
弦AB所在直线的方程为(a-1)x+(a+3)y+a-2=0,
即a(x+y+1)-x+3y-2=0,
该直线恒过直线x+y+1=0与-x+3y-2=0的交点M.
又由圆的几何性质可得CQ⊥QM,
则点Q在以CM为直径的圆上,
圆心是CM的中点N,
半径为CM= =,
点N到直线l:y=x+1的距离为,
由点Q到直线l的距离为,
易知直线NQ与l平行,
此时直线NQ的方程为y=x-,
Q为直线NQ与圆N的交点,
联立y=x-与2+2=,
得Q的坐标为或.
12.已知线段AB的长为2,动点C满足·=λ(λ>-1),且点C总不在以点B为圆心,为半径的圆内,则实数λ的最大值是________.
答案 -
解析 建立平面直角坐标系(图略),B(0,0),A(2,0),
设C(x,y),则·=x(x-2)+y2=λ,
则(x-1)2+y2=λ+1,
点C的轨迹是以(1,0)为圆心,为半径的圆且与x2+y2=外离或外切.
所以0<≤,解得-1<λ≤-,
所以λ的最大值为-.
13.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=1,O1:(x-4)2+y2=4,动点P在直线x+y-b=0上,过P分别作圆O,O1的切线,切点分别为A,B,若满足PB=2PA的P点有且只有两个,则实数b的取值范围是________.
答案
解析 设P点坐标为(x,y),
∵PB=2PA,∴PB2=4PA2,
即(x-4)2+y2-4=4(x2+y2-1),
整理得3x2+3y2+8x-16=0.
方法一 该方程表示一个圆,圆心,r=.
∵P点有且只有两个,∴直线和此圆相交,
故<,解得b∈.
方法二 ∵P点在直线x+y-b=0上,
∴y=-x+b,代入3x2+3y2+8x-16=0,
得4x2+(8-2b)x+b2-16=0.
∵P点有且只有两个,∴方程有两个不相等的实数根,
即Δ>0,整理得3b2+8b-80<0,∴b∈.
14.(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆M:x2+y2-6x-4y+8=0与x轴的两个交点分别为A,B,其中A在B的右侧,以AB为直径的圆记为圆N,过点A作直线l与圆M,圆N分别交于C,D两点.若D为线段AC的中点,则直线l的方程为____________.
答案 x+2y-4=0
解析 由题意得圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=5,
令y=0,得x=2或x=4,所以A(4,0),B(2,0).
则圆N的方程为(x-3)2+y2=1,
由题意得直线l斜率存在,所以设直线l:y=k(x-4).
联立直线l的方程和圆M的方程并消去y,
得(1+k2)x2-(8k2+4k+6)x+16k2+16k+8=0,
所以4+xC=,①
联立
得(1+k2)x2-(8k2+6)x+16k2+8=0,
所以4+xD=,②
因为xC+4=2xD,③
解①②③得k=-.
所以直线l的方程为x+2y-4=0.
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