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  • 2021-07-01 发布

2019年高考数学练习题汇总2019届高三数学专题练习数列求和

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‎2019届高三数学专题练习数列求和 ‎1.错位相减法 例1:已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且,,‎ ‎.‎ ‎(1)求数列与的通项公式;‎ ‎(2)记,,求证:.‎ ‎2.裂项相消法 例2:设数列,其前项和,为单调递增的等比数列,, .‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ 一、单选题 ‎1.已知等差数列中,,,则项数为( )‎ A.10 B.14 C.15 D.17‎ ‎2.在等差数列中,满足,且,是前项的和,若取得最大值,则( )‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎3.对于函数,部分与的对应关系如下表:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎4‎ 数列满足:,且对于任意,点都在函数的图象上,则( )‎ A.7554 B.7549 C.7546 D.7539‎ ‎4.设等差数列的前项和,,,若数列的前项和为,则( )‎ A.8 B.9 C.10 D.11‎ ‎5.在等差数列中,其前项和是,若,,则在,,,中最大的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.设数列的前项和为,则对任意正整数,( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知数列满足,,,,若恒成立,则的最小值为( )‎ A.0 B.1 C.2 D.‎ ‎8.数列的前项和为,若,则( )‎ A.2018 B.1009 C.2019 D.1010‎ ‎9.已知数列中,,则等于 ‎( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数,且,则( )‎ A.20100 B.20500 C.40100 D.10050‎ ‎11.已知数列满足:,,则 的整数部分为( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎12.对于任意实数,符号表示不超过的最大整数,例如,,.已知数列满足,其前项和为,若是满足的最小整数,则的值为( )‎ A.305 B.306 C.315 D.316‎ 二、填空题 ‎13.已知数列满足,记为的前项和,则__________.‎ ‎14.表示不超过的最大整数.若,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,则__________.‎ ‎15.已知函数,则________.‎ ‎16.定义为个正整数,,,的“均倒数”,若已知数列的前 项的“均倒数”为,又,则_________.‎ 三、解答题 ‎17.正项等差数列中,已知,,且,,构成等比数列的前三项.‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎18.已知为数列的前项和,且,,,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若对,,求数列的前项的和.‎ ‎1.错位相减法 例1:已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且,,‎ ‎.‎ ‎(1)求数列与的通项公式;‎ ‎(2)记,,求证:.‎ ‎【答案】(1),;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)设的公差为,的公比为,‎ 则,,‎ 即,解得:,‎ ‎,.‎ ‎(2),①‎ ‎,②‎ 得 ‎,‎ ‎∴所证恒等式左边,右边,‎ 即左边右边,所以不等式得证.‎ ‎2.裂项相消法 例2:设数列,其前项和,为单调递增的等比数列,, .‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】(1)时,,‎ 当时,符合上式,,‎ ‎∵为等比数列,,‎ 设的公比为,则,而,‎ ‎,解得或,‎ ‎∵单调递增,,.‎ ‎(2),‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 一、单选题 ‎1.已知等差数列中,,,则项数为( )‎ A.10 B.14 C.15 D.17‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵,∴,‎ ‎∴,,故选C.‎ ‎2.在等差数列中,满足,且,是前项的和,若取得最大值,则( )‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列首项为,公差为,‎ 由题意可知,,,‎ 二次函数的对称轴为,开口向下,‎ 又∵,∴当时,取最大值.故选C.‎ ‎3.对于函数,部分与的对应关系如下表:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎4‎ 数列满足:,且对于任意,点都在函数的图象上,则( )‎ A.7554 B.7549 C.7546 D.7539‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知:,,,,,‎ 点都在函数的图象上,则,,,,,‎ 则数列是周期为4的周期数列,‎ 由于,且,‎ 故.故选A.‎ ‎4.设等差数列的前项和,,,若数列的前项和为,则( )‎ A.8 B.9 C.10 D.11‎ ‎【答案】C ‎【解析】为等差数列的前项和,设公差为,,,‎ 则,解得,则.‎ 由于,则,‎ 解得.故答案为10.故选C.‎ ‎5.在等差数列中,其前项和是,若,,则在,,,中最大的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于,, ‎ ‎∴可得,, 这样,,,,,,,而,, ∴在,,,中最大的是.故选C.‎ ‎6.设数列的前项和为,则对任意正整数,( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵数列是首项与公比均为的等比数列.‎ ‎∴其前项和为.故选D.‎ ‎7.已知数列满足,,,,若恒成立,则的最小值为( )‎ A.0 B.1 C.2 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知,,由,‎ 得,‎ ‎∴,‎ ‎∴恒成立,,故最小值为,故选D.‎ ‎8.数列的前项和为,若,则( )‎ A.2018 B.1009 C.2019 D.1010‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,数列满足,‎ ‎∴‎ ‎,故选B.‎ ‎9.已知数列中,,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设,‎ 由,解得,‎ 令,故.故选A.‎ ‎10.已知函数,且,则( )‎ A.20100 B.20500 C.40100 D.10050‎ ‎【答案】A ‎【解析】,当为偶数时,,‎ 当为奇数时,,‎ 故 ‎.故选A.‎ ‎11.已知数列满足:,,,则的整数部分为( )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,‎ ‎∴原式,‎ 当时,,‎ ‎∴整数部分为1,故选B.‎ ‎12.对于任意实数,符号表示不超过的最大整数,例如,,.已知数列满足,其前项和为,若是满足的最小整数,则的值为( )‎ A.305 B.306 C.315 D.316‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,,当时,可得,(1项)‎ 当时,可得,(2项)‎ 当时,可得,(4项)‎ 当时,可得,(8项)‎ 当时,可得,(16项)‎ 当时,可得,(项)‎ 则前项和为,‎ ‎,‎ 两式相减得,‎ ‎∴,此时,‎ 当时,对应的项为,即,故选D.‎ 二、填空题 ‎13.已知数列满足,记为的前项和,则__________.‎ ‎【答案】440‎ ‎【解析】由可得:‎ 当时,有, ①‎ 当时,有, ②‎ 当时,有, ③‎ 有,有,‎ 则 ‎.‎ 故答案为440.‎ ‎14.表示不超过的最大整数.若,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,则__________.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】第一个等式,起始数为1,项数为,,‎ 第二个等式,起始数为2,项数为,,‎ 第三个等式,起始数为3,项数为,,‎ 第个等式,起始数为,项数为,,,‎ 故答案为,.‎ ‎15.已知函数,则________;‎ ‎【答案】2018‎ ‎【解析】∵‎ ‎,‎ 设, ①‎ 则, ②‎ 得,‎ ‎∴.故答案为2018.‎ ‎16.定义为个正整数,,,的“均倒数”,若已知数列的前 项的“均倒数”为,又,则_________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵数列的前项的“均倒数”为,‎ ‎∴,解得,∴,‎ 当时,,‎ 当时,上式成立,则,‎ ‎∴,,‎ 则.‎ 故答案为.‎ 三、解答题 ‎17.正项等差数列中,已知,,且,,构成等比数列的前三项.‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】(1)设等差数列的公差为,则由已知得:,即,‎ 又,解得或(舍去),,‎ ‎∴,‎ 又,,∴,∴;‎ ‎(2)∵,‎ ‎,‎ 两式相减得,‎ 则.‎ ‎18.已知为数列的前项和,且,,,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若对,,求数列的前项的和.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1),,‎ 当时,,化为,‎ ‎∵,∴,‎ 当时,,且,解得.‎ ‎∴数列是等差数列,首项为1,公差为3.∴;‎ ‎(2).‎ ‎∴,‎ ‎∴的前项的和.‎