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  • 2021-07-01 发布

开卷教育联盟全国2020届高三模拟考试(一)数学(文)试题 Word版含解析

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- 1 - 开卷教育联盟 2020 届全国高三模拟考试(一) 数学(文科) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再涂选其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷 上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合  1,2,3,4,5,6U  ,  2,3,5A  ,  3,6B  ,则 U A B ð ( ) A.  3 B.  6 C.  1,3,4,6 D.  2,3,5,6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合补集和并集的定义进行求解即可. 【详解】因为  1,2,3,4,5,6U  ,  2,3,5A  ,所以  1,4,6U A ð ,又因为  3,6B  , 所以有  U A B ð  1,3,4,6 . 故选:C 【点睛】本题考查了集合补集和并集的运算,考查了数学运算能力,属于基础题. 2. 设  21 4 3 iz i   ,则 z  ( ) A. 2 5 B. 10 7 C. 2 2 D. 14 2 25 【答案】A 【解析】 - 2 - 【分析】 根据复数模的运算公式和性质进行求解即可. 【详解】       22 2 2 2 22 11 ( 1 1 ) 2 4 3 | 4 3 | 54 3 iiz i i         . 故选:A 【点睛】本题考查了复数模的运算公式和性质,考查了数学运算能力. 3. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6),记正面向上的 点数为 a ,则函数   2 2f x x ax   有零点的概率是( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据零点定义,结合一元二次方程根的判别式,求出 a 的取值范围,最后古典概型计算公式进 行求解即可. 【详解】因为函数   2 2f x x ax   有零点,所以 2 2 0x ax   ,由 2 4 1 2 0a      得 2 2a  ,∴ 3,4,5,6a  ,∴ 4 2 6 3P   . 故选:C 【点睛】本题考查了古典概型计算公式,考查了零点的定义,考查了一元二次方程根的判别 式,考查了数学运算能力. 4. 已知锐角 满足 1sin 6 3      ,则 cos  ( ) A. 2 6 1 6  B. 2 2 3 6  C. 2 6 1 6  D. 2 2 3 6  【答案】A 【解析】 - 3 - 【分析】 结合同角的三角函数关系式,利用两角和的余弦公式进行求解即可. 【详解】因为 0, 2      ,所以 ,6 6 3          , 所以 2 2 2cos 1 sin6 6 3                 , 所以 cos cos 6 6            cos cos sin sin6 6 6 6                  2 2 3 1 1 2 6 1 3 2 3 2 6      . 故选:A 【点睛】本题考查了两角和的余弦公式和同角的三角函数关系式,考查了数学运算能力. 5. 执行下面的程序框图,若输出的结果是 16,则空白框中应填( ) A. 1 n n , S S n  B. 2 n n , S S n  C. S S n  , 1 n n D. S S n  , 2 n n 【答案】D 【解析】 【分析】 根据四个选项依次代入检验进行求解判断即可. 【详解】A:若空白处是 1 n n ,S S n  时, 1 4i   成立, 2, 0 2 2, 2 4n S i      成立, - 4 - 所以 3, 2 3 5, 3 4n S i      成立,所以 4, 4 5 9, 4 4n S i      成立,所以 5, 5 9 14, 5 4n S i      不成立,故 14S  ,不符合题意; B:若空白处是 2 n n , S S n  时, 1 4i   成立, 3, 0 3 3, 2 4n S i      成立, 所以 5, 5 3 8, 3 4n S i      成立,所以 7, 8 7 15, 4 4n S i      成立,所以 9, 15 9 24, 5 4n S i      不成立,故 24S  ,不符合题意; C:若空白处是 S S n  , 1 n n 时, 1 4i   成立, 1, 2, 2 4S n i    成立,所以 3, 3, 3 4S n i    成立,所以 6, 4, 4 4S n i    成立,所以 10, 5, 5 4S n i    不 成立,故 10S  ,不符合题意; D:若空白处是 S S n  , 2 n n 时, 1 4i   成立, 1, 3, 2 4S n i    成立,所以 4, 5, 3 4S n i    成立,所以 9, 7, 4 4S n i    成立,所以 16, 9, 5 4S n i    不 成立,故 16S  ,符合题意. 故选:D 【点睛】根据程序框图的输出结果补全程序框图,考查了数学运算能力. 6. 如图为某几何体的三视图,其中侧视图与俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该几何 体的体积为( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三视图在正方体中还原直观图为三棱锥 1 1A DCC ,根据本棱锥的体积公式进行求解即 - 5 - 可. 【详解】在正方体中还原直观图为三棱锥 1 1A DCC , ∴ 1 1 1 11 1 13 3 2 6V Sh       . 故选:D 【点睛】本题考查了由三视图求空间几何体的体积,考查了三棱锥的体积公式,考查了空间 想象能力和数学运算能力. 7. 函数  sin x xy e e  的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性,再根据 x xe e 的取值范围,结合正弦函数的性质进行判断即可. 【 详 解 】      ( ) sin ( ) sin sin ( ) ( )x x x x x xy f x e e f x e e e e f x f x                是 奇函数,故图象关于原点称,因此排除 B,D; 令 x xt e e  ,当 0x  时,函数 ( ) x xt x e e  是增函数,故 0t  ,当 0t  时,显然存在 - 6 - ( ,2 )t   时, sin 0y t  ,因此排除 C. 故选:A 【点睛】本题考查了识别函数图象,考查了函数的奇偶性,考查了正弦函数的性质,属于中 档题. 8. 魏晋时期数学家刘徽首创割圆术,他在《九章算术》方田章圆田术中指出:“割之弥细, 所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转 化过程,比如在正数 2 21 1   中的“…”代表无限次重复,设 2 21 1 x    ,则可利用方程 2 1x x   求得 x ,类似地可得正数 2 2 2 2   ( ) A. 2 B. 3 1 C. 5 1 D. 6 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题中所给的方程,换元,解方程进行求解即可. 【详解】设 2 2 2 2x     ,则 2 2x x  ,解得 3 1x   (负值舍去). 故选:B 【点睛】本题考查了类比推理,考查了推理论证能力,考查了数学运算能力. 9. 为了得到函数 2sin 2 3y x      的图象,可以将函数 2sin 2 4y x      的图象() A. 向左平移 7 24  B. 向右平移 7 24  C. 向左平移 7 12  D. 向右平移 7 12  【答案】B 【解析】 【分析】 利用 sin( )y A x   的图象变换规律,即可求解,得出结论. 【 详 解 】 由 题 意 , 函 数 2sin(2 ) 2sin[2( )]3 6y x x     , - 7 - 2sin(2 ) 2sin[2( )]4 8y x x     , 又由 7( )8 6 24      , 故把函数 2sin[2( )]8y x   的图象上所有的点,向右平移 7 24  个单位长度, 可得 72sin[2( ) ] 2sin(2 )24 4 3y x x       的图象, 故选 B. 【点睛】本题主要考查了三角函数 sin( )y A x   的图象变换规律,其中解答中熟记三角函 数的图象变换是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 10. 已知双曲线C :   2 2 1 0yx mm    的离心率为 2,则双曲线C 的渐近线方程为( ) A. 2y x  B. 3y x  C. 3y x  D. 3 3y x  【答案】C 【解析】 【分析】 根据双曲线的离心率公式,结合双曲线中 , ,a b c 的关系、渐近线方程进行求解即可. 【详解】由 2 2 2 2 2 2 2 1 21 c a b me a a      ,得 3m  ,所以 3b  , 所以渐近线方程为 3by x xa     . 故选:C 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程,考查了双曲线离心率公式,考查了数学运算能力. 11. 已知函数   2 2 1, 0 lg , 0 x x xf x x x       ,若    f x a a R  有四个不等实根,则所有实根 之积的取值范围是( ) A.  ,1 B.  0,1 C.  0,1 D.  1, 【答案】B 【解析】 - 8 - 【分析】 在直角坐标系内画出函数  f x 的图象,利用数形结合,结合对数的运算性质和绝对值的性质 进行求解即可. 【详解】设四个根依次为  1 2 3 4 1 2 3 4, , ,x x x x x x x x   , 则 12 1x    , 21 0x   , 1 2 2x x   , 则由 3 4 3 4 3 4lg lg lg lg lg lgx x x x x x       3 4 3 4lg 0 1x x x x    , ∴      2 1 2 3 4 1 2 2 2 22 1 1 0,1x x x x x x x x x         . 故选:B 【点睛】本题考查了已知方程根的个数求根的乘积的取值范围,考查了数形结合思想,考查 了对数的运算性质,考查了数学运算能力. 12. 已知椭圆C 的左、右焦点为 1F , 2F ,过 1F 的直线交C 于 A ,B 两点,若 1 12 3AF F B , 且 2 2AF BF ,则椭圆C 的离心率为( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 5 5 D. 2 5 5 【答案】C 【解析】 【分析】 运用特殊值法进行求解. 不妨设 1 3AF  ,利用勾股定理、余弦定理,结合椭圆的定义和离 心率公式进行求解即可. 【详解】不妨设 1 3AF  ,则 1 2F B  , 5AB  , ∴ 2 2 3AF a  , 2 2 2BF a  , - 9 - ∴由 2 2 2 2 2AB AF BF  得    2 225 2 3 2 2 3a a a      或 1 2a   (舍), ∴ 2 3AF  ,∴ 3cos 5A  , 又由 2 2 2 1 2 1 2 1 22 cosF F AF AF AF AF A     得  2 2 2 3 3 52 3 3 2 3 3 5 5c c        , ∴ 5 5 ce a   . 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的定义和离心率的计算,考查了余弦定理的应用,考查了数学运算 能力. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知向量    1,2 , 1,3a b      ,且 a b a        ,则   ______. 【答案】 1 【解析】 【分析】 根据平面向量线性运算的坐标表示公式,结合平面向量垂直的性质、平面向量数量积的坐标 表示公式进行求解即可. 【详解】∵  1 ,2 3a b        , ∴    1 1 2 3 2 0 1a ab                    . 故答案为; 1 - 10 - 【点睛】本题考查了平面向量线性运算和数量积的坐标表示公式,考查了平面向量垂直的性 质,考查了数学运算能力. 14. 已知函数         1 2 3 1, 1 log 1 , 1 x xf x x x       ,若   2f m  ,则  2f m  ______. 【答案】 2 3  或 1 【解析】 【分析】 根据 m 的不同取值,利用函数的解析式分类讨论进行求解即可. 【详解】   1 12 3 1 2m mf m       或  2 1 0log 1 2 m mm      或 3m  , ∴ 2 2m    或 2 1m   , ∴     22 2 3f m f     或    2 1 1f m f   . 故答案为: 2 3  或 1 【点睛】本题考查了已知分段函数的值求参数问题,考查了求分段函数值问题,考查了指数 运算和对数运算,考查了数学运算能力. 15. 设 ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ,若 2 cos cos 0a c B b C   , 且 4ac  ,则 ABC 的面积为______. 【答案】 3 【解析】 【分析】 根据正弦定理,结合两角和的正弦公式、三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】由 2 cos cos 0a c B b C   得  2sin sin cos sin cos 0A C B B C   , 即 2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C   , 化简得 2sin cos sin 0A B A  , ∵ A 为三角形的内角,∴sin 0A  ,∴ 1cos 2B   , 3sin 2B  ,故 - 11 - 1 1 3sin 4 32 2 2S ac B     . 故答案为: 3 【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用,考查了两角和的正弦公式,考查了正弦定理的 应用,考查了数学运算能力. 16. 半径为 3 的球的内接正四棱锥的体积的最大值为______. 【答案】 64 3 【解析】 【分析】 设 1OO x ,利用勾股定理及四棱锥的体积公式求出四棱锥的体积表达式,利用导数进行求 解即可. 【详解】如图,设 1OO x ,则 2 2 1 3OC x  , ∴  2 2 12 2 9ABCDS O C x  四边形 , ∴   1 1 3 ABCDV V x S PO   四边形    2 3 22 29 3 2 6 183 3x x x x x          , ∴     2' 2 4 6 2 1 3V x x x x x        , 当 0 1x  时,    ' 0,V x V x 单调递增,当1 3x  时,    ' 0,V x V x 单调递减, 所以  max 641 3V V  . 故答案为; 64 3 【点睛】本题考查了球的内接正四棱锥的体积的最大值问题,考查了导数的应用,考查了推 理论证能力和数学运算能力. - 12 - 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每 个考生都必须作答.第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答. 17. 已知数列 na 满足 1 2 2n n na a    *,n  N R ,且 1 1a  . (1)证明数列 2 n n a    是等差数列; (2)求数列 na 的前 n 项和 nS . 【答案】(1)见解析;(2)  1 1 2n nS n   . 【解析】 试题分析:(1)对题设中的递推关系变形为 1 1 1 2 2 2 n n n n a a    ,从而得到一个新的等差数列 2 n n a    , 其通项为 2 2 n n a n ,由此得 12n na n   .(2)利用错位相减法求 nS . 解析:(1)由  1 2 2n n na a n N      ,等式两端同时除以 12n 到 1 1 1 2 2 2 n n n n a a    ,即 1 1 1 2 2 2 n n n n a a    , (2) 1 1 1 2 2 a  ,∴数列 2 n n a    是首项为 1 2 ,公差为 1 2 的等差数列,  1 112 2 2 2 n n a nn     , 12n na n    ,∴数列 na 的前 n 项和: 0 1 2 11 2 2 2 3 2 ... 2n nS n          1 2 32 1 2 2 2 3 2 ... 2n nS n        ②﹣①,得:  0 1 2 12 2 2 ...2 2n n nS n       ,即  1 1 2n nS n   . 18. 如图,把边长为 4 的正 ABC 沿中位线 EF 折起使点 A 到 P 的位置. - 13 - (1)在棱 PB 上是否存在点 M ,使得 / /EM 平面 PFC ?若存在,确定 M 的位置,若不存 在,说明理由; (2)若 10PB  ,求四棱锥 P BCFE 的体积. 【答案】(1)存在, M 是 PB 的中点;(2)3 【解析】 【分析】 (1)取 PB 的中点 M , PC 的中点 N ,连接 MN , ME , NF ,利用三角形中位线定理, 结合平行四边形的判定定理和性质定理、线面平行的判定定理进行推理论证即可; (2)取 BC 的中点G , EF 的中点 H ,可知 A 、 H 、G 三点共线,连接 PG ,GH , PH . 利用线面垂直的判定定理和性质定理,结合勾股定理及逆定理、棱锥的体积公式进行求解即 可. 【详解】(1)取 PB 的中点 M ,PC 的中点 N ,连接 MN ,ME ,NF ,则 MN 是 PBC 的 中位线,∴ 1/ / 2MN BC ,同理 1/ / 2EF BC ,∴ / /MN EF . ∴四边形 MNFE 是平行四边形,∴ / /EM FN ,又 EM  面 PFC , FN  面 PFC , ∴ / /EM 平面 PFC ,∴ PB 上存在中点 M 使 / /EM 平面 PFC . (2)取 BC 的中点G ,EF 的中点 H ,易知 A 、H 、G 三点共线,连接 PG ,GH ,PH . 易知 EF AH ,∴ EF PH , 又 EF GH . ∴ EF  面 PGH . 又 / /EF BC , ∴ BC ⊥面 PGH , ∴ BC PG . 又 10PB  , 2BG  . ∴ 6PG  , - 14 - 又易知 3PH GH  , ∴ 2 2 2PG PH GH  , ∴ PH GH , 又 PH EF , ∴ PH  面 BCFE . ∴ 1 1 3 3 3 4P BCFE BCFE ABCV S PH S PH       21 3 4 3 3 33 4 4      . 【点睛】本题考查了线面平行的判定和棱锥体积的计算,考查了推理论证能力和数学运算能 力. 19. 2019 年 10 月 5 日, 美国 NBA 火箭队总经理莫雷公开发布涉港错误言论,中国公司与明 星纷纷站出来抵制火箭队,随后京东、天猫、淘宝等中国电商平台全线下架了火箭队的所有 商品,当天有大量网友关注此事,某网上论坛从关注此事跟帖中,随机抽取了 100 名网友进 行调查统计,先分别统计他们在跟帖中的留言条数,再把网友人数按留言条数分成 6 组:  0,10 , 10,20 , 20,30 , 30,40 , 40,50 , 50,60 ,得到如图所示的频率分布直 方图;并将其中留言不低于 40 条的规定为“强烈关注”,否则为“一般关注”,对这 100 名 网友进一步统计得到列联表的部分数据如下表: 一般关注 强烈关注 合计 - 15 - 男 60 女 5 40 合计 100 (1)补全列联表中数据,并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与 性别有关? (2)现已从男性网友中分层抽样选取了 6 人,再从这 6 人中随机选取 2 人,求这 2 人中至少 有 1 人属于“强烈关注”的概率. 附:        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ,其中 n a b c d    .  2 0P K k 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)列联表见解析,有;(2) 3 5 【解析】 【分析】 (1)根据直方图可知 P (强烈关注),因此可以求出强烈关注的人数,补全列联表,根据列 联表和题中所给的公式计算出 2K 进行判断即可; (2)计算出 6 人中属于“强烈关注”的人数,属于“一般关注”的人数,然后对人员进行编 号,最后利用古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】解析:(1)由直方图可知 P (强烈关注) 0.020 10 0.005 10 0.25     , ∴强烈关注的人数为100 0.25 25  人,故可补全列联表中数据: 一般关注 强烈关注 合计 - 16 - 男 40 20 60 女 35 5 40 合计 75 25 100 ∴  2 2 100 40 5 35 20 50 5.556 3.84175 25 60 40 9K          , ∴有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关. (2)易知 6 人中属于“强烈关注”的有 2 人,属于“一般关注”的有 4 人, 设“一般关注”的 4 人编号为 1,2,3,4;“强烈关注”的 2 人编号为 5,6, 则 6 人中随机选 2 人的基本事件为 12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45, 46,56,共有 15 种,其中至少有 1 人属于“强烈关注”的有 9 种,∴ 9 3 15 5P   . 【点睛】本题考查了补全列联表,考查了 2K 的计算,考查了古典概型计算公式,考查了数学 运算能力. 20. 已知动圆 M 与圆 F : 2 2 2 0x y y   外切且与 x 轴相切. (1)求圆心 M 的轨迹 E 的方程; (2)过 F 作斜率为 k 的直线l 交曲线 E 于 A , B 两点, ①若 2BF FA    ,求直线 l 的方程; ②过 A , B 两点分别作曲线 E 的切线 1l , 2l ,求证: 1l , 2l 的交点恒在一条定直线上. 【答案】(1)  2 4 0x y y  或  0 0x y  ;(2)①l : 2 14y x   ;②证明见解析 【解析】 【分析】 (1)把圆 F 化成标准方程形式,根据题意列出等式,然后两边平方,结合绝对值的性质进行 求解即可; (2)①设直线l 的方程与抛物线方程联立,根据共线向量的坐标表示公式,结合一元二次方 程根与系数关系进行求解即可; - 17 - ②把抛物线方程写成函数形式,利用导数求出切线方程,结合①结论进行求解即可. 【详解】(1) F :  22 1 1x y   , 设  ,M x y ,则  22 1 1x y y    E :  2 4 0x y y  或  0 0x y  . (2)由已知得直线l : 1y kx  ,把 1y kx  代入 2 4x y 得, 2 4 4 0x kx   ,  * ①设  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,由 2BF FA    得   2 2 1 1,1 2 , 1x y x y    , ∴ 2 12x x  ,又由 * 得 1 2 4x x k  , 1 2 4x x   ,∴ 2 4k   , ∴l : 2 14y x   . ②由 2 4x y 得 2 4 xy  ,∴ ' 2 xy  , ∴ 1l :   2 1 1 14 2 x xy x x   , 1 1 1 2 2 2 2 2 2 4 12 4 4: 2 xy xx x xyxl y xx             即 同理 , ∴ 1l , 2l 的交点恒在直线 1y   上. 【点睛】本题考查了求曲线方程,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了抛物线切线方程, 考查了数学运算能力. 21. 已知函数   2 lnf x x ax x   . (1)当 1a  时,求  f x 的单调区间; (2)若  f x 有两个极值点  1 2 1 2,x x x x ,求    2 12f x f x 的最大值. 【答案】(1)增区间 0,  ,无减区间;(2) 1 ln 42  【解析】 【分析】 - 18 - (1)对函数进行求导,根据导函数的正负性判断单调性即可; (2)对函数进行求导,让导函数等于零,这样可以得到  1 2 1 2,x x x x 的表达式,并求出 a 的 取值范围,根据  1 2 1 2,x x x x 的关系把    2 12f x f x 就成关于 2x 的表达式,然后通过构 造新函数,对新函数求导,判断其单调性,最后利用单调性进行求解即可. 【详解】(1)由已知得定义域为  0,  , 当 1a  时,   2 lnf x x x x   , ∴   2 2 1 721 2' 1 4 82 1 0 xx xx x x xf x             , ∴  f x 有增区间: 0,  ,无减区间. (2)∵   21 2 1' 2 x axf x x a x x      , ∴ 22 1 0x ax   有两个不等正根 1 2x x , ∴ 2 1 2 1 2 8 0 0 2 22 1 02 a ax x a x x                , ∴ 2 2 8 2 ,4 2 a ax         , 又由 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 x ax ax x x ax ax x              且 1 2 1 2 1 1 2 2x x x x    , ∴      2 2 2 1 2 2 2 1 1 12 ln 2 lnf x f x x ax x x ax x        2 2 2 2 2 2 2 1 1 12 1 ln 2 2 1 lnx x x x x x        2 2 1 2 2 12 ln 2ln 1x x x x     2 2 2 2 2 2 1 12 ln 2ln 12 2x xx x          - 19 - 2 2 22 2 1 3ln ln 4 12 x xx      . 令   2 2 1 23ln ln 4 1 ,2 2g x x x xx                , 则   4 2 3 3 1 3 2 3 1' 2 x xg x xx x x           2 3 1 1 2 1x x x x      , ∵  g x 在 2 ,12       上单调递增,在 1, 上单调递减, 易知      max 11 ln 42g x g x g   极大值 , ∴    2 12f x f x 的最大值为 1 ln 42  . 【点睛】本题考查了利用导数求函数单调区间,考查了函数极值的定义,考查了利用构造法 结合导数求代数式取值范围问题,考查了数学运算能力. 22. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程是 3 cos sin x y      ( 为参数).以原点O 为 极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程是 sin 26       . (1)求曲线 1C 的普通方程与曲线 2C 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 1C 上的动点,求点 P 到曲线 2C 距离的最小值及此时点 P 的直角坐标. 【答案】(1) 1C : 2 2 13 x y  , 2C : 3 4 0x y   ;(2) min 4 6 2d  , 6 2,2 2P       【解析】 【分析】 (1)利用同角的三角函数关系式把曲线 1C 的参数方程化为普通方程.结合两角和的正弦公式, 利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式把曲线 2C 的极坐标方程化成直角坐标方程; (2)根据曲线 1C 的参数方程设出点 P 的坐标,利用点到直线的距离公式,结合辅助角公式进 行求解即可. - 20 - 【详解】(1)由题知 1C 的普通方程为 2 2 13 x y  . 2C : 3 1sin 2 sin cos 26 2 2                   3 sin cos 4      , 即 2C : 3 4 0x y   . (2)设     3 cos ,sin 0,2P     , 则 3 cos 3sin 4 1 6 sin 44 23 d            4 6 sin 4 2      , ∴当且仅当sin 14      ,即 4   时, min 4 6 2d  ,此时 6 2,2 2P       . 【点睛】本题考查了参数方程化成普通方程和极坐标方程化成直角坐标方程,考查了参数方 程的应用,考查了辅助角公式的应用,考查了点到直线距离公式的应用,考查了同角的三角 函数关系式,考查了数学运算能力. 23. 已知函数   1 2f x ax x    . (1)若 1a  ,解不等式:   5f x x  ; (2)若  1,2x 时,   5f x  恒成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) 2,4 ;(2)   , 1 3,   【解析】 【分析】 (1)利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可; (2)利用绝对值的性质化简不等式   5f x  ,利用绝对值不等式解法求出不等式的解集,然 后常变量分离,根据函数的单调性进行求解即可. 【详解】(1)   5 1 2 5f x x x x x        2 1 2 5 x x x x         或 2 1 1 2 5 x x x x          或 1 1 2 5 x x x x        - 21 - 2 2 x x      或 2 1 2 x x       或 1 4 x x    2 1x    或1 4x  2 4x    , ∴不等式的解集为  2,4 . (2)∵  1,2x ,∴ 2 0x   , ∴   1 2f x ax x    1 2 5ax x     1 3ax x    ,又因为 3 0x  1 3ax x    或 1 3ax x   21a x    或 4 1a x   , 又∵ min 21 1x       , max 4 1 3x      , ∴ 1a   或 3a  , 故实数 a 的取值范围为   , 1 3,   . 【点睛】本题考查了解绝对值不等式,考查了已知不等式恒成立求参数取值范围,考查了数 学运算能力. - 22 -