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- 2021-07-01 发布
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- 1 -
开卷教育联盟 2020 届全国高三模拟考试(一)
数学(文科)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,
用橡皮擦干净后,再涂选其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷
上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 1,2,3,4,5,6U , 2,3,5A , 3,6B ,则 U A B ð ( )
A. 3 B. 6 C. 1,3,4,6 D.
2,3,5,6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合补集和并集的定义进行求解即可.
【详解】因为 1,2,3,4,5,6U , 2,3,5A ,所以 1,4,6U A ð ,又因为 3,6B ,
所以有
U A B ð 1,3,4,6 .
故选:C
【点睛】本题考查了集合补集和并集的运算,考查了数学运算能力,属于基础题.
2. 设 21
4 3
iz i
,则 z ( )
A. 2
5
B. 10
7
C. 2 2 D. 14 2
25
【答案】A
【解析】
- 2 -
【分析】
根据复数模的运算公式和性质进行求解即可.
【详解】
22 2 2 2
22
11 ( 1 1 ) 2
4 3 | 4 3 | 54 3
iiz i i
.
故选:A
【点睛】本题考查了复数模的运算公式和性质,考查了数学运算能力.
3. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6),记正面向上的
点数为 a ,则函数 2 2f x x ax 有零点的概率是( )
A. 1
3
B. 1
2
C. 2
3
D. 5
6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据零点定义,结合一元二次方程根的判别式,求出 a 的取值范围,最后古典概型计算公式进
行求解即可.
【详解】因为函数 2 2f x x ax 有零点,所以 2 2 0x ax ,由 2 4 1 2 0a
得 2 2a ,∴ 3,4,5,6a ,∴ 4 2
6 3P .
故选:C
【点睛】本题考查了古典概型计算公式,考查了零点的定义,考查了一元二次方程根的判别
式,考查了数学运算能力.
4. 已知锐角 满足 1sin 6 3
,则 cos ( )
A. 2 6 1
6
B. 2 2 3
6
C. 2 6 1
6
D.
2 2 3
6
【答案】A
【解析】
- 3 -
【分析】
结合同角的三角函数关系式,利用两角和的余弦公式进行求解即可.
【详解】因为 0, 2
,所以 ,6 6 3
,
所以 2 2 2cos 1 sin6 6 3
,
所以 cos cos 6 6
cos cos sin sin6 6 6 6
2 2 3 1 1 2 6 1
3 2 3 2 6
.
故选:A
【点睛】本题考查了两角和的余弦公式和同角的三角函数关系式,考查了数学运算能力.
5. 执行下面的程序框图,若输出的结果是 16,则空白框中应填( )
A. 1 n n , S S n B. 2 n n , S S n
C. S S n , 1 n n D. S S n , 2 n n
【答案】D
【解析】
【分析】
根据四个选项依次代入检验进行求解判断即可.
【详解】A:若空白处是 1 n n ,S S n 时, 1 4i 成立, 2, 0 2 2, 2 4n S i
成立,
- 4 -
所以 3, 2 3 5, 3 4n S i 成立,所以 4, 4 5 9, 4 4n S i 成立,所以
5, 5 9 14, 5 4n S i 不成立,故 14S ,不符合题意;
B:若空白处是 2 n n , S S n 时, 1 4i 成立, 3, 0 3 3, 2 4n S i 成立,
所以 5, 5 3 8, 3 4n S i 成立,所以 7, 8 7 15, 4 4n S i 成立,所以
9, 15 9 24, 5 4n S i 不成立,故 24S ,不符合题意;
C:若空白处是 S S n , 1 n n 时, 1 4i 成立, 1, 2, 2 4S n i 成立,所以
3, 3, 3 4S n i 成立,所以 6, 4, 4 4S n i 成立,所以 10, 5, 5 4S n i 不
成立,故 10S ,不符合题意;
D:若空白处是 S S n , 2 n n 时, 1 4i 成立, 1, 3, 2 4S n i 成立,所以
4, 5, 3 4S n i 成立,所以 9, 7, 4 4S n i 成立,所以 16, 9, 5 4S n i 不
成立,故 16S ,符合题意.
故选:D
【点睛】根据程序框图的输出结果补全程序框图,考查了数学运算能力.
6. 如图为某几何体的三视图,其中侧视图与俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该几何
体的体积为( )
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三视图在正方体中还原直观图为三棱锥 1 1A DCC ,根据本棱锥的体积公式进行求解即
- 5 -
可.
【详解】在正方体中还原直观图为三棱锥 1 1A DCC ,
∴ 1 1 1 11 1 13 3 2 6V Sh .
故选:D
【点睛】本题考查了由三视图求空间几何体的体积,考查了三棱锥的体积公式,考查了空间
想象能力和数学运算能力.
7. 函数 sin x xy e e 的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性,再根据 x xe e 的取值范围,结合正弦函数的性质进行判断即可.
【 详 解 】
( ) sin ( ) sin sin ( ) ( )x x x x x xy f x e e f x e e e e f x f x 是
奇函数,故图象关于原点称,因此排除 B,D;
令 x xt e e ,当 0x 时,函数 ( ) x xt x e e 是增函数,故 0t ,当 0t 时,显然存在
- 6 -
( ,2 )t 时, sin 0y t ,因此排除 C.
故选:A
【点睛】本题考查了识别函数图象,考查了函数的奇偶性,考查了正弦函数的性质,属于中
档题.
8. 魏晋时期数学家刘徽首创割圆术,他在《九章算术》方田章圆田术中指出:“割之弥细,
所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转
化过程,比如在正数
2
21 1
中的“…”代表无限次重复,设
2
21 1
x
,则可利用方程
2
1x x
求得 x ,类似地可得正数 2 2 2 2 ( )
A. 2 B. 3 1 C. 5 1 D.
6 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中所给的方程,换元,解方程进行求解即可.
【详解】设 2 2 2 2x ,则 2 2x x ,解得 3 1x (负值舍去).
故选:B
【点睛】本题考查了类比推理,考查了推理论证能力,考查了数学运算能力.
9. 为了得到函数 2sin 2 3y x
的图象,可以将函数 2sin 2 4y x
的图象()
A. 向左平移 7
24
B. 向右平移 7
24
C. 向左平移 7
12
D. 向右平移 7
12
【答案】B
【解析】
【分析】
利用 sin( )y A x 的图象变换规律,即可求解,得出结论.
【 详 解 】 由 题 意 , 函 数 2sin(2 ) 2sin[2( )]3 6y x x ,
- 7 -
2sin(2 ) 2sin[2( )]4 8y x x ,
又由 7( )8 6 24
,
故把函数 2sin[2( )]8y x 的图象上所有的点,向右平移 7
24
个单位长度,
可得 72sin[2( ) ] 2sin(2 )24 4 3y x x 的图象,
故选 B.
【点睛】本题主要考查了三角函数 sin( )y A x 的图象变换规律,其中解答中熟记三角函
数的图象变换是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
10. 已知双曲线C :
2
2 1 0yx mm
的离心率为 2,则双曲线C 的渐近线方程为( )
A. 2y x B. 3y x C. 3y x D.
3
3y x
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线的离心率公式,结合双曲线中 , ,a b c 的关系、渐近线方程进行求解即可.
【详解】由
2 2 2
2
2 2
2 1 21
c a b me a a
,得 3m ,所以 3b ,
所以渐近线方程为 3by x xa
.
故选:C
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程,考查了双曲线离心率公式,考查了数学运算能力.
11. 已知函数
2 2 1, 0
lg , 0
x x xf x x x
,若 f x a a R 有四个不等实根,则所有实根
之积的取值范围是( )
A. ,1 B. 0,1 C. 0,1 D. 1,
【答案】B
【解析】
- 8 -
【分析】
在直角坐标系内画出函数 f x 的图象,利用数形结合,结合对数的运算性质和绝对值的性质
进行求解即可.
【详解】设四个根依次为 1 2 3 4 1 2 3 4, , ,x x x x x x x x ,
则 12 1x , 21 0x , 1 2 2x x ,
则由 3 4 3 4 3 4lg lg lg lg lg lgx x x x x x 3 4 3 4lg 0 1x x x x ,
∴ 2
1 2 3 4 1 2 2 2 22 1 1 0,1x x x x x x x x x .
故选:B
【点睛】本题考查了已知方程根的个数求根的乘积的取值范围,考查了数形结合思想,考查
了对数的运算性质,考查了数学运算能力.
12. 已知椭圆C 的左、右焦点为 1F , 2F ,过 1F 的直线交C 于 A ,B 两点,若 1 12 3AF F B ,
且 2 2AF BF ,则椭圆C 的离心率为( )
A. 1
2
B. 3
2
C. 5
5
D. 2 5
5
【答案】C
【解析】
【分析】
运用特殊值法进行求解. 不妨设 1 3AF ,利用勾股定理、余弦定理,结合椭圆的定义和离
心率公式进行求解即可.
【详解】不妨设 1 3AF ,则 1 2F B , 5AB ,
∴ 2 2 3AF a , 2 2 2BF a ,
- 9 -
∴由 2 2 2
2 2AB AF BF 得 2 225 2 3 2 2 3a a a 或 1
2a (舍),
∴ 2 3AF ,∴ 3cos 5A ,
又由 2 2 2
1 2 1 2 1 22 cosF F AF AF AF AF A 得
2 2 2 3 3 52 3 3 2 3 3 5 5c c ,
∴ 5
5
ce a
.
故选:C
【点睛】本题考查了椭圆的定义和离心率的计算,考查了余弦定理的应用,考查了数学运算
能力.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已知向量 1,2 , 1,3a b
,且 a b a
,则 ______.
【答案】 1
【解析】
【分析】
根据平面向量线性运算的坐标表示公式,结合平面向量垂直的性质、平面向量数量积的坐标
表示公式进行求解即可.
【详解】∵ 1 ,2 3a b
,
∴ 1 1 2 3 2 0 1a ab
.
故答案为; 1
- 10 -
【点睛】本题考查了平面向量线性运算和数量积的坐标表示公式,考查了平面向量垂直的性
质,考查了数学运算能力.
14. 已知函数
1
2
3 1, 1
log 1 , 1
x xf x x x
,若 2f m ,则 2f m ______.
【答案】 2
3
或 1
【解析】
【分析】
根据 m 的不同取值,利用函数的解析式分类讨论进行求解即可.
【详解】 1
12 3 1 2m
mf m
或 2
1
0log 1 2
m
mm
或 3m ,
∴ 2 2m 或 2 1m ,
∴ 22 2 3f m f 或 2 1 1f m f .
故答案为: 2
3
或 1
【点睛】本题考查了已知分段函数的值求参数问题,考查了求分段函数值问题,考查了指数
运算和对数运算,考查了数学运算能力.
15. 设 ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ,若 2 cos cos 0a c B b C ,
且 4ac ,则 ABC 的面积为______.
【答案】 3
【解析】
【分析】
根据正弦定理,结合两角和的正弦公式、三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】由 2 cos cos 0a c B b C 得
2sin sin cos sin cos 0A C B B C ,
即 2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ,
化简得 2sin cos sin 0A B A ,
∵ A 为三角形的内角,∴sin 0A ,∴ 1cos 2B , 3sin 2B ,故
- 11 -
1 1 3sin 4 32 2 2S ac B .
故答案为: 3
【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用,考查了两角和的正弦公式,考查了正弦定理的
应用,考查了数学运算能力.
16. 半径为 3 的球的内接正四棱锥的体积的最大值为______.
【答案】 64
3
【解析】
【分析】
设 1OO x ,利用勾股定理及四棱锥的体积公式求出四棱锥的体积表达式,利用导数进行求
解即可.
【详解】如图,设 1OO x ,则 2 2
1 3OC x ,
∴ 2 2
12 2 9ABCDS O C x 四边形 ,
∴ 1
1
3 ABCDV V x S PO 四边形
2 3 22 29 3 2 6 183 3x x x x x ,
∴ 2' 2 4 6 2 1 3V x x x x x ,
当 0 1x 时, ' 0,V x V x 单调递增,当1 3x 时, ' 0,V x V x 单调递减,
所以 max
641 3V V .
故答案为; 64
3
【点睛】本题考查了球的内接正四棱锥的体积的最大值问题,考查了导数的应用,考查了推
理论证能力和数学运算能力.
- 12 -
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每
个考生都必须作答.第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答.
17. 已知数列 na 满足 1 2 2n
n na a *,n N R ,且 1 1a .
(1)证明数列
2
n
n
a
是等差数列;
(2)求数列 na 的前 n 项和 nS .
【答案】(1)见解析;(2) 1 1 2n
nS n .
【解析】
试题分析:(1)对题设中的递推关系变形为 1
1
1
2 2 2
n n
n n
a a
,从而得到一个新的等差数列
2
n
n
a
,
其通项为
2 2
n
n
a n ,由此得 12n
na n .(2)利用错位相减法求 nS .
解析:(1)由 1 2 2n
n na a n N
,等式两端同时除以 12n 到
1
1
1
2 2 2
n n
n n
a a
,即 1
1
1
2 2 2
n n
n n
a a
,
(2) 1
1
1
2 2
a ,∴数列
2
n
n
a
是首项为 1
2
,公差为 1
2
的等差数列,
1 112 2 2 2
n
n
a nn , 12n
na n ,∴数列 na 的前 n 项和:
0 1 2 11 2 2 2 3 2 ... 2n
nS n
1 2 32 1 2 2 2 3 2 ... 2n
nS n
②﹣①,得:
0 1 2 12 2 2 ...2 2n n
nS n ,即 1 1 2n
nS n .
18. 如图,把边长为 4 的正 ABC 沿中位线 EF 折起使点 A 到 P 的位置.
- 13 -
(1)在棱 PB 上是否存在点 M ,使得 / /EM 平面 PFC ?若存在,确定 M 的位置,若不存
在,说明理由;
(2)若 10PB ,求四棱锥 P BCFE 的体积.
【答案】(1)存在, M 是 PB 的中点;(2)3
【解析】
【分析】
(1)取 PB 的中点 M , PC 的中点 N ,连接 MN , ME , NF ,利用三角形中位线定理,
结合平行四边形的判定定理和性质定理、线面平行的判定定理进行推理论证即可;
(2)取 BC 的中点G , EF 的中点 H ,可知 A 、 H 、G 三点共线,连接 PG ,GH , PH .
利用线面垂直的判定定理和性质定理,结合勾股定理及逆定理、棱锥的体积公式进行求解即
可.
【详解】(1)取 PB 的中点 M ,PC 的中点 N ,连接 MN ,ME ,NF ,则 MN 是 PBC 的
中位线,∴ 1/ / 2MN BC ,同理 1/ / 2EF BC ,∴ / /MN EF .
∴四边形 MNFE 是平行四边形,∴ / /EM FN ,又 EM 面 PFC , FN 面 PFC ,
∴ / /EM 平面 PFC ,∴ PB 上存在中点 M 使 / /EM 平面 PFC .
(2)取 BC 的中点G ,EF 的中点 H ,易知 A 、H 、G 三点共线,连接 PG ,GH ,PH .
易知 EF AH ,∴ EF PH ,
又 EF GH .
∴ EF 面 PGH .
又 / /EF BC ,
∴ BC ⊥面 PGH ,
∴ BC PG .
又 10PB , 2BG .
∴ 6PG ,
- 14 -
又易知 3PH GH ,
∴ 2 2 2PG PH GH ,
∴ PH GH ,
又 PH EF ,
∴ PH 面 BCFE .
∴ 1 1 3
3 3 4P BCFE BCFE ABCV S PH S PH
21 3 4 3 3 33 4 4
.
【点睛】本题考查了线面平行的判定和棱锥体积的计算,考查了推理论证能力和数学运算能
力.
19. 2019 年 10 月 5 日, 美国 NBA 火箭队总经理莫雷公开发布涉港错误言论,中国公司与明
星纷纷站出来抵制火箭队,随后京东、天猫、淘宝等中国电商平台全线下架了火箭队的所有
商品,当天有大量网友关注此事,某网上论坛从关注此事跟帖中,随机抽取了 100 名网友进
行调查统计,先分别统计他们在跟帖中的留言条数,再把网友人数按留言条数分成 6 组:
0,10 , 10,20 , 20,30 , 30,40 , 40,50 , 50,60 ,得到如图所示的频率分布直
方图;并将其中留言不低于 40 条的规定为“强烈关注”,否则为“一般关注”,对这 100 名
网友进一步统计得到列联表的部分数据如下表:
一般关注 强烈关注 合计
- 15 -
男 60
女 5 40
合计 100
(1)补全列联表中数据,并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与
性别有关?
(2)现已从男性网友中分层抽样选取了 6 人,再从这 6 人中随机选取 2 人,求这 2 人中至少
有 1 人属于“强烈关注”的概率.
附:
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
,其中 n a b c d .
2
0P K k 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】(1)列联表见解析,有;(2) 3
5
【解析】
【分析】
(1)根据直方图可知 P (强烈关注),因此可以求出强烈关注的人数,补全列联表,根据列
联表和题中所给的公式计算出 2K 进行判断即可;
(2)计算出 6 人中属于“强烈关注”的人数,属于“一般关注”的人数,然后对人员进行编
号,最后利用古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】解析:(1)由直方图可知 P (强烈关注) 0.020 10 0.005 10 0.25 ,
∴强烈关注的人数为100 0.25 25 人,故可补全列联表中数据:
一般关注 强烈关注 合计
- 16 -
男 40 20 60
女 35 5 40
合计 75 25 100
∴ 2
2 100 40 5 35 20 50 5.556 3.84175 25 60 40 9K
,
∴有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关.
(2)易知 6 人中属于“强烈关注”的有 2 人,属于“一般关注”的有 4 人,
设“一般关注”的 4 人编号为 1,2,3,4;“强烈关注”的 2 人编号为 5,6,
则 6 人中随机选 2 人的基本事件为 12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,
46,56,共有 15 种,其中至少有 1 人属于“强烈关注”的有 9 种,∴ 9 3
15 5P .
【点睛】本题考查了补全列联表,考查了 2K 的计算,考查了古典概型计算公式,考查了数学
运算能力.
20. 已知动圆 M 与圆 F : 2 2 2 0x y y 外切且与 x 轴相切.
(1)求圆心 M 的轨迹 E 的方程;
(2)过 F 作斜率为 k 的直线l 交曲线 E 于 A , B 两点,
①若 2BF FA
,求直线 l 的方程;
②过 A , B 两点分别作曲线 E 的切线 1l , 2l ,求证: 1l , 2l 的交点恒在一条定直线上.
【答案】(1) 2 4 0x y y 或 0 0x y ;(2)①l : 2 14y x ;②证明见解析
【解析】
【分析】
(1)把圆 F 化成标准方程形式,根据题意列出等式,然后两边平方,结合绝对值的性质进行
求解即可;
(2)①设直线l 的方程与抛物线方程联立,根据共线向量的坐标表示公式,结合一元二次方
程根与系数关系进行求解即可;
- 17 -
②把抛物线方程写成函数形式,利用导数求出切线方程,结合①结论进行求解即可.
【详解】(1) F : 22 1 1x y ,
设 ,M x y ,则 22 1 1x y y
E : 2 4 0x y y 或 0 0x y .
(2)由已知得直线l : 1y kx ,把 1y kx 代入 2 4x y 得, 2 4 4 0x kx , *
①设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,由 2BF FA
得 2 2 1 1,1 2 , 1x y x y ,
∴ 2 12x x ,又由 * 得 1 2 4x x k , 1 2 4x x ,∴ 2
4k ,
∴l : 2 14y x .
②由 2 4x y 得
2
4
xy ,∴ ' 2
xy ,
∴ 1l :
2
1 1
14 2
x xy x x ,
1
1 1 2
2
2
2
2
2 4 12 4 4: 2
xy xx x xyxl y xx
即
同理
,
∴ 1l , 2l 的交点恒在直线 1y 上.
【点睛】本题考查了求曲线方程,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了抛物线切线方程,
考查了数学运算能力.
21. 已知函数 2 lnf x x ax x .
(1)当 1a 时,求 f x 的单调区间;
(2)若 f x 有两个极值点 1 2 1 2,x x x x ,求 2 12f x f x 的最大值.
【答案】(1)增区间 0, ,无减区间;(2) 1 ln 42
【解析】
【分析】
- 18 -
(1)对函数进行求导,根据导函数的正负性判断单调性即可;
(2)对函数进行求导,让导函数等于零,这样可以得到 1 2 1 2,x x x x 的表达式,并求出 a 的
取值范围,根据 1 2 1 2,x x x x 的关系把 2 12f x f x 就成关于 2x 的表达式,然后通过构
造新函数,对新函数求导,判断其单调性,最后利用单调性进行求解即可.
【详解】(1)由已知得定义域为 0, ,
当 1a 时, 2 lnf x x x x ,
∴
2
2
1 721 2' 1 4 82 1 0
xx xx x x xf x
,
∴ f x 有增区间: 0, ,无减区间.
(2)∵
21 2 1' 2 x axf x x a x x
,
∴ 22 1 0x ax 有两个不等正根 1 2x x ,
∴
2
1 2
1 2
8 0
0 2 22
1 02
a
ax x a
x x
,
∴
2
2
8 2 ,4 2
a ax
,
又由
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
2 1 0 2 1
2 1 0 2 1
x ax ax x
x ax ax x
且 1 2 1
2
1 1
2 2x x x x
,
∴ 2 2
2 1 2 2 2 1 1 12 ln 2 lnf x f x x ax x x ax x
2 2 2 2
2 2 2 1 1 12 1 ln 2 2 1 lnx x x x x x
2 2
1 2 2 12 ln 2ln 1x x x x
2
2
2 2
2 2
1 12 ln 2ln 12 2x xx x
- 19 -
2
2 22
2
1 3ln ln 4 12 x xx
.
令 2
2
1 23ln ln 4 1 ,2 2g x x x xx
,
则
4 2
3 3
1 3 2 3 1' 2 x xg x xx x x
2
3
1 1 2 1x x x
x
,
∵ g x 在 2 ,12
上单调递增,在 1, 上单调递减,
易知 max
11 ln 42g x g x g 极大值 ,
∴ 2 12f x f x 的最大值为 1 ln 42
.
【点睛】本题考查了利用导数求函数单调区间,考查了函数极值的定义,考查了利用构造法
结合导数求代数式取值范围问题,考查了数学运算能力.
22. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程是 3 cos
sin
x
y
( 为参数).以原点O 为
极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程是 sin 26
.
(1)求曲线 1C 的普通方程与曲线 2C 的直角坐标方程;
(2)设 P 为曲线 1C 上的动点,求点 P 到曲线 2C 距离的最小值及此时点 P 的直角坐标.
【答案】(1) 1C :
2
2 13
x y , 2C : 3 4 0x y ;(2) min
4 6
2d , 6 2,2 2P
【解析】
【分析】
(1)利用同角的三角函数关系式把曲线 1C 的参数方程化为普通方程.结合两角和的正弦公式,
利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式把曲线 2C 的极坐标方程化成直角坐标方程;
(2)根据曲线 1C 的参数方程设出点 P 的坐标,利用点到直线的距离公式,结合辅助角公式进
行求解即可.
- 20 -
【详解】(1)由题知 1C 的普通方程为
2
2 13
x y .
2C : 3 1sin 2 sin cos 26 2 2
3 sin cos 4 ,
即 2C : 3 4 0x y .
(2)设 3 cos ,sin 0,2P ,
则 3 cos 3sin 4
1
6 sin 44
23
d
4 6 sin 4
2
,
∴当且仅当sin 14
,即
4
时, min
4 6
2d ,此时 6 2,2 2P
.
【点睛】本题考查了参数方程化成普通方程和极坐标方程化成直角坐标方程,考查了参数方
程的应用,考查了辅助角公式的应用,考查了点到直线距离公式的应用,考查了同角的三角
函数关系式,考查了数学运算能力.
23. 已知函数 1 2f x ax x .
(1)若 1a ,解不等式: 5f x x ;
(2)若 1,2x 时, 5f x 恒成立,求实数 a 的取值范围.
【答案】(1) 2,4 ;(2) , 1 3,
【解析】
【分析】
(1)利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可;
(2)利用绝对值的性质化简不等式 5f x ,利用绝对值不等式解法求出不等式的解集,然
后常变量分离,根据函数的单调性进行求解即可.
【详解】(1) 5 1 2 5f x x x x x
2
1 2 5
x
x x x
或 2 1
1 2 5
x
x x x
或 1
1 2 5
x
x x x
- 21 -
2
2
x
x
或 2 1
2
x
x
或 1
4
x
x
2 1x 或1 4x
2 4x ,
∴不等式的解集为 2,4 .
(2)∵ 1,2x ,∴ 2 0x ,
∴ 1 2f x ax x
1 2 5ax x
1 3ax x ,又因为 3 0x
1 3ax x 或 1 3ax x
21a x
或 4 1a x
,
又∵
min
21 1x
,
max
4 1 3x
,
∴ 1a 或 3a ,
故实数 a 的取值范围为 , 1 3, .
【点睛】本题考查了解绝对值不等式,考查了已知不等式恒成立求参数取值范围,考查了数
学运算能力.
- 22 -
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