2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：11 10页

www.ks5u.com ‎11．3　空间中的平行关系 ‎11．3.1　平行直线与异面直线 ‎[课程目标] 1.掌握空间平行直线、异面直线的概念； 2.理解空间中两个角相等的条件，能利用等角定理解决相关问题； 3.掌握空间四边形的概念和特点．‎ 知识点一　　平行直线与异面直线 ‎[填一填]‎ ‎1．平行直线：在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线．‎ ‎2．等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．‎ ‎3．异面直线 ‎(1)概念：空间中既不平行也不相交的直线．‎ ‎(2)判断方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．‎ ‎[答一答]‎ ‎1．如何理解异面直线？‎ 提示：‎ 若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线．例如，如图所示的长方体ABCDA1B‎1C1D1中，棱AB和B‎1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面．‎ ‎2．已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？‎ 提示：都共面，如图所示，a∩b＝A，过b上任意一点B作c∥a，则a、c可确定一个平面α，因为A∈a，所以A∈α.又因为B∈c，所以B∈α，所以AB⊂α，即b⊂α.所以a、b、c共面．‎ 同理在a上任取一点作b的平行线，都与a、b共面，所以这些平行线都共面．‎ 知识点二　　空间四边形 ‎[填一填]‎ 顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形．其中4个点都是空间四边形的顶点；连接相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻顶点间线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．‎ 类型一　　证明线线平行问题 ‎ [例1]　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎[证明]　在△PAB中，∵E、F分别是PA、PB的中点，‎ ‎∴EF綉AB，同理GH綉DC.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綉CD，‎ ‎∴EF綉GH，∴四边形EFGH是平行四边形．‎ 空间中证明两直线平行的方法有：‎ (1)借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质，平行四边形的性质，用成比例线段证平行等.‎ (2)利用平行的传递性，即证明两直线都与第三条直线平行.‎ ‎[变式训练1]　如图所示，已知E，F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点，G，H分别是边CD与AD上靠近D的三等分点，求证：四边形EFGH是梯形．‎ 证明：在△ABC中，∵E，F分别是AB，BC边上的中点，∴EF 綉AC.‎ 又在△ACD中，G，H分别是CD，AD边上的三等分点，‎ ＝＝，∴GH綉AC.‎ ‎∴EF∥GH且EF≠GH，即四边形EFGH是梯形．‎ 类型二　　等角定理 ‎[例2]　已知E，E′分别是正方体ABCDA′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点．求证：∠BEC＝∠B′E′C′.‎ ‎[证明]　如图所示，连接EE′.‎ 因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，‎ 所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.‎ 所以四边形AEE′A′是平行四边形．‎ 所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.‎ 又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′，‎ 所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′，‎ 所以四边形BEE′B′是平行四边形，所以BE∥B′E′，‎ 同理可证CE∥C′E′，‎ 又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同，‎ 所以∠BEC＝∠B′E′C′.‎ ‎1.空间两直线平行的证明方法 证明空间两条直线平行的方法有两个：一是利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线，平行四边形性质，平行线分线段成比例定理等)证明；二是利用平行的传递性，就是需要找到第三条直线c，使a∥c，b∥c，由平行的传递性得到a∥b.‎ ‎2.空间角相等的证明方法 (1)等角定理是较常用的方法.‎ (2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明.‎ ‎[变式训练2]　如图，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.‎ 证明：如图，连接B‎1C.‎ 因为G，F分别为BC，BB1的中点，‎ 所以GF∥B‎1C且GF＝B‎1C.‎ 又ABCDA1B‎1C1D1为正方体，‎ 所以CD∥AB且CD＝AB，‎ A1B1∥AB且A1B1＝AB，‎ 所以CD∥A1B1且CD＝A1B1，‎ 所以四边形A1B1CD为平行四边形，‎ 所以A1D∥B‎1C且A1D＝B‎1C.‎ 又B‎1C∥FG，所以A1D∥FG.‎ 同理可证：A‎1C1∥EG，DC1∥EF.‎ 又∠DA‎1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC‎1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为60°角，‎ 所以∠DA‎1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC‎1A1＝∠GEF.‎ 所以△EFG∽△C1DA1.‎ 类型三　　异面直线 ‎[例3]　如图，M，N，E，F，G，H，P，Q是正方体ABCD A1B‎1C1D1所在棱的中点，则PQ，EF，GH中与直线MN异面的直线是________．‎ ‎[分析]　要判定两条直线的位置关系可以根据定义及相关知识进行判断．‎ ‎[解析]　首先，我们不难看出PQ∥MN；其次，根据平面的基本事实的推论2，可得MN，EF交于一点，即MN与EF共面；最后，我们可直观地得到GH与MN异面．‎ ‎[答案]　GH 判断两条直线是不是异面直线，除了根据定义及平面的基本事实的推论外，直观上的感知也是十分重要的一方面.‎ ‎[变式训练3]　如图，已知P为△ABC所在平面外的一点，求证：EF与PC是异面直线．‎ 证明：若EF与PC不是异面直线，则存在平面α使得E，F，P，C∈α，从而直线PE与CF都在平面α内，∴A，B∈α，故点A，B，C，P都在α内，与P在平面ABC外矛盾，故EF与PC是异面直线．‎ 类型四　　空间四边形的相关问题 ‎[例4]　已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．‎ ‎(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；‎ ‎(2)若∠HEF＝60°，AC＝6，BD＝8，求四边形EFGH的面积；‎ ‎(3)若AC＝BD，则四边形EFGH是什么图形．‎ ‎[解]　(1)证明：如图，在△ABD中，E、H分别为AB，AD的中点，‎ ‎∴EH綉BD，同理FG綉BD，‎ ‎∴EH綉FG，∴四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎(2)∵BD＝8，∴EH＝4，同理由AC＝6得EF＝3，‎ ‎∴S▱EFGH＝EF·EH·sin∠HEF＝3×4×sin60°＝6.‎ ‎∴四边形EFGH的面积为6.‎ ‎(3)∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形．‎ 空间四边形中的计算与证明，常常转化为各个面上的平行、相交等关系，利用三角形、四边形的有关性质加以解决.‎ ‎[变式训练4]　如图，四边形ABCD为空间四边形，M，N分别是边AB，CD的中点，求证：MN<(AC＋BD)．‎ 证明：取BC的中点E，连接ME，NE，如图所示，‎ ‎∵M，E分别为AB，BC的中点，‎ ‎∴ME为△ABC的中位线，‎ ‎∴ME＝AC.同理EN＝BD，‎ 在△MNE中，根据两边之和大于第三边，可得MN