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- 2021-07-01 发布
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随机事件的概率
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列事件是随机事件的是 ( )
①当x≥10时,lg x≥1;②当x∈R,x2-1=0有解;
③当a∈R,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解;
④当sin α>sin β时,α>β.
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
【解析】选C.①当x≥10时,lg x≥1,属于确定事件;②当x∈R,x2-1=0有解,解得x=±1,属于确定事件;③当a∈R,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解,需要根据a的值确定是否有解,属于随机事件;④当sin α>sin β时,α>β,属于随机事件.
2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是 ( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
【解析】选D.A中的两个事件是包含关系,不是互斥事件;B中的两个事件是对立事件;C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系;D中的两个事件是互斥而不对立的关系.
3.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,
179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任意抽取一人,估计该生的身高在155.5~170.5 cm之间的概率约为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.从已知数据可以看出,在随机抽取的这20名学生中,身高在155.5~170.5 cm之间的学生有8人,频率为,故可估计在该校高二年级的所有学生中任意抽取一人,其身高在155.5~170.5 cm之间的概率约为.
4.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别是0.20,0.30,0.10,则此射手在一次射击中射中8环以下的概率为 ( )
A.0.90 B.0.30 C.0.60 D.0.40
【解析】选D.依题意,射中8环及8环以上的概率为0.20+0.30+0.10=0.60,故射中8环以下的概率为1-0.60=0.40.
5.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 ( )
A. B. C. D.1
【解析】选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A与B互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=+=,即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
【变式备选】在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘3
路或6路公共汽车到厂里,已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为 ( )
A.0.20 B.0.60 C.0.80 D.0.12
【解析】选C.记“能乘上所需要的车”为事件A,则3路或6路车有一辆路过即事件发生,故P(A)=0.20+0.60=0.80.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.容量为20的样本数据,分组后的频数如表.
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为________.
【解析】数据落在区间[10,40)的频率为==0.45.
答案:0.45
7.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.
【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+=.
答案:
8.一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为,取得两个绿球的概率为,则取得两个同颜色的球的概率为________;至少取得一个红球的概率为________. 导学号
【解析】由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为P=+=.
记事件A为“至少取得一个红球”,事件B为“取得两个绿球”,事件A与事件B是对立事件,则至少取得一个红球的概率为P(A)=1-P(B)=1-=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力,出了10道智力题,每道题10分,然后作了统计,结果如表.
贫困地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数).
(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率. 导学号
【解析】(1)贫困地区表格从左到右依次为0.53,0.54,0.52,0.52,0.51,0.50;发达地区表格从左到右依次为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.
(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52,发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.
10.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表.
赔付金额/元
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数/辆
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率. 导学号
【解析】(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为
4 000元”,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12.
由表格知,赔付金额大于投保金额即事件A+B发生,且A,B互斥,
所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27,故赔付金额大于投保金额的概率为0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,因此,由频率估计概率得P(C)=0.24.
(20分钟 40分)
1.(5分)(2019·襄阳模拟)有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是 ( )
A.互斥但非对立事件 B.对立事件
C.相互独立事件 D.以上都不对
【解析】选A.由于每人一个方向,故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的,故是互斥事件,但不是对立事件.
【误区警示】研究对立事件要全面准确.如本题中还有可能“丙向南”、 “ 丁向南”,所以事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件
2.(5分)(2018·石家庄模拟)“辽宁舰”是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰,在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索,降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条,则为“成功着陆”,舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%,挂住第二条或第三条拦阻索的概率为62%,捕捉钩未挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为5%,现有一架歼-15战机白天着舰演练20次,则其被第四条拦阻索挂住的次数约为 ( )
A.5 B.3
C.1 D.4
【解析】选B.由题意可知舰载机被第四条拦阻索挂住的概率为1-18%-62%-5%= 15%,
故其被第四条拦阻索挂住的次数约为20×0.15=3.
【变式备选】袋中装有大小形状完全相同的红、白小球共15个,小明随机从袋中摸出一个小球,小球为红色的概率为,则袋中白球的个数为 ( )
A.5 B.6
C.9 D.10
【解析】选D.由对立事件的概率公式知,摸出一个小球为白色的概率为1-=,白球个数为×15=10.
3.(5分)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一名成员,他至少参加2个小组的概率是________,他至多参加2个小组的概率为________.
【解析】记恰好参加2个小组为事件A,恰好参加3个小组为事件B,随机选一名成员,恰好参加2个小组的概率P(A)=++=,恰好参加3个小组的概率P(B)==,则至少参加2个小组的概率为P(A)+P(B)=+=,至多参加2个小组的概率为1-P(B)=1-=.
答案:
4.(12分)某校在高三抽取了500名学生,记录了他们选修A,B,C三门课的情况,如表所示.
科目
学生人数
A
B
C
120
是
否
是
60
否
否
是
70
是
是
否
50
是
是
是
150
否
是
是
50
是
否
否
(1)试估计该校高三学生在A,B,C三门选修课中同时选修两门课的概率.
(2)若某高三学生已选修A门课,则该学生同时选修B,C中哪门课的可能性大? 导学号
【解析】(1)由频率估计概率得所求概率
P==0.68.
(2)若某学生已选修A门课,则该学生同时选修B门课的概率为P==,
选修C门课的概率为P==,
因为<,所以该学生同时选修C门课的可能性大.
【变式备选】(2017·陕西高考)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率.
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
【解析】(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,在4月份任选一天,西安市不下雨的概率是.
(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2日与3日等),这样在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为,以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.
5.(13分)某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查.这1 000名购物者2018年网上购物金额(单位:万元)均在区间[0.3,0.9]内,样本分组为:
[0.3,0.4),[0.4,0.5),[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9],购物金额的频率分布直方图如图所示. 导学号
电子商务公司决定给购物者发放优惠券,其金额(单位:元)与购物金额关系如表.
购物金
额分组
[0.3,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.8)
[0.8,0.9]
发放优
惠券金额
50
100
150
200
(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数.
(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.
【解析】(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如表:
x
0.3≤x<0.5
0.5≤x<0.6
0.6≤x<0.8
0.8≤x≤0.9
y
50
100
150
200
频率
0.4
0.3
0.28
0.02
这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为
50×0.4+100×0.3+150×0.28+200×0.02=96.
(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知
P(y=150)=P(0.6≤x<0.8)=0.28,
P(y=200)=P(0.8≤x≤0.9)=0.02,
从而,获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)=P(y=150)+P(y=200)=
0.28+0.02=0.3.
【变式备选】假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率.
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.
【解析】(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为=,所以估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品是75个.
所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是=.所以估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
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