高一数学必修一重点方法讲解[1] 19页

真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 1 高中必修一一些重点 函数值域求法十一种........................................................................................................................................................................1 复合函数............................................................................................................................................................................................ 9 一、复合函数的概念................................................................................................................................................................9 二、求复合函数的定义域：....................................................................................................................................................9 复合函数单调性相关定理..............................................................................................................................................................10 函数奇偶性的判定方法..................................................................................................................................................................10 指数函数：...................................................................................................................................................................................... 12 幂函数的图像与性质......................................................................................................................................................................15 函数值域求法十一种 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 1. 求函数 x 1y  的值域。 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 2 解：∵ 0x  ∴ 0x 1  显然函数的值域是： ),0()0,(   例 2. 求函数 x3y  的值域。 解：∵ 0x  3x3,0x  故函数的值域是： ]3,[ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例 3. 求函数 ]2,1[x,5x2xy 2  的值域。 解：将函数配方得： 4)1x(y 2  ∵ ]2,1[x  由二次函数的性质可知：当 x=1 时， 4y min  ，当 1x  时， 8y max  故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例 4. 求函数 2 2 x1 xx1y   的值域。 解：原函数化为关于 x 的一元二次方程 0x)1y(x)1y( 2  （1）当 1y  时， Rx 0)1y)(1y(4)1( 2  解得： 2 3y2 1  （2）当 y=1 时， 0x  ，而     2 3,2 11 故函数的值域为     2 3,2 1 例 5. 求函数 )x2(xxy  的值域。 解：两边平方整理得： 0yx)1y(2x2 22  （1） ∵ Rx ∴ 0y8)1y(4 2  解得： 21y21  但此时的函数的定义域由 0)x2(x  ，得 2x0  由 0 ，仅保证关于 x 的方程： 0yx)1y(2x2 22  在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上， 即不能确保方程（1）有实根，由 0 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为     2 3,2 1 。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵ 2x0  0)x2(xxy  21y,0y min  代入方程（1） 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 3 解得： ]2,0[ 2 2222x 4 1  即当 2 2222x 4 1  时， 原函数的值域为： ]21,0[  注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔 除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 6. 求函数 6x5 4x3   值域。 解：由原函数式可得： 3y5 y64x   则其反函数为： 3x5 y64y   ，其定义域为： 5 3x  故所求函数的值域为：       5 3, 5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例 7. 求函数 1e 1ey x x   的值域。 解：由原函数式可得： 1y 1yex   ∵ 0e x  ∴ 01y 1y   解得： 1y1  故所求函数的值域为 )1,1( 例 8. 求函数 3xsin xcosy  的值域。 解：由原函数式可得： y3xcosxsiny  ，可化为： y3)x(xsin1y 2  即 1y y3)x(xsin 2   ∵ Rx ∴ ]1,1[)x(xsin  即 1 1y y31 2    解得： 4 2y4 2  故函数的值域为         4 2,4 2 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 4 6. 函数单调性法 例 9. 求函数 )10x2(1xlog2y 3 5x   的值域。 解：令 1xlogy,2y 32 5x 1   则 21 y,y 在[2，10]上都是增函数 所以 21 yyy  在[2，10]上是增函数 当 x=2 时， 8 112log2y 3 3 min   当 x=10 时， 339log2y 3 5 max  故所求函数的值域为：     33,8 1 例 10. 求函数 1x1xy  的值域。 解：原函数可化为： 1x1x 2y   令 1xy,1xy 21  ，显然 21 y,y 在 ],1[  上为无上界的增函数 所以 1yy  ， 2y 在 ],1[  上也为无上界的增函数 所以当 x=1 时， 21 yyy  有最小值 2 ，原函数有最大值 2 2 2  显然 0y  ，故原函数的值域为 ]2,0( 7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数 学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例 11. 求函数 1xxy  的值域。 解：令 t1x  ， )0t(  则 1tx 2  ∵ 4 3)2 1t(1tty 22  又 0t  ，由二次函数的性质可知 当 0t  时， 1y min  当 0t  时， y 故函数的值域为 ),1[  例 12. 求函数 2)1x(12xy  的值域。 解：因 0)1x(1 2  即 1)1x( 2  故可令 ],0[,cos1x  ∴ 1cossincos11cosy 2  1)4sin(2  ∵  4 5 40,0 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 5 211)4sin(20 1)4sin(2 2   故所求函数的值域为 ]21,0[  例 13. 求函数 1x2x xxy 24 3   的值域。 解：原函数可变形为： 2 2 2 x1 x1 x1 x2 2 1y     可令  tgx ，则有     2 2 2 2 cos x1 x1,2sin x1 x2  4sin4 12cos2sin2 1y 当 82 k  时， 4 1ymax  当 82 k  时， 4 1y min  而此时 tan 有意义。 故所求函数的值域为     4 1,4 1 例 14. 求函数 )1x)(cos1x(siny  ，      2,12x 的值域。 解： )1x)(cos1x(siny  1xcosxsinxcosxsin  令 txcosxsin  ，则 )1t(2 1xcosxsin 2  22 )1t(2 11t)1t(2 1y  由 )4/xsin(2xcosxsint  且      2,12x 可得： 2t2 2  ∴当 2t  时， 22 3ymax  ，当 2 2t  时， 2 2 4 3y  故所求函数的值域为          22 3,2 2 4 3 。 例 15. 求函数 2x54xy  的值域。 解：由 0x5 2  ，可得 5|x|  故可令 ],0[,cos5x  4)4sin(10sin54cos5y  ∵ 0 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 6 4 5 44  当 4/ 时， 104y max  当  时， 54y min  故所求函数的值域为： ]104,54[  8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法， 往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例 16. 求函数 22 )8x()2x(y  的值域。 解：原函数可化简得： |8x||2x|y  上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2）， )8(B  间的距离之和。 由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时， 10|AB||8x||2x|y  当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， 10|AB||8x||2x|y  故所求函数的值域为： ],10[  例 17. 求函数 5x4x13x6xy 22  的值域。 解：原函数可变形为： 2222 )10()2x()20()3x(y  上式可看成 x 轴上的点 )0,x(P 到两定点 )1,2(B),2,3(A  的距离之和， 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， 43)12()23(|AB|y 22 min  ， 故所求函数的值域为 ],43[  例 18. 求函数 5x4x13x6xy 22  的值域。 解：将函数变形为： 2222 )10()2x()20()3x(y  上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点 )1,2(B  到点 )0,x(P 的距离之差。 即： |BP||AP|y  由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 'P ，则构成 'ABP ，根据三角形两边之差 小于第三边，有 26)12()23(|AB|||'BP||'AP|| 22  即： 26y26  （2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 26|AB|||BP||AP||  综上所述，可知函数的值域为： ]26,26( 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 7 注：由例 17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A、B 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则 要使 A，B 两点在 x 轴的同侧。 如：例 17 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2）， )1,2(  ，在 x 轴的同侧；例 18 的 A，B 两点坐标分别为（3，2）， )1,2(  ，在 x 轴的同侧。 9. 不等式法 利用基本不等式 abc3cba,ab2ba 3 )Rc,b,a(  ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积 为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例 19. 求函数 4)xcos 1x(cos)xsin 1x(siny 22  的值域。 解：原函数变形为： 5 2xcotxtan3 xcotxtan3 xsecxces1 xcos 1 xsin 1)xcosx(siny 223 22 22 22 22      当且仅当 xcotxtan  即当 4kx  时 )zk(  ，等号成立 故原函数的值域为： ),5[  例 20. 求函数 x2sinxsin2y  的值域。 解： xcosxsinxsin4y  xcosxsin4 2 27 64 ]3/)xsin22xsinx[(sin8 )xsin22(xsinxsin8 xcosxsin16y 3222 222 24     当且仅当 xsin22xsin 22  ，即当 3 2xsin 2  时，等号成立。 由 27 64y2  可得： 9 38y9 38  故原函数的值域为：         9 38,9 38 10. 一一映射法 原理：因为 )0c(dcx baxy   在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另 一个变量范围。 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 8 例 21. 求函数 1x2 x31y   的值域。 解：∵定义域为    2 1x2 1x|x 或 由 1x2 x31y   得 3y2 y1x   故 2 1 3y2 y1x   或 2 1 3y2 y1x   解得 2 3y2 3y  或 故函数的值域为            ,2 3 2 3,  11. 多种方法综合运用 例 22. 求函数 3x 2xy   的值域。 解：令 )0t(2xt  ，则 1t3x 2  （1）当 0t  时， 2 1 t 1t 1 1t ty 2      ，当且仅当 t=1，即 1x  时取等号，所以 2 1y0  （2）当 t=0 时，y=0。 综上所述，函数的值域为：     2 1,0 注：先换元，后用不等式法 例 23. 求函数 42 432 xx21 xxx2x1y   的值域。 解： 42 3 42 42 xx21 xx xx21 xx21y     2 2 2 2 x1 x x1 x1          令 2tanx  ，则         2 2 2 2 cos x1 x1   sin2 1 x1 x 2 1sin2 1sinsin2 1cosy 22  16 17 4 1sin 2       ∴当 4 1sin  时， 16 17y max  当 1sin  时， 2y min  此时 2tan  都存在，故函数的值域为     16 17,2 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 sin 的有界性。 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 9 直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 复合函数 一、复合函数的概念 如果 y 是 u 的函数，而 u 是 x 的函数，即 y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么 y 关于 x 的函数 y = f [g ( x ) ]叫做函数 f 与 g 的 复合函数，u 叫做中间变量。 注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构， 将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。 另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当 g ( x )的值域与 f ( u )的定义域的 交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。 例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 2 可以拆成 y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成 f ( u ) = u2 与 g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。 二、求复合函数的定义域： （1）若 f(x)的定义域为 a ≤ x ≤ b,则 f [ g ( x ) ] 中的 a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得 x 的范围，即为 f [g ( x )]的定义 域。 例 1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求 f ( 2x + 1 )的定义域。 答案： [-1/2 ，0 ] 例 2、已知 f ( x )的定义域为（0，1），求 f ( x 2)的定义域。 答案： [-1 ，1] （2）若 f [ g ( x ) ]的定义域为（m , n）则由 m < x < n 确定出 g ( x )的范围即为 f ( x )的定义域。 例 3、已知函数 f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求 f ( x ) 的定义域。 答案： [ 1 ，3] （3）由 f [ g ( x ) ] 的定义域，求得 f ( x )的定义域后，再求 f [ h ( x ) ]的定义域。 例 4、已知 f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求 f ( 2x 2 – 2 ) 的定义域。 答案：[-√3/2 ，-√3]∪[√3/2 ，√3] 三、求复合函数的解析式。 1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例 1 设 )(xf 是一次函数，且 34)]([  xxff ，求 )(xf 解：设 baxxf )( )0( a ，则 babxabbaxabxafxff  2)()()]([       3 42 bab a            3 2 1 2 b a b a 　或　　 32)(12)(  xxfxxf 　　或　　 2、 配凑法：已知复合函数 [ ( )]f g x 的表达式，求 ( )f x 的解析式， [ ( )]f g x 的表达式容易配成 ( )g x 的运算形式时， 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 10 常用配凑法。但要注意所求函数 ( )f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 ( )g x 的值域。 例 2 已知 2 2 1)1( x xxxf  )0( x ，求 ( )f x 的解析式 解： 2)1()1( 2  xxxxf ， 21  xx 2)( 2  xxf )2( x 3、换元法：已知复合函数 [ ( )]f g x 的表达式时，还可以用换元法求 ( )f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的 定义域的变化。 例 3 已知 xxxf 2)1(  ，求 )1( xf 解：令 1 xt ，则 1t ， 2)1(  tx  xxxf 2)1(   ,1)1(2)1()( 22  ttttf 1)( 2  xxf )1( x xxxxf 21)1()1( 22  )0( x 复合函数单调性相关定理 1、引理 1 已知函数 y=f［g(x)］.若 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是 增函数，那么，原复合函数 y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数 证 明 在区间(a,b)内任取两个数 x1,x2，使 a＜x1＜x2＜b. 因为 u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以 g(x1)＜g(x2),记 u1=g(x1),u2=g(x2)即 u1＜u2,且 u1,u2∈(c,d). 因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以 f(u1)＜f(u2),即 f［g(x1)］＜f［f(x2)］， 故函数 y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. 2、引理 2 已知函数 y=f［g(x)］.若 u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数 y=f(u)在区间(c,d) 上是减函数，那么，复合函数 y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数. 证明 在区间(a,b)内任取两个数 x1,x2，使 a＜x1＜x2＜b. 因为函数 u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以 g(x1)＞g(x2),记 u1=g(x1),u2=g(x2)即 u1＞u2,且 u1,u2∈(c,d). 因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以 f(u1)＜f(u2),即 f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数 y=f［g(x)］ 在区间(a,b)上是增函数. 3、总结 同增异减 函数奇偶性的判定方法 1．定义域判定法 例 1 判定 ( ) ( 1) 2f x x x   的奇偶性．（非奇非偶） 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 11 2．定义判定法 f(x)与 f（-x）关系 例 2 判断 ( )f x x a x a    的奇偶性．（偶） 3．等价形式判定法 例 3 判定 2 2 1 1( ) 1 1 x xf x x x       的奇偶性．（奇） 评注：常用等价变形形式有：若 ( ) ( ) 0f x f x   或 ( ) 1( ) f x f x    ，则 ( )f x 为奇函数；若 ( ) ( ) 0f x f x   或 ( ) 1( ) f x f x   ，则 ( )f x 为偶函数（其中 ( ) 0f x  ）． 4．性质判定法 例 4 若 0a  ，  ( )( )f x x a a  ， 是奇函数， ( )( )g x x R 是偶函数，试判定 ( ) ( ) ( )x f x g x   的奇偶性． 评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数； ②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． 5、练习 （1）.(★★★★)函数 f(x)在 R 上为增函数，则 y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_ (－∞,－1 ] （2）(★★★★★)若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (00.又知 0＜x1＜x,得 x1+x2>0, ∴b=－a(x1+x2)＜0. 2.奇偶性 记 F(x)=f[g(x)]——复合函数，则 F(-x)=f[g(-x)]， 如果 g(x)是奇函数，即 g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]， 则当 f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数； 当 f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。 如果 g(x)是偶函数，即 g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。 所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数； 当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函 数时，复合函数是偶函数。 在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。 二 加减函数 1.增减性 对于 F(x)=g(x)+f(x) ，增+增=增 ，减+减=减， 减+增则无定则 2.奇偶性 对于 F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇=奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶无定则 三 相乘函数 1.增减性 对于 F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆无定则.知道你会不信 ,很好 ,我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数,而 F(x)=x^2,有增有减. 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 12 2.奇偶性 对于 F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去,不然没人听的懂). 即 奇*偶=奇 ,偶* 偶=偶 ,奇*奇=偶 除法就不用说了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成 F(x)=g(x)[1/f(x)], 自己推. 指数函数： 定义：函数  y a a ax  0 1且 叫指数函数。 定义域为 R，底数是常数，指数是自变量。 要求函数 y a x 中的 a 必须 a a 0 1且 。因为若 a  0时，  y x 4 ，当 x  1 4 时，函数值不存在。 a  0 ， y x 0 ，当 x  0，函数值不存在。 a  1时， y x 1 对一切 x 虽有意义，函数值恒为 1，但 y x 1 的反函数不存在， 因为要求函数 y a x 中的 a a 0 1且 。 1、对三个指数函数 y y yx x x      2 1 2 10， ， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于 x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有 a x  0 ； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论 a 取任何正数， x  0 时， y  1； （3） y yx x 2 10， 在第一象限内的纵坐 标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， y x     1 2 的图象正好相反； （3）当 a  1时， x a x a x x        0 1 0 1 ，则 ，则 当 0 1 a 时， x a x a x x        0 1 0 1 ，则 ，则 （4） y yx x 2 10， 的图象自左到右逐渐 上升， y x     1 2 的图象逐渐下降。 （4）当 a  1时， y a x 是增函数， 当 0 1 a 时， y a x 是减函数。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如 y x 2 和 y x 10 相交于 ( )0 1， ，当 x  0时， y x 10 的图象 在 y x 2 的图象的上方，当 x  0，刚好相反，故有10 22 2 及10 22 2  。 ② y x 2 与 y x     1 2 的图象关于 y 轴对称。 ③通过 y x 2 ， y x 10 ， y x     1 2 三个函数图象，可以画出任意一个函数 y a x （ a a 0 1且 ）的示意图， 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 13 如 y x 3 的图象，一定位于 y x 2 和 y x 10 两个图象的中间，且过点 ( )0 1， ，从而 y x     1 3 也由关于 y 轴的对称 性，可得 y x     1 3 的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果 a N a ab   ( )0 1且 ，那么数 b 就叫做以 a 为底的对数，记作b Na log （a 是底数，N 是真数， loga N 是对数式。） 由于 N ab  0 故 loga N 中 N 必须大于 0。 当 N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求 log .0 32 5 2 4       解：设 log .0 32 5 2 4        x 则 即 ∴ 即 0 32 5 2 4 8 25 8 25 1 2 5 2 4 1 2 1 2 0 32 . log . x x x                      评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求 3 5x  中的 x ，化为对数式 x  log3 5即成。 （2）对数恒等式： 由 a N b Nb a ( ) log ( )1 2 将（2）代入（1）得 a Na Nlog  运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： 3 1 3 2 log 解：原式         3 1 3 1 2 2 2 21 3 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1 的对数是零； ③底数的对数等于 1。 （4）对数的运算法则： ①    log log loga a aMN M N M N R   ， ②  log log loga a a M N M N M N R   ， ③    log loga n aN n N N R   ④  log loga n aN n N N R  1 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 14 3、对数函数： 定 义 ： 指 数 函 数 y a a ax  ( )0 1且 的 反 函 数 y xa log x  ( , )0 叫做对数函数。 1、对三个对数函数 y x y x log log2 1 2 ， ， y x lg 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于 y 轴右侧； （1）定义域：R+，值或：R； （2）图象都过点（1，0）； （2） x  1时， y  0 。即 loga 1 0 ； （3）y x log2 ，y x lg 当 x  1时，图象 在 x 轴上方，当 0 0 x 时，图象在 x 轴下 方， y x log 1 2 与上述情况刚好相反； （3）当 a  1 时，若 x  1 ，则 y  0 ，若 0 1 x ，则 y  0 ； 当 0 1 a 时 ， 若 x  0 ， 则 y  0 ， 若 0 1 x 时，则 y  0 ； （4）y x y x log lg2 ， 从左向右图象是上 升，而 y x log 1 2 从左向右图象是下降。 （4） a  1时， y xa log 是增函数； 0 1 a 时， y xa log 是减函数。 对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）： （1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是 y x log2 与 y x lg 在点（1,0）曲线是交叉的，即当 x  0时， y x log2 的图象在 y x lg 的图象上方；而 0 1 x 时， y x log2 的图象在 y x lg 的图象的下方，故有： log . lg .2 15 15 ； log . lg .2 01 01 。 （2） y x log2 的图象与 y x log 1 2 的图象关于 x 轴对称。 （3）通过 y x log2 ，y x lg ，y x log 1 2 三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作 y x log3 的图象，它一定位于 y x log2 和 y x lg 两个图象的中间，且过点（1,0）， x  0时，在 y x lg 的上方，而位于 y x log2 的下方， 0 1 x 时，刚好相反，则对称性，可知 y x log 1 3 的示意图。 因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 4、对数换底公式： log log log log ( . ) log b a a n e g N N b L N N e N L N N     其中 … 称为 的自然对数 称为常数对数 2 71828 10 由换底公式可得： L N N e N Nn   lg lg lg . . lg04343 2 303 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 15 由换底公式推出一些常用的结论： （1） log log log loga b a bb a b a 1 1或 · （2） log loga m an b m n b （3） log loga n an b b （4） loga m n a m n  5、指数方程与对数方程* 定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。 指数方程的题型与解法： 名称 题型 解法 基本型 同底数型 不同底数型 需代换型  a bf x  a af x x( ) ( )     a bf x x   F a x  0 取以 a 为底的对数  f x ba log 取以 a 为底的对数    f x x  取同底的对数化为    f x a x b· ·lg lg  换元令 t a x 转化为 t 的代数方程 对数方程的题型与解法： 名称 题型 解法 基本题  loga f x b 对数式转化为指数式  f x ab 同底数型    log loga af x x  转化为    f x x  （必须验根） 需代换型 F a x(log )  0 换元令 t xa log 转化为代数方程 幂函数的图像与性质 一、幂函数的定义 一般地，形如 y x （ xR）的函数称为幂孙函数，其中 x 是自变量， 是常数.如 1 1 2 3 4, ,y x y x y x     等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 分数指数幂 正分数指数幂的意义是： m n mna a （ 0a  ， m 、 n N ，且 1n  ） 负分数指数幂的意义是： 1m n n m a a   （ 0a  ， m 、 n N ，且 1n  ） 1、 幂函数的图像与性质 幂函数 ny x 随着 n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握 ny x ，当 1 12 , 1, , , 32 3n     的图像和性质，列表如下． 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 16 从中可以归纳出以下结论： 1 它们都过点 1,1 ，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． 2 1 1, ,1, 2 , 33 2a  时，幂函数图像过原点且在 0 ,   上是增函数． 3 1 , 1, 22a     时，幂函数图像不过原点且在  0 ,   上是减函数． 4 任何两个幂函数最多有三个公共点． ny x 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 1n  O x y O x y O x y 0 1n  O x y O x y O x y 0n  O x y O x y O x y 例 1、 右图为幂函数 y x 在第一象限的图像，则 , , ,a b c d 的大小关系是 （ ） ( )A a b c d   ( )B b a d c   ( )C a b d c   ( )D a d c b   解：取 1 2x  ，由图像可知： 1 1 1 1 2 2 2 2 c d b a                        ， a b d c    ，应 选 ( )C ． 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数 logay x （ a ＞0 且 a ≠1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函 xO y ay x by x cy x 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 17 数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如 y x （ xR）的函数称为幂孙函数，其中 x 是自变量， 是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R； 过点（1，0），即当 x =1， y =0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1） x ＞0 时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上， y x 、 2y x 、 3y x 、 1 2y x 是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x 是减函数。 例 1．已知函数    2 5 31 mf x m m x     ，当 m 为何值时，  f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是 0, 上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1） 2m  或 1m   （2） 1m   （3） 4 5m   （4） 2 5m   （5） 1m   变式训练：已知函数     22 2 3m mf x m m x    ，当 m 为何值时，  f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。 简解： 2 2 0 2 3 0 m m m m       解得：    , 1 3,m    小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 例 2．比较大小： （1） 1 1 2 21.5 ,1.7 （2） 3 3( 1.2) ,( 1.25)  （3） 1 1 25.25 ,5.26 ,5.26   （4） 3 0.5 30.5 ,3 ,log 0.5 解：（1）∵ 1 2y x 在[0, ) 上是增函数，1.5 1.7 ，∴ 1 1 2 21.5 1.7 （2）∵ 3y x 在 R 上是增函数， 1.2 1.25   ，∴ 3 3( 1.2) ( 1.25)   （3）∵ 1y x 在 (0, ) 上是减函数，5.25 5.26 ，∴ 1 15.25 5.26  ； ∵ 5.26xy  是增函数， 1 2   ，∴ 1 25.26 5.26  ； 综上， 1 1 25.25 5.26 5.26    （4）∵ 30 0.5 1  ， 0.53 1 ， 3log 0.5 0 ，∴ 3 0.5 3log 0.5 0.5 3  例 1 求下列函数的单调区间： y=log4(x2－4x+3) 解法一：设 y=log4u,u=x2－4x+3.由 u＞0, u=x2－4x+3， 解得原复合函数的定义域为 x＜1 或 x＞3. 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 18 当 x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3 为减函数，而 y=log4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当 x ∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3 为增函数 y=log4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 解法二：u=x2－4x+3=(x－2)2－1, x＞3 或 x＜1，(复合函数定义域) x＜2 (u 减) 解得 x＜1.所以 x∈(－∞，1)时，函数 u 单调递减. 由于 y=log4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1 的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞， 1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间. u=x2－4x+3=(x－2)2－1, x＞3 或 x＜1，(复合函数定义域) x＞2 (u 增) 解得 x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 例 2 求下列复合函数的单调区间： y=log 3 1 (2x－x2) 解： 设 y=log 3 1 u,u=2x－x2.由 u＞0 u=2x－x2 解得原复合函数的定义域为 0＜x＜2. 由于 y=log 3 1 u 在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数 u=2x－x2 的单调性正好相反. 易知 u=2x－x2=－(x－1)2+1 在 x≤1 时单调增.由 0＜x＜2 （复合函数定义域） x≤1，(u 增) 解得 0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又 u=－(x－1)2+1 在 x≥1 时单调减，由 x＜2， (复合函数定义域) x≥1， (u 减) 解得 1≤x＜2,所以1，2)是原复合函数的单调增区间. 例 3、求 y= 267 xx  的单调区间. 解： 设 y= u ,u=7－6x－x2,由 u≥0, u=7－6x－x2 解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1. 因为 y= u 在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数 u=－x2－6x+7 的单调 性相同. 易知 u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16 在 x≤-3 时单调增加。由 -7≤x≤1,（复合函数定义域） x≤-3,（u 增） 解得-7≤x≤-3.所以-7，3是复合函数的单调增区间. 易知 u=－x2－6x+7=－(x+3)2+16 在 x≥－3 时单调减，由 －7≤x≤1 (复合函数定义域) x≥－3， (u 减) 解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间. 例 4 求 y= 122 )2 1(  xx 的单调区间. 解 ： 设 y= u)2 1( .由 u∈R, u=x2－2x－1,解得原复合函数的定义域为 x∈R. 因为 y= u)2 1( 在定义域 R 内为减函数，所以由引理知，二次函数 u=x2－2x－1 的单调性与复合函数的单调性相反. 易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2 在 x≤1 时单调减，由 x∈R, (复合函数定义域) x≤1， (u 减) 解得 x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间. 真正的价值并不在人生的舞台上,而在我们扮演的角色中。 19 注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复 合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步. 练习 求下列复合函数的单调区间. 1.y=log3(x2－2x);(答：(－∞，0)是单调减区间，(2，+∞)是单调增区间.) 2.y=log 2 1 (x2－3x+2)；(答：(－∞，1)是单调增区间，(2，+∞)是单调减区间.) 3.y= 652  xx ,(答：［2， 2 5 是单调增区间，］［ 2 5 ，3］是单调减区间.) 4.y= x 1 7.0 ;(答：(－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.) 5.y= 232 x ;(答(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间) 6.y= 3)3 1( x ,(答(－∞，+∞)为单调减区间.) 7.y= x2log3 ；(答：(0，+∞)为单调减区间.) 8.y= )4(1log 2xx  ；(答：(0，2)为单调减区间，(2，4)为单调增区间.) 9.y= 4 2 6xx  ；(答：(0，3)为单调减区间，(3，6)为单调增区间.) 10.y= 227 xx ；(答(－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.)