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- 2021-07-01 发布
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1.(2013·陕西高考改编)设a,b∈R,|a-b|>2,求关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集.
解:∵|x-a|+|x-b|≥|a-b|>2,∴|x-a|+|x-b|>2恒成立,则解集为R.
2.若x>0,y>0,且x+2y=1,求+的取值范围.
解:依题意得+=(x+2y)=3+≥3+2 =3+2,当且仅当=,即x=-1,y=时取等号,因此+的取值范围是[3+2,+∞).
3.设x,y,z为正数,求证:
2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).
证明:因为x2+y2≥2xy>0,
所以x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)≥xy(x+y),
同理y3+z3≥yz(y+z),z3+x3≥zx(z+x),
三式相加即可得
2(x3+y3+z3)≥xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x),
又因为xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y),
所以2(x3+y3+z3)≥x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).
4.(2013·郑州模拟)已知函数f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)由f(x)≤3得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},
所以解得a=2.
(2)当a=2时,f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5),于是g(x)=|x-2|+|x+3|=
所以当x<-3时,g(x)>5;当-3≤x≤2时,g(x)=5;
当x>2时,g(x)>5.
综上可得,g(x)的最小值为5.
从而若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5].
5.(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
解:(1)当a=-3时,
f(x)=
当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;
当2<x<3时,f(x)≥3无解;
当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.
(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|
⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.
由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[-3,0].
6.(2013·呼和浩特模拟)设f(x)=|x|+2|x-a|(a>0).
(1)当a=1时,解不等式f(x)≤8;
(2)若f(x)≥6恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,|x|+2|x-1|≤8,
∵f(x)=|x|+2|x-1|=
∴或或
解得1≤x≤或0
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