高考数学专题复习练习：考点规范练41 5页

考点规范练41　直线的倾斜角、斜率与直线的方程 ‎　考点规范练A册第32页　 ‎ 基础巩固组 ‎1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a,b满足(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.a+b=1 B.a-b=1‎ C.a+b=0 D.a-b=0‎ 答案D 解析由sin α+cos α=0,得sinαcosα=-1,即tan α=-1.‎ 又因为tan α=-ab,所以-ab=-1.‎ 即a=b,故应选D.‎ ‎2.已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为(　　)‎ A.4 B.‎1‎‎4‎ C.-4 D.-14‎ 答案A 解析∵{an}为等差数列,S5=55,‎ ‎∴a1+a5=22,∴2a3=22,∴a3=11.‎ 又a4=15,∴kPQ=a‎4‎‎-‎a‎3‎‎4-3‎=4.‎ ‎3.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是(　　)‎ A.‎-1,‎‎1‎‎5‎ B.‎-∞,‎‎1‎‎2‎∪(1,+∞)‎ C.(-∞,1)∪‎1‎‎5‎‎,+∞‎ D.(-∞,-1)∪‎‎1‎‎2‎‎,+∞‎ 答案D 解析设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=‎1‎‎2‎,满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪‎1‎‎2‎‎,+∞‎.‎ ‎4.一次函数y=-mnx+‎1‎n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是(　　)‎ A.m>1,且n>1 B.mn>0‎ C.m>0,且n<0 D.m>0,且n>0‎ 答案B 解析因为y=-mnx+‎1‎n经过第一、二、四象限,所以-mn<0,‎1‎n>0,即m>0,n>0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn>0,故选B.‎ ‎5.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(　　)‎ A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0‎ C.2x-y-4=0 D.2x+y-7=0〚导学号74920313〛‎ 答案A 解析易知A(-1,0).‎ ‎∵|PA|=|PB|,∴P在AB的中垂线即x=2上.∴B(5,0).‎ ‎∵PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1.‎ ‎∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.‎ ‎6.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为　　　　　. ‎ 答案16‎ 解析根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为xa‎+‎yb=1,又C(-2,-2)在该直线上,故‎-2‎a‎+‎‎-2‎b=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.‎ 根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4ab,从而ab≤0(舍去)或ab≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号.即ab的最小值为16.‎ ‎7.一条直线经过点A(2,-‎3‎),并且它的倾斜角等于直线y=‎1‎‎3‎x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是　　　　　　　　　　. ‎ 答案‎3‎x-y-3‎3‎=0‎ 解析因为直线y=‎1‎‎3‎x的倾斜角为30°,‎ 所以所求直线的倾斜角为60°,即斜率k=tan 60°=‎3‎.‎ 又该直线过点A(2,-‎3‎),‎ 故所求直线为y-(-‎3‎)=‎3‎(x-2),‎ 即‎3‎x-y-3‎3‎=0.‎ ‎8.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.‎ ‎(1)直线l经过定点P(2,-1);‎ ‎(2)直线l在y轴上的截距为6;‎ ‎(3)直线l与y轴平行;‎ ‎(4)直线l与y轴垂直.‎ 解(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=‎1‎‎7‎.‎ ‎(2)令x=0,得y=‎2m-6‎‎2m‎2‎+m-1‎,‎ 根据题意可知‎2m-6‎‎2m‎2‎+m-1‎=6,‎ 解得m=-‎1‎‎3‎或m=0.‎ ‎(3)直线与y轴平行,则有m‎2‎‎-2m-3≠0,‎‎2m‎2‎+m-1=0,‎解得m=‎1‎‎2‎.‎ ‎(4)直线与y轴垂直,则有m‎2‎‎-2m-3=0,‎‎2m‎2‎+m-1≠0,‎解得m=3.‎ ‎9.‎ 已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的方程.‎ 解∵点B在直线l2:2x+y-8=0上,‎ ‎∴可设点B的坐标为(a,8-2a).‎ ‎∵点P(0,1)是线段AB的中点,‎ ‎∴点A的坐标为(-a,2a-6).‎ 又点A在直线l1:x-3y+10=0上,‎ ‎∴将A(-a,2a-6)代入直线l1的方程,‎ 得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.‎ ‎∴点B的坐标是(4,0).‎ 因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的方程为x‎4‎‎+‎y‎1‎=1,即x+4y-4=0.‎ 能力提升组 ‎10.若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是(　　)‎ A.2 B.2‎2‎ C.4 D.2‎3‎〚导学号74920314〛‎ 答案C 解析(方法一)因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0.‎ 欲求m2+n2的最小值可先求‎(m-0‎)‎‎2‎+(n-0‎‎)‎‎2‎的最小值.‎ 而‎(m-0‎)‎‎2‎+(n-0‎‎)‎‎2‎表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图.‎ 当过原点和点(m,n)的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离最小,最小值为2.‎ 故m2+n2的最小值为4.‎ ‎(方法二)由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于A‎5‎‎2‎‎,0‎,B‎0,‎‎10‎‎3‎,‎ 在Rt△OAB中,OA=‎5‎‎2‎,OB=‎10‎‎3‎,斜边AB=‎5‎‎2‎‎2‎‎+‎‎10‎‎3‎‎2‎‎=‎‎25‎‎6‎,斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根,∴S△OAB=‎1‎‎2‎·OA·OB=‎1‎‎2‎AB·h,‎ ‎∴h=OA·OBAB‎=‎‎5‎‎2‎‎×‎‎10‎‎3‎‎25‎‎6‎=2,‎ ‎∴m2+n2的最小值为h2=4.‎ ‎11.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为(　　)‎ A.1 B.2 C.4 D.8〚导学号74920315〛‎ 答案C 解析∵直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),‎ ‎∴a+b=ab,即‎1‎a‎+‎‎1‎b=1,‎ ‎∴直线在x轴、y轴上的截距之和a+b=(a+b)‎1‎a‎+‎‎1‎b=2+ba‎+‎ab≥2+2ba‎·‎ab=4,‎ 当且仅当a=b=2时等号成立.‎ ‎∴该直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为4.‎ ‎12.已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,求直线l的方程.‎ 解设直线l的斜率为k,则k<0,‎ 直线l的方程为y-1=k(x-1),‎ 则A‎1-‎1‎k,0‎,B(0,1-k),‎ 所以|MA|2+|MB|2=‎1-1+‎‎1‎k‎2‎+12+12+(1-1+k)2‎ ‎=2+k2+‎1‎k‎2‎≥2+2k‎2‎‎·‎‎1‎k‎2‎=4,‎ 当且仅当k2=‎1‎k‎2‎,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.〚导学号74920316〛‎ 高考预测 ‎13.过点A(1,4)引一条直线l,它与x轴,y轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0,b),当a+b取得最小值时,求直线l的方程.‎ 解(方法一)由题意,设直线l:y-4=k(x-1),且k<0,‎ 则a=1-‎4‎k,b=4-k.‎ 故a+b=5+‎-‎4‎k-k≥5+4=9,‎ 当且仅当k=-2时等号成立.‎ 此时直线l的方程为y=-2x+6.‎ ‎(方法二)设l:xa‎+‎yb=1(a>0,b>0).‎ 由于l经过点A(1,4),故‎1‎a‎+‎‎4‎b=1,‎ 则a+b=(a+b)·‎1‎a‎+‎‎4‎b=5+‎4ab‎+‎ba≥9,‎ 当且仅当‎4ab‎=‎ba,即b=2a时等号成立,此时a=3,b=6.‎ 故所求直线l的方程为x‎3‎‎+‎y‎6‎=1,‎ 即y=-2x+6.〚导学号74920317〛‎