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  • 2021-07-01 发布

2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3

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第 2 课时 函数的最大值、最小值 必备知识 · 自主学习  函数的最大值和最小值 (1) 定义: 前 提 设函数 y=f(x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M(m) 条 件 ①∀x∈I ,都有 ________ ②∃x 0 ∈I ,使得 _______ ①∀x∈I ,都有 ________ ②∃x 0 ∈I ,使得 _______ 结 论 称 M 是函数 y=f(x) 的最大值 称 m 是函数 y=f(x) 的最小值 f(x)≤M f(x)≥m f(x 0 )=M f(x 0 )=m (2) 本质:函数图象上最高点的纵坐标即为最大值;最低点的纵坐标即为最小值 . (3) 应用:求函数的值域,参数的范围,解决实际问题 . 【 思考 】 函数 f(x)=-x 2 的定义域为 R ,存在实数 1 ,∀ x∈R ,都有 f(x)≤1. 那么 1 是函数 f(x)=-x 2 的最大值吗?为什么? 提示: 不是 . 因为不存在 x 0 ∈R ,使得 f(x 0 )= =1. 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”,错的打“ ×”) (1) 任何函数都有最大值、最小值 . (    ) (2) 如果一个函数有最大值,那么最大值是唯一的 . (    ) (3) 如果一个函数 f(x) 在区间 [a , b] 上单调递减,那么函数的最大值是 f(b). (    ) 提示: (1)×. 如函数 y= 既没有最大值,也没有最小值 . (2)√. 函数的最大值是唯一的 . (3)×. 最大值为 f(a). 2. 函数 f(x)=x 2 -3x(|x|<1) (    ) A. 有最大值,但无最小值 B. 有最大值,也有最小值 C. 无最大值,但有最小值 D. 既无最大值,也无最小值 【 解析 】 选 D.f(x)=x 2 -3x 是开口向上的抛物线,其对称轴方程为 x= , 则函数 f(x) 在 (-1 , 1) 上单调递减,所以函数 f(x)=x 2 -3x(|x|<1) 既无最大值, 也无最小值 . 3.( 教材二次开发:练习改编 ) 函数 y= 在区间 [2 , 6] 上的最大值、最小值分 别是 (    ) 【 解析 】 选 A. 因为 y= 在 [2 , 6] 上单调递减, 所以当 x=2 时取最大值 y=1 ; 当 x=6 时取最小值 y= . 关键能力 · 合作学习 类型一 利用函数的图象求函数的最值 ( 直观想象 ) 【 题组训练 】 1. 函数 f(x) 在区间 [-2 , 5] 上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是 (    ) A.-2 , f(2) B.2 , f(2) C.-2 , f(5) D.2 , f(5) 2. 已知函数 f(x)= 则 f(x) 的最大值、最小值分别为 _______ , _______.  3.(2020· 汉中高一检测 ) 已知函数 f(x)= (1) 在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x) 的图象 . (2) 由图象指出当 x 取什么值时 f(x) 有最值 . 【 解析 】 1. 选 C. 由函数的图象可知,最小值为 -2 ,最大值为 f(5). 2. 作出函数 f(x) 的图象 ( 如图 ). 由图象可知,当 x=±1 时, f(x) 取最大值为 f(±1)=1 ; 当 x=0 时, f(x) 取最小值 f(0)=0 , 故 f(x) 的最大值为 1 ,最小值为 0. 答案: 1   0 3.(1) 由题意知,当 x∈[-1 , 2] 时, f(x)=-x 2 +3 ,为二次函数的一部分; 当 x∈(2 , 5] 时, f(x)=x-3 ,为一次函数的一部分; 所以,函数 f(x) 的图象如图所示: (2) 由图象可知,当 x=0 时 f(x) 有最大值 3 ; 当 x=2 时, f(x) min =-1. 【 解题策略 】 图象法求最值的步骤 【 补偿训练 】 已知函数 f(x)= 求函数 f(x) 的最大值、最小值 . 【 解析 】 作出 f(x) 的图象如图:由图象可知, 当 x=2 时, f(x) 取最大值为 2 ; 当 x= 时, f(x) 取最小值为 . 所以 f(x) 的最大值为 2 ,最小值为 . 类型二 利用单调性求函数的最值 ( 数学运算 ) 【 典例 】 (2020· 石嘴山高一检测 ) 已知函数 f(x)= . (1) 用定义证明 f(x) 在区间 [3 , +∞) 上单调递增 . (2) 求该函数在区间 [3 , 5] 上的最大值与最小值 . 四步 内容 理解 题意 条件: f(x)= . 结论: (1) 判断并证明单调性; (2) 求区间 [3 , 5] 上的最值 . 思路 探求 利用定义证明函数的单调性,利用单调性求最值 . 【 解题策略 】 1. 利用单调性求函数的最大 ( 小 ) 值的一般步骤 (1) 判断函数的单调性 . (2) 利用单调性求出最大 ( 小 ) 值 . 2. 函数的最大 ( 小 ) 值与单调性的关系 (1) 若函数 f(x) 在区间 [a , b] 上单调递增 ( 减 ) ,则 f(x) 在区间 [a , b] 上的最小 ( 大 ) 值是 f(a) ,最大 ( 小 ) 值是 f(b). (2) 若函数 f(x) 在区间 [a , b] 上单调递增 ( 减 ) ,在区间 [b , c] 上单调递减 ( 增 ) ,则 f(x) 在区间 [a , c] 上的最大 ( 小 ) 值是 f(b) ,最小 ( 大 ) 值是 f(a) 与 f(c) 中较小 ( 大 ) 的一个 . 【 跟踪训练 】 设函数 f(x)= . (1) 判断函数 f(x) 在 (0 , +∞) 上的单调性并用定义加以证明 . (2) 求函数 f(x) 在区间 [2 , 5] 上的最大值与最小值 . 【 解析 】 (1) 函数 f(x) 在 (0 , +∞) 上单调递增,证明如下: ∀ x 1 , x 2 ∈(0 , +∞) ,且 x 1 0 , 所以 f(x 1 )-f(x 2 )<0 ,即 f(x 1 )1 时, f(x) max =f(0)=1 , 所以 f(x) max =  角度 4  实际应用问题  【 典例 】 (2020· 丰台高一检测 ) 由历年市场行情知,从 11 月 1 日起的 30 天内, 某商品每件的销售价格 P( 元 ) 与时间 t( 天 ) 的函数关系是 P= 日销售量 Q( 件 ) 与时间 t( 天 ) 的函数关系是 Q=-t+40(t≤30 , t∈N * ). (1) 设该商品的日销售额为 y 元,请写出 y 与 t 的函数关系式 . (2) 求该商品的日销售额的最大值,并指出哪一天的销售额最大? 【 思路导引 】 (1) 根据商品的日销售额 = 该商品每件的销售价格 × 日销售量列出关系式 . (2) 利用函数的最值解题 . 【 解析 】 (1) 当 t<25 , t∈N * 时, y=(t+20)(-t+40)=-t 2 +20t+800 , 当 25≤t≤30 , t∈N * 时, y=45(-t+40)=-45t+1 800. 所以 y= (2) 当 01) 上的最小值是 ,则 b=_____.  【 解析 】 因为 f(x) 在 [1 , b] 上单调递减, 所以 f(x) 在 [1 , b] 上的最小值为 f(b)= 所以 b=4. 答案: 4