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- 2021-07-01 发布
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第
2
课时 函数的最大值、最小值
必备知识
·
自主学习
函数的最大值和最小值
(1)
定义:
前
提
设函数
y=f(x)
的定义域为
I
,如果存在实数
M(m)
条
件
①∀x∈I
,都有
________
②∃x
0
∈I
,使得
_______
①∀x∈I
,都有
________
②∃x
0
∈I
,使得
_______
结
论
称
M
是函数
y=f(x)
的最大值
称
m
是函数
y=f(x)
的最小值
f(x)≤M
f(x)≥m
f(x
0
)=M
f(x
0
)=m
(2)
本质:函数图象上最高点的纵坐标即为最大值;最低点的纵坐标即为最小值
.
(3)
应用:求函数的值域,参数的范围,解决实际问题
.
【
思考
】
函数
f(x)=-x
2
的定义域为
R
,存在实数
1
,∀
x∈R
,都有
f(x)≤1.
那么
1
是函数
f(x)=-x
2
的最大值吗?为什么?
提示:
不是
.
因为不存在
x
0
∈R
,使得
f(x
0
)= =1.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”,错的打“
×”)
(1)
任何函数都有最大值、最小值
. (
)
(2)
如果一个函数有最大值,那么最大值是唯一的
. (
)
(3)
如果一个函数
f(x)
在区间
[a
,
b]
上单调递减,那么函数的最大值是
f(b).
(
)
提示:
(1)×.
如函数
y=
既没有最大值,也没有最小值
.
(2)√.
函数的最大值是唯一的
.
(3)×.
最大值为
f(a).
2.
函数
f(x)=x
2
-3x(|x|<1) (
)
A.
有最大值,但无最小值
B.
有最大值,也有最小值
C.
无最大值,但有最小值
D.
既无最大值,也无最小值
【
解析
】
选
D.f(x)=x
2
-3x
是开口向上的抛物线,其对称轴方程为
x=
,
则函数
f(x)
在
(-1
,
1)
上单调递减,所以函数
f(x)=x
2
-3x(|x|<1)
既无最大值,
也无最小值
.
3.(
教材二次开发:练习改编
)
函数
y=
在区间
[2
,
6]
上的最大值、最小值分
别是
(
)
【
解析
】
选
A.
因为
y=
在
[2
,
6]
上单调递减,
所以当
x=2
时取最大值
y=1
;
当
x=6
时取最小值
y= .
关键能力
·
合作学习
类型一 利用函数的图象求函数的最值
(
直观想象
)
【
题组训练
】
1.
函数
f(x)
在区间
[-2
,
5]
上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是
(
)
A.-2
,
f(2) B.2
,
f(2)
C.-2
,
f(5) D.2
,
f(5)
2.
已知函数
f(x)=
则
f(x)
的最大值、最小值分别为
_______
,
_______.
3.(2020·
汉中高一检测
)
已知函数
f(x)=
(1)
在如图所示给定的直角坐标系内画出
f(x)
的图象
.
(2)
由图象指出当
x
取什么值时
f(x)
有最值
.
【
解析
】
1.
选
C.
由函数的图象可知,最小值为
-2
,最大值为
f(5).
2.
作出函数
f(x)
的图象
(
如图
).
由图象可知,当
x=±1
时,
f(x)
取最大值为
f(±1)=1
;
当
x=0
时,
f(x)
取最小值
f(0)=0
,
故
f(x)
的最大值为
1
,最小值为
0.
答案:
1
0
3.(1)
由题意知,当
x∈[-1
,
2]
时,
f(x)=-x
2
+3
,为二次函数的一部分;
当
x∈(2
,
5]
时,
f(x)=x-3
,为一次函数的一部分;
所以,函数
f(x)
的图象如图所示:
(2)
由图象可知,当
x=0
时
f(x)
有最大值
3
;
当
x=2
时,
f(x)
min
=-1.
【
解题策略
】
图象法求最值的步骤
【
补偿训练
】
已知函数
f(x)=
求函数
f(x)
的最大值、最小值
.
【
解析
】
作出
f(x)
的图象如图:由图象可知,
当
x=2
时,
f(x)
取最大值为
2
;
当
x=
时,
f(x)
取最小值为
.
所以
f(x)
的最大值为
2
,最小值为
.
类型二 利用单调性求函数的最值
(
数学运算
)
【
典例
】
(2020·
石嘴山高一检测
)
已知函数
f(x)= .
(1)
用定义证明
f(x)
在区间
[3
,
+∞)
上单调递增
.
(2)
求该函数在区间
[3
,
5]
上的最大值与最小值
.
四步
内容
理解
题意
条件:
f(x)= .
结论:
(1)
判断并证明单调性;
(2)
求区间
[3
,
5]
上的最值
.
思路
探求
利用定义证明函数的单调性,利用单调性求最值
.
【
解题策略
】
1.
利用单调性求函数的最大
(
小
)
值的一般步骤
(1)
判断函数的单调性
.
(2)
利用单调性求出最大
(
小
)
值
.
2.
函数的最大
(
小
)
值与单调性的关系
(1)
若函数
f(x)
在区间
[a
,
b]
上单调递增
(
减
)
,则
f(x)
在区间
[a
,
b]
上的最小
(
大
)
值是
f(a)
,最大
(
小
)
值是
f(b).
(2)
若函数
f(x)
在区间
[a
,
b]
上单调递增
(
减
)
,在区间
[b
,
c]
上单调递减
(
增
)
,则
f(x)
在区间
[a
,
c]
上的最大
(
小
)
值是
f(b)
,最小
(
大
)
值是
f(a)
与
f(c)
中较小
(
大
)
的一个
.
【
跟踪训练
】
设函数
f(x)= .
(1)
判断函数
f(x)
在
(0
,
+∞)
上的单调性并用定义加以证明
.
(2)
求函数
f(x)
在区间
[2
,
5]
上的最大值与最小值
.
【
解析
】
(1)
函数
f(x)
在
(0
,
+∞)
上单调递增,证明如下:
∀
x
1
,
x
2
∈(0
,
+∞)
,且
x
1
0
,
所以
f(x
1
)-f(x
2
)<0
,即
f(x
1
)1
时,
f(x)
max
=f(0)=1
,
所以
f(x)
max
=
角度
4
实际应用问题
【
典例
】
(2020·
丰台高一检测
)
由历年市场行情知,从
11
月
1
日起的
30
天内,
某商品每件的销售价格
P(
元
)
与时间
t(
天
)
的函数关系是
P=
日销售量
Q(
件
)
与时间
t(
天
)
的函数关系是
Q=-t+40(t≤30
,
t∈N
*
).
(1)
设该商品的日销售额为
y
元,请写出
y
与
t
的函数关系式
.
(2)
求该商品的日销售额的最大值,并指出哪一天的销售额最大?
【
思路导引
】
(1)
根据商品的日销售额
=
该商品每件的销售价格
×
日销售量列出关系式
.
(2)
利用函数的最值解题
.
【
解析
】
(1)
当
t<25
,
t∈N
*
时,
y=(t+20)(-t+40)=-t
2
+20t+800
,
当
25≤t≤30
,
t∈N
*
时,
y=45(-t+40)=-45t+1 800.
所以
y=
(2)
当
01)
上的最小值是
,则
b=_____.
【
解析
】
因为
f(x)
在
[1
,
b]
上单调递减,
所以
f(x)
在
[1
,
b]
上的最小值为
f(b)=
所以
b=4.
答案:
4
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