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- 2021-07-01 发布
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第五章 第2节
1.(2020·福州市一模)已知等差数列{an}的公差为1,且a2,a4,a7成等比数列,则an=( )
A.2n+1 B.2n+2
C.n+1 D.n+2
解析:D [等差数列{an}的公差为1,且a2,a4,a7成等比数列,
∴(a1+3)2=(a1+1)(a1+6),解得a1=3.
∴an=3+(n-1)=n+2.]
2.(2020·菏泽市一模)已知在等差数列{an}中,a1=1,a3=2a+1,a5=3a+2,若Sn=a1+a2+…+an,且Sk=66,则k的值为( )
A.9 B.11
C.10 D.12
解析:B [∵在等差数列中,2a3=a1+a5,
∴2(2a+1)=1+3a+2,解得a=1,即a1=1,a3=3,a5=5,
∴公差d=1,
∴Sk=k×1+×1=66,解得k=11或k=-12(舍).]
3.等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前n项和Sn的最大值为( )
A.S7 B.S6
C.S5 D.S4
解析:C [∵∴
∴Sn的最大值为S5.]
4.(2020·丹东市一模)已知数列{an}是公差为3的等差数列,{bn}是公差为5的等差数列,若bn∈N*,则数列{abn}为( )
A.公差为15的等差数列 B.公差为8的等差数列
C.公比为125的等比数列 D.公比为243的等比数列
解析:A [数列{an}是公差为3的等差数列,{bn}是公差为5的等差数列,
∴an=a1+3(n-1),bn=b1+5(n-1),
abn=a1+3(bn-1)=a1+3[b1+5(n-1)-1]=a1+3b1-3+15(n-1),
∴数列{abn}为公差是15的等差数列.]
5.(2020·唐山市模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=22,则a3+a7+a8等于( )
A.18 B.12
C.9 D.6
解析:D [由题意得S11===22,即a1+5d=2,所以a3+a7+a8=a1+2d+a1+6d+a1+7d=3(a1+5d)=6,故选D.]
6.(2020·玉溪市模拟)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n的值是 ________ .
解析:设等差数列公差为d,则有,
解得a1=39,d=-2.
∴a20=39-2×19=1>0,a21=39-2×20=-1<0
∴数列的前20项为正,
∴当n=20时,Sn达到最大值.
答案:20
7.(2020·郑州市模拟)《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为今有女子善织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布.若第一天织5尺布,现在一个月(按30天计)共织390尺布,则该女最后一天织 ________ 尺布.
解析:由题意得,织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列,设为{an},其中a1=5,前30项和为390,于是有=390,解得a30=21,即该织女最后一天织21尺布.
答案:21
8.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|= ________ .
解析:由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0得n≥5,
∴当n≤5时,an≤0,当n>5时,an>0,
∴|a1|+|a2|+…+|a15|
=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)
=20+110=130.
答案:130
9.等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
解:(1)设数列{an}的公差为d,由题意有解得所以{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知bn=,
当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;
当n=4,5时,2≤<3,bn=2;
当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;
当n=9,10时,4≤<5,bn=4,
所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.
10.已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7.
(1)设函数y=f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列;
(2)设函数y=f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn},求{bn}的前n项和Sn.
解:(1)证明:∵f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7
=[x-(n+1)]2+3n-8,
∴an=3n-8,
∵an+1-an=3(n+1)-8-(3n-8)=3,
∴数列{an}为等差数列.
(2)由题意知,bn=|an|=|3n-8|,
∴当1≤n≤2时,bn=8-3n,
Sn=b1+…+bn==
=;
当n≥3时,bn=3n-8,
Sn=b1+b2+b3+…+bn=5+2+1+…+(3n-8)
=7+=.
∴Sn=
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