2020届高考数学大二轮复习层级二专题三数列第1讲等差数列等比数列课时作业 5页

第1讲 等差数列、等比数列 限时45分钟　满分74分 一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)‎ ‎1．(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)‎ A．an＝2n－5　　　　　　　 B．an＝3n－10‎ C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 解析：A　[设{an}的公差为d，则解得a1＝－3，d＝2.‎ ‎∴an＝－3＋(n－1)·2＝2n－5，‎ Sn＝－3n＋×2＝n2－4n，故选A.]‎ ‎2．(多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　)‎ A．01‎ C．Sn的最大值为S9 D．Tn的最大值为T7‎ 解析：AD　[本题考查等比数列的性质及前n项积的最值．‎ ‎∵a1>1，a7·a8>1，<0，∴a7>1，a8<1，‎ ‎∴01,01，a8<1，∴T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确．故选AD.]‎ ‎3．(2020·银川模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩未一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为(　　)‎ A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤 解析：A　[依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤，故选A.]‎ ‎4．(2020·荆州质检)已知数列{an}满足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a - 5 -‎ ‎7＋a9)等于(　　)‎ A．－3 B．3‎ C．－ D. 解析：A　[∵5an＋1＝25·5an＝52＋an，‎ ‎∴an＋1＝an＋2，‎ ‎∴数列{an}是等差数列，且公差为2.‎ ‎∵a2＋a4＋a6＝9，‎ ‎∴3a4＝9，a4＝3.‎ ‎∴log(a5＋a7＋a9)＝log3a7＝log3(a4＋6)＝log27＝－3.]‎ ‎5．(2020·豫西五校联考)在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，则在，，…，中最大的是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：B　[由于S15＝＝15a8＞0，‎ S16＝＝8(a8＋a9)＜0，‎ 可得a8＞0，a9＜0.‎ ‎ 这样＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，‎ 而0＜S1＜S2＜…＜S8，a1＞a2＞…＞a8＞0，‎ 所以在，，…，中最大的是.‎ 故选B.]‎ ‎6．(2020·洛阳联考)数列{an}是以a为首项，b为公比的等比数列，数列{bn}满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1,2，…)，数列{cn}满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若{cn}为等比数列，则a＋b等于(　　)‎ A. B．3‎ C. D．6‎ 解析：B　[由题意知，当b＝1时，{cn}不是等比数列，‎ 所以b≠1.由an＝abn－1，‎ 得bn＝1＋＝1＋－，‎ - 5 -‎ 则cn＝2＋n－· ‎＝2－＋n＋，‎ 要使{cn}为等比数列，必有 得a＋b＝3.]‎ ‎7．(2020·重庆二调)已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1，将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：B　[因为公比q不为1，所以删去的数不是a1，a4.①若删去a2，则由2a3＝a1＋a4得2a1q2＝a1＋a1q3，又a1≠0，所以2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)．又q≠1，所以q2＝q＋1，又q＞0，得q＝；②若删去a3，则由2a2＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q3，又a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1.又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0，得q＝.‎ 综上所述，q＝，故选B.]‎ 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)‎ ‎8．(2020·资阳诊断)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10值为________．‎ 解析：依题意得an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，bn＝1×2n－1＝2n－1，abn＝bn＋1＝2n－1＋1，因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(20＋1)＋(21＋1)＋…＋(29＋1)＝＋10＝210＋9＝1 033.‎ 答案：1 033‎ ‎9．(2019·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝____________，Sn的最小值为____________．‎ 解析：本题考查等差数列的通项公式、求和公式、等差数列的性质，难度不大，注重重要知识、基础知识、基本运算能力的考查．‎ 等差数列{an}中，S5＝5a3＝－10，得a3＝－2，a2＝－3，公差d＝a3－a2＝1，a5＝a3＋2d＝0，由等差数列{an}的性质得n≤5时，an≤0，n≥6时，an大于0，所以Sn的最小值为S4或S5，即为－10.‎ 答案：(1)0　(2)－10‎ ‎10．(2019·益阳三模)设等差数列{an}的各项均为整数，其公差d≠0，a5＝6，若a3，a5，‎ - 5 -‎ am(m＞5)是公比为q(q＞0)的等比数列，则m的值为________．‎ 解析：由a3am＝a，(6－2d)[6＋(m－5)d]＝36，‎ 得－2d[(m－5)d－3m＋21]＝0‎ ‎∵d≠0，∴(m－5)d－3m＋21＝0，‎ ‎∴d＝＝3－ 由m＞5，m，d∈Z知m－5为6的正约数 ‎∴m－5可取1,2,3,6‎ 当m－5＝1，m＝6时，d＝－3，‎ q＝＝＝，‎ 当m－5＝2，m＝7时，d＝0，不合题意，‎ 当m－5＝3，m＝8时，d＝1，q＝ 当m－5＝6，m＝11时，d＝2，q＝3，故m的值为6,8或11.‎ 答案：6,8或11‎ 三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)‎ ‎11．(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a2＋a3＝5ln 2，‎ ‎∴a1＋d＋a1＋2d＝5ln 2，‎ ‎∵a1＝ln 2，∴d＝ln 2，‎ ‎∵等差数列{an}中an＝a1＋(n－1)d＝nln 2，‎ ‎∴an＝nln 2，n∈N*.‎ ‎(2)由(1)知an＝nln 2，‎ ‎∵ean＝enln 2＝eln2n＝2n，‎ ‎∴{ean}是以2为首项，2为公比的等比数列 ‎∴ea1＋ea2＋…＋ean ‎＝eln 2＋eln 22＋…＋eln 2n ‎＝2＋22＋…＋2n ‎＝ ‎＝2n＋1－2‎ ‎∴所求为ea1＋ea2＋…ean＝2n＋1－2，n∈N*.‎ - 5 -‎ ‎12．(2019·潍坊三模)设数列{an}的各项为正实数，bn＝log2an，若数列{bn}满足b2＝0，bn＋1＝bn＋log2p，其中p为正常数，且p≠1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若p＝2，设数列{cn}对任意的n∈N*，都有c1bn＋c2bn－1＋c3bn－2＋…＋cnb1＝－2n成立，问数列{cn}是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．‎ 解析：(1)因为bn＋1＝bn＋log2p，所以bn＋1－bn＝log2p，‎ 所以数列{bn}是以log2p为公差的等差数列，‎ 又b2＝0，所以bn＝b2＋(n－2)(log2p)＝log2pn－2，‎ 故由bn＝log2an，得an＝2bn＝2log2pn－2＝pn－2.‎ ‎(2)因为p＝2，由(1)得bn＝n－2，‎ 所以c1(n－2)＋c2(n－3)＋c3(n－4)＋…＋cn(－1)＝－2n，①‎ 则c1(n－1)＋c2(n－2)＋c3(n－3)＋…＋cn＋1(－1)＝－2(n＋1)，②‎ 由②－①，得c1＋c2＋c3＋…＋cn－cn＋1＝－2，③‎ 所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＋cn＋1－cn＋2＝－2，④‎ 再由④－③，得2cn＋1＝cn＋2，‎ 即＝2(n∈N*)，‎ 所以当n≥2时，数列{cn}成等比数列，‎ 又由①式，可得c1＝2，c2＝4，则＝2，‎ 所以数列{cn}一定是等比数列，且cn＝2n.‎ - 5 -‎