【数学】江苏省连云港市海头高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题（解析版） 11页

www.ks5u.com 江苏省连云港市海头高级中学2019-2020学年 高一上学期期中考试试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.请把答案填写在答题卡相应位置.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合，，‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎2.函数（，且）恒过定点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 令，得，‎ ‎，‎ 函数的图象经过定点．‎ 故选：D．‎ ‎3.已知幂函数图像经过点，则该幂函数的解析式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设幂函数为，‎ 因为图象经过点，，‎ 解得，函数的解析式，‎ 故选：C．‎ ‎4.设,用二分法求方程在内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】由可知方程的根落在内.‎ 故选：B ‎5.已知是奇函数，当时，当时，等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时，，则．‎ 又是R上的奇函数，所以当时．‎ 故选项A正确．‎ ‎6.函数的增区间是，则的单调增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数是函数向左平移5个单位 函数在区间是增函数 增区间为向左平移5个单位，即增区间为，‎ 故选：B．‎ ‎7.设，，，则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵y=x在定义域上单调递减函数，∴a5＜1=0，‎ y=在定义域上单调递增函数，b1，y=（）x在定义域上单调递减函数，‎ ‎0＜c＝（）0.3＜（）0=1，∴a＜c＜b 故选D．‎ ‎8.若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵loga1＝logaa，‎ 当a＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，‎ 当0＜a＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a，‎ 综上可知a的取值范围是或，‎ 故选C.‎ ‎9.函数在区间和区间上分别有一个零点，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用排除法：‎ 当时，，此时函数只有一个零点1，不合题意，排除D选项，‎ 当时，，此时函数有两个零点，不合题意，排除AC选项，‎ 本题选择B选项.‎ ‎10.已知函数，且，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令g（x）＝，则g（-x）＝，‎ g（x）+ g（-x）=可得其为奇函数，‎ 又y=为奇函数，则f（x）+8为奇函数，‎ 所以f（﹣2）+8+f(2)+8＝0，即10+8+ ‎ 则f（2）＝﹣26，‎ 故选D．‎ ‎11.已知满足对任意，都有成立，那么a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】满足对任意，都有成立，‎ 所以分段函数是减函数，所以：，解得．‎ 故选C．‎ ‎12.设函数，若实数满足，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 可作函数图象如下所示：‎ 因为实数满足，且，由图可知 ‎，‎ 即 ‎，‎ 在定义域上单调递增，且 即 故选：D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置.‎ ‎13.已知函数满足，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于，令，转化为对数式得出，，‎ 即有 故答案为：．‎ ‎14.已知集合，，若，则实数a的取值范围是，‎ 其中________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ 且即 又的取值范围是 故答案为：‎ ‎15.定义域为的函数满足且，则 ‎_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】函数满足，且，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎16.函数是定义域为R的增函数，且的图像经过点和，则不等式的解集为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 的图像经过点和，‎ ‎,‎ 又因为是定义域为R的增函数,‎ ‎，‎ 故答案为: ‎ 三、解答题：请把答案填写在答题卡相应位置.‎ ‎17.计算：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解】由题意，（1）原式；‎ ‎（2）原式.‎ ‎18.已知函数的定义域为M.‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）当时，求的值域.‎ ‎【解】（1）‎ ‎，解得，即，‎ 即函数的定义域.‎ ‎（2）因为，‎ 令，，则，‎ 而上单调递减，上单调递增，‎ 所以，即，‎ 所以值域为.‎ ‎19.某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入万元，甲、乙两种商品分别可获得万元的利润，利润曲线，，如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？‎ ‎【解】（1）由题知，在曲线上，‎ 则，解得，即.‎ 又在曲线上，且，则，‎ 则，所以.‎ ‎（2）设甲投资万元，则乙投资为万元，‎ 投资获得的利润为万元，则 ‎，‎ 令，则.‎ 当，即（万元）时，利润最大为万元，此时（万元），‎ 答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元.‎ ‎20.已知函数是定义在上的奇函数.‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）判断函数在区间上的单调性，并证明；‎ ‎（3）求不等式的解集.‎ ‎【解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，‎ 所以，解得，‎ 此时，由，得定义域为，‎ 而，‎ 则函数是奇函数，‎ 所以满足题意.‎ ‎（2）函数在区间上的单调递增，‎ 下面证明：‎ 任取，且，‎ 则，‎ 而，‎ 因为，且，‎ 所以，,‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 所以函数在区间上的单调递增.‎ ‎（3）因为函数是定义在上奇函数，‎ 所以不等式可化为，‎ 又因为函数在区间上的单调递增，‎ 所以，解得.‎ ‎21.已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足条件f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥mx-3恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【解】（Ⅰ）由f（0）=1得，c=1，‎ 由f（x+1）-f（x）=2x，得a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+c）=2x 化简得，2ax+a+b=2x，所以：2a=2，a+b=1，‎ 可得：a=1，b=-1，c=1，所以f（x）=x2-x+1；‎ ‎（Ⅱ）由题意得，x2-x+1≥mx-3，x∈[0，+∞）恒成立．‎ 即：g（x）=x2-（m+1）x+4≥0，x∈[0，+∞）恒成立．其对称轴x=，‎ 当≤0，即m≤-1时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ g（0）=4＞0，∴m≤-1成立.‎ ‎②当＞0时，满足，计算得：-1＜m≤3‎ 综上所述，实数m的取值范围是（-∞，3]．‎ ‎22.已知二次函数的图象过点（1，13），且函数是偶函数.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）已知,，求函数在[，2]上的最大值和最小值；‎ ‎（3）函数 的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【解】（1）因为函数是偶函数，‎ 所以二次函数的对称轴方程为，故. ‎ 又因为二次函数的图象过点（1，13），所以，故.‎ 因此，的解析式为. ‎ ‎（2） 当时，，‎ 当时，，由此可知=0． ‎ 当，；‎ 当，；‎ 当，； ‎ ‎（3）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，‎ 其中为正整数，为自然数，则，从而，‎ 即. ‎ 注意到43是质数，且，，‎ 所以有解得 ‎ 因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.‎