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- 2021-07-01 发布
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平面向量知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1、向量的概念:
①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
②零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行
③单位向量:模为1个单位长度的向量
④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量
2、向量加法:设,则+==
(1);(2)向量加法满足交换律与结合律;
,但这时必须“首尾相连”.
3、向量的减法: ① 相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量
②向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,③作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)
4、实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ); (Ⅱ)当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反;当时,,方向是任意的
5、两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=
运 算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法
+=
-=
记=(x1,y1),=(x1,y2)
则+=(x1+x2,y1+y2)
-=(x2-x1,y2-y1)
+=
实数与向量
的乘积
=λ
λ∈R
记=(x,y)
则λ=(λx,λy)
两个向量
的数量积
·=||||
cos<,>
记=(x1,y1), =(x2,y2)
则·=x1x2+y1y2
6、平面向量的基本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示:平面内的任一向量可表示成,记作=(x,y)。
2平面向量的坐标运算:
(1) 若,则
(2) 若,则
(3) 若=(x,y),则=(x, y)
(4) 若,则
(5) 若,则
若,则
三.平面向量的数量积
1两个向量的数量积:
已知两个非零向量与,它们的夹角为,则·=︱︱·︱︱cos
叫做与的数量积(或内积) 规定
2向量的投影:︱︱cos=∈R,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影
3数量积的几何意义: ·等于的长度与在方向上的投影的乘积
4向量的模与平方的关系:
5乘法公式成立:
;
6平面向量数量积的运算律:
①交换律成立:
②对实数的结合律成立:
③分配律成立:
特别注意:(1)结合律不成立:;
(2)消去律不成立不能得到
(3)=0不能得到=或=
7两个向量的数量积的坐标运算:
已知两个向量,则·=
8向量的夹角:已知两个非零向量与,作=, =,则∠AOB= ()叫做向量与的夹角
cos==
当且仅当两个非零向量与同方向时,θ=00,当且仅当与反方向时θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
9垂直:如果与的夹角为900则称与垂直,记作⊥
10两个非零向量垂直的充要条件:
⊥·=O平面向量数量积的性质
11.线段的定比分点公式
设点P分有向线段所成的比为λ,即=λ,则
=+ (线段的定比分点的向量公式)
(线段定比分点的坐标公式)
当λ=1时,得中点公式:
=(+)或
12.平移公式
设点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P′(x′,y′),
则=+a或
曲线y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为:y-k=f(x-h)
13.正、余弦定理
正弦定理:
余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,
b2=c2+a2-2cacosB,
c2=a2+b2-2abcosC.