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  • 2021-07-01 发布

高中数学平面向量知识点总结

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平面向量知识点归纳 ‎ 一.向量的基本概念与基本运算 ‎1、向量的概念:‎ ‎①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.‎ ‎②零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行 ‎③单位向量:模为1个单位长度的向量 ‎④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量 ‎ ‎⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 ‎ ‎2、向量加法:设,则+==‎ ‎(1);(2)向量加法满足交换律与结合律;‎ ‎,但这时必须“首尾相连”.‎ ‎3、向量的减法: ① 相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量 ‎②向量减法:向量加上的相反向量叫做与的差,③作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)‎ ‎4、实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下:‎ ‎(Ⅰ); (Ⅱ)当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反;当时,,方向是任意的 ‎5、两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=‎ 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 ‎+=‎ ‎-=‎ 记=(x1,y1),=(x1,y2)‎ 则+=(x1+x2,y1+y2)‎ ‎-=(x2-x1,y2-y1)‎ ‎+=‎ 实数与向量 的乘积 ‎=λ λ∈R 记=(x,y)‎ 则λ=(λx,λy)‎ 两个向量 的数量积 ‎·=||||‎ cos<,>‎ 记=(x1,y1), =(x2,y2)‎ 则·=x1x2+y1y2‎ ‎6、平面向量的基本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:,其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 ‎1平面向量的坐标表示:平面内的任一向量可表示成,记作=(x,y)。 ‎ ‎2平面向量的坐标运算:‎ (1) 若,则 (2) 若,则 (3) 若=(x,y),则=(x, y)‎ (4) 若,则 (5) 若,则 若,则 三.平面向量的数量积 ‎1两个向量的数量积:‎ 已知两个非零向量与,它们的夹角为,则·=︱︱·︱︱cos 叫做与的数量积(或内积) 规定 ‎2向量的投影:︱︱cos=∈R,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影 ‎3数量积的几何意义: ·等于的长度与在方向上的投影的乘积 ‎4向量的模与平方的关系:‎ ‎5乘法公式成立: ‎ ‎;‎ ‎6平面向量数量积的运算律:‎ ‎①交换律成立:‎ ‎②对实数的结合律成立:‎ ‎③分配律成立:‎ 特别注意:(1)结合律不成立:;‎ ‎(2)消去律不成立不能得到 ‎(3)=0不能得到=或=‎ ‎7两个向量的数量积的坐标运算:‎ 已知两个向量,则·=‎ ‎8向量的夹角:已知两个非零向量与,作=, =,则∠AOB= ()叫做向量与的夹角 cos==‎ 当且仅当两个非零向量与同方向时,θ=00,当且仅当与反方向时θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 ‎9垂直:如果与的夹角为900则称与垂直,记作⊥‎ ‎10两个非零向量垂直的充要条件:‎ ‎⊥·=O平面向量数量积的性质 ‎11.线段的定比分点公式 设点P分有向线段所成的比为λ,即=λ,则 ‎=+ (线段的定比分点的向量公式) ‎ (线段定比分点的坐标公式) 当λ=1时,得中点公式: ‎=(+)或 ‎12.平移公式 设点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P′(x′,y′),‎ 则=+a或 曲线y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为:y-k=f(x-h)‎ ‎13.正、余弦定理 正弦定理:‎ 余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC.