2020高中数学 课时分层作业19 空间向量与垂直关系 新人教A版选修2-1 7页

课时分层作业(十九) 空间向量与垂直关系 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　)‎ A．4　　 　B．－‎4　‎　 　C．5　　 　D．－5‎ D　[∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.‎ ‎∴k＝－5.]‎ ‎2．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　)‎ A．，－，4 B．，－，4‎ C．，－2,4 D．4，，－15‎ B　[∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，‎ 又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，‎ 则解得]‎ ‎3．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(　　) ‎ ‎【导学号：46342170】‎ A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥ D　[由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．]‎ ‎4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为(　　)‎ A．(1,1,1)‎ B．(－1，－1，－1)或 C． 7‎ D．(1,1,1)或 D　[设D(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1,0,1)，‎ ＝(－1，1,0)，‎ ＝(0，－1,1)．‎ 又DB⊥AC⇔－x＋z＝0　①，‎ DC⊥AB⇔－x＋y＝0　②，‎ AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2　③，‎ 联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以点D的坐标为(1,1,1)或.故选D．]‎ ‎5.如图3214所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)‎ 图3214‎ A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 B　[建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)，‎ ＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，‎ E，F，‎ ＝，∴·＝0，·＝0，‎ 7‎ ‎∴EF⊥A1D，EF⊥AC．]‎ 二、填空题 ‎6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．‎ ‎①②③　[·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥，则AB⊥AP.·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则⊥，则AP⊥AD．又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．]‎ ‎7．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对. ‎ ‎【导学号：46342171】‎ ‎0　[∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．]‎ ‎8．已知空间三点A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．‎ 　[设M(x，y，z)，∵＝(1，－1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，由题意，得，∴x＝－，y＝，z＝1，∴点M的坐标为.]‎ 三、解答题 ‎9.如图3215，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.‎ 图3215‎ ‎[证明]　以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M.‎ 7‎ 所以＝，＝(0, ，1)，＝(，－，0)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，‎ 则n⊥，n⊥，‎ 所以⇒ 取y＝1，得x＝1，z＝－.‎ 则n＝(1,1，－)．‎ 因为＝.‎ 所以n＝－ ，得n与共线．‎ 所以AM⊥平面BDF.‎ ‎10．如图3216所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．‎ 图3216‎ 求证：平面DEA⊥平面ECA．‎ ‎[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2，‎ 则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．‎ 7‎ 所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)．‎ 分别设平面CEA与平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，‎ 则即 解得 即 解得 不妨取n1＝(1，－，0)，‎ n2＝(，1,2)，‎ 因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2.‎ 所以平面DEA⊥平面ECA．‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是(　　)‎ A．－3　 B．‎6　‎　　C．－6　　　D．－12‎ B　[∵μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y,1)分别为α，β的法向量且α⊥β，‎ ‎∴μ⊥v，‎ 即μ·v＝0，‎ ‎－6＋y＋z＝0‎ ‎∴y＋z＝6.]‎ ‎2.如图3217，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B‎1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A‎1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(　　)‎ 图3217‎ A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD D．不存在DQ与平面A1BD垂直 D　[以A1为原点，A1B1，A‎1C1，A‎1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D，P 7‎ ‎(0,2,0)，＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)．假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝，因为也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2,1，－2)与＝共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D．]‎ ‎3.如图3218，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________. 【导学号：46342173】‎ 图3218‎ 垂直　[以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，∴＝，平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)，∵＝－n，‎ ‎∴∥n，‎ ‎∴EF⊥平面PBC．]‎ ‎4．设A是空间任意一点，n是空间任意一个非零向量，则适合条件·n＝0的点M的轨迹是________．‎ 过点A且与向量n垂直的平面　[∵·n＝0，∴⊥n或＝0，∴点M在过点A且与向量n垂直的平面上．]‎ ‎5．如图3219，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD．‎ 7‎ 图3219‎ ‎(1)求证：CD⊥平面PAC；‎ ‎(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．‎ ‎(1)证明：＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，‎ 可得·＝0，·＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD．‎ 又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC．‎ ‎(2)设侧棱PA的中点是E，则E，＝.‎ 设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则因为＝(－1,1,0)，＝(0,2，－1)，所以取x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．‎ 所以n·＝(1,1,2)·＝0，所以n⊥.‎ 因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD．‎ 综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD．‎ 7‎