2019-2020学年高中数学课时跟踪检测十五事件的相互独立性新人教A版选修2-3 5页

课时跟踪检测（十五） 事件的相互独立性 A级——基本能力达标 ‎1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　)‎ A．互斥事件　　　　　 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 解析：选D　根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．故选D.‎ ‎2．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)‎ A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又独立 解析：选C　因为P()＝，所以P(A)＝，又P(B)＝，P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥．‎ ‎3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选A　由题意知P甲＝＝，P乙＝，所以P＝P甲·P乙＝.‎ ‎4．有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是(　　)‎ A．0.56　　 B．‎0.92　‎　　‎ C．0.94　　　 D．0.96‎ 解析：选C　设事件A表示：“甲击中”，事件B表示：“乙击中”．由题意知A，B互相独立．故目标被击中的概率为P＝1－P(·)＝1－P()P()＝1－0.2×0.3＝0.94.‎ ‎5．从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则等于(　　)‎ A．2个球不都是红球的概率 B．2个球都是红球的概率 C．至少有1个红球的概率 5‎ D．2个球中恰好有1个红球的概率 解析：选C　至少有1个红球的概率是×＋×＋×＝.‎ ‎6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．‎ 解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.‎ 答案：0.26‎ ‎7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________.‎ 解析：∵A，B相互独立，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65. P(A|B)＝P(A)＝0.3.‎ 答案：0.65　0.3‎ ‎8．设两个相互独立的事件A，B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率等于B发生A不发生的概率，则事件A发生的概率P(A)＝________.‎ 解析：由已知可得 解得P(A)＝P(B)＝.‎ 答案： ‎9．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.求：‎ ‎(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率．‎ ‎(2)至少有一个气象台预报准确的概率．‎ 解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.显然事件A，B相互独立且P(A)＝，P(B)＝.‎ ‎(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.‎ ‎(2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P＝1－P(AB)＝1－P()P()＝1－×＝.‎ ‎10．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．‎ 5‎ ‎(1)求P(X＝2)；‎ ‎(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．‎ 解：(1)X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．‎ 因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.‎ ‎(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．‎ 因此所求概率为 ‎[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.‎ B级——综合能力提升 ‎1．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为(　　)‎ A．0.12　　　　　　　 B．0.88‎ C．0.28 D．0.42‎ 解析：选D　P＝(1－0.3)(1－0.4)＝0.42.‎ ‎2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选A　设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.‎ ‎3.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是(　　)‎ A. B. C. D． 5‎ 解析：选A　按A→B→C→A的顺序的概率为××＝，按A→C→B→A的顺序的概率为××＝，故跳三次之后停在A叶上的概率为P＝＋＝.‎ ‎4.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选C　记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P()P()[1－P(AB)]＝××＝.∴灯亮的概率为1－＝.‎ ‎5．加工某零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．‎ 解析：加工出来的零件的正品率为××＝，所以次品率为1－＝.‎ 答案： ‎6．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．‎ 解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.‎ 答案：0.128‎ ‎7．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．‎ ‎(1)求该选手被淘汰的概率；‎ ‎(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．‎ 解：记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，‎ 5‎ 则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.‎ ‎(1)法一：该选手被淘汰的概率：‎ P＝P(1∪A12∪A‎1A23∪A‎1A2A34)‎ ‎＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋‎ P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.‎ 法二：P＝1－P(A‎1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)·P(A3)·P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.‎ ‎(2)法一：P＝P(A12∪A‎1A23∪A‎1A2A34)＝P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.‎ 法二：P＝1－P(1)－P(A‎1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.‎ ‎8．某学生语、数、英三科竞赛成绩，排名全班第一的概率为：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中：‎ ‎(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？‎ ‎(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？‎ 解：分别记“该生语、数、英竞赛成绩排名全班第一”为事件A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.‎ ‎(1)该学生三科成绩均未获得第一名的概率 P1＝P( )＝P()P()P()‎ ‎＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]‎ ‎＝0.1×0.2×0.15＝0.003.‎ ‎(2)该学生恰有一科成绩未获得第一名的概率 P2＝P(BC＋A C＋AB )‎ ‎＝P( BC)＋P(A C)＋P(AB )‎ ‎＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()‎ ‎＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]‎ ‎＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329.‎ 5‎