2021届高考数学一轮总复习课时作业57定点定值探究性问题含解析苏教版 6页

课时作业57　定点、定值、探究性问题 ‎1．(2020·昆明市教学检测)已知点M(，0)，P是圆N：(x＋)2＋y2＝16上的一个动点，N为圆心，线段PM的垂直平分线与直线PN的交点为Q.‎ ‎(1)求点Q的轨迹C的方程；‎ ‎(2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y＝kx＋m与C交于A，B两点(l不经过D点)，且AD⊥BD，证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标．‎ 解：(1)圆N的圆心N(－，0)，半径r＝4，‎ 由垂直平分线的性质知|QP|＝|QM|，‎ 故|QM|＋|QN|＝|QP|＋|QN|＝r＝4>|MN|，‎ 由椭圆的定义知，点Q的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆，‎ 设C：＋＝1(a>b>0)，焦距为‎2c，‎ 则‎2a＝4，a＝2，c＝，b＝＝1，‎ 所以C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由已知得D(0,1)，由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋‎4m2‎－4＝0，‎ 当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ y1＋y2＝k(x1＋x2)＋‎2m＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，‎ 由AD⊥BD得·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，即＝0，‎ 所以‎5m2‎－‎2m－3＝0，解得m＝1或m＝－.‎ ‎①当m＝1时，直线l经过点D，不符合题意，舍去．‎ ‎②当m＝－时，显然有Δ>0，直线l经过定点(0，－)．‎ ‎2．(2020·长沙市统考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F‎1F2，且|AF2|＝.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值．‎ 解：(1)由AF2⊥F‎1F2，|AF2|＝，得＝.‎ 6‎ 又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8，‎ 故椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.‎ 直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，所以＝(－2，－3k＋m)，＝(4,3k＋m)，‎ 所以·＝－8＋m2－9k2.‎ 联立得 得(9k2＋8)x2＋18kmx＋‎9m2‎－72＝0.‎ 因为直线l与椭圆C相切，‎ 所以Δ＝(‎18km)2－4(9k2＋8)(‎9m2‎－72)＝0，‎ 化简得m2＝9k2＋8.‎ 所以·＝－8＋m2－9k2＝0，所以⊥，‎ 故∠MF1N为定值.‎ ‎(注：可以先通过k＝0计算出此时∠MF1N＝，再验证一般性结论)‎ ‎3．(2020·洛阳市联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求证：点(m，k)在定圆上．‎ 解：(1)椭圆C的焦距为‎2c，由已知e＝＝，2b＝2，a2＝b2＋c2，得b＝1，a＝2，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得 ‎(4k2＋1)x2＋8kmx＋‎4m2‎－4＝0，‎ 依题意，Δ＝(‎8km)2－4(4k2＋1)(‎4m2‎－4)>0，化简得m2<4k2＋1.①‎ 由根与系数的关系得，‎ x1＋x2＝，x1x2＝，‎ y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，‎ 若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，‎ ‎∴4k2x1x2＋‎4km(x1＋x2)＋‎4m2‎＝5x1x2，‎ 6‎ ‎∴(4k2－5)×＋‎4km·＋‎4m2‎＝0，‎ 即(4k2－5)(m2－1)－8k‎2m2‎＋m2(4k2＋1)＝0，化简得m2＋k2＝.②‎ 由①②得0≤m2<，b>0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B‎1F2B2的面积为2.点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.‎ ‎(1)求椭圆E的长轴A‎1A2的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程．‎ ‎(2)对于(1)中确定的椭圆E，若给定圆F1：(x＋1)2＋y2＝3，则圆P和圆F1的公共弦MN的长是否为定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由．‎ 解：(1)依题意四边形F1B‎1F2B2的面积为2bc，所以2bc＝2.‎ 因为|A‎1A2|＝‎2a＝2≥2＝2，当且仅当b＝c＝1时取“＝”，此时a＝，‎ 所以长轴A‎1A2的长的最小值为2，此时椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设点P(x0，y0)，则＋y＝1⇒y＝1－.‎ 圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝x＋y，即x2＋y2－2x0x－2y0y＝0　①，‎ 圆F1的方程为(x＋1)2＋y2＝3，即x2＋y2＋2x－2＝0　②，‎ ‎①－②得公共弦MN所在直线的方程为(x0＋1)x＋y0y－1＝0，‎ 所以点F1到公共弦MN的距离d＝＝＝＝，‎ 则|MN|＝2＝2，所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2.‎ ‎5．(2020·江西新余月考)已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P(2，)在椭圆C上，且PF⊥x轴．‎ 6‎ ‎(1)求椭圆C的方程．‎ ‎(2)如图，过点F的直线l分别交椭圆C于A，B两点，交直线x＝4于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否构成等差数列？请说明理由．‎ 解：(1)因为点P(2，)在椭圆C上，且PF⊥x轴，所以c＝2.设椭圆C的左焦点为E，则|EF|＝‎2c＝4，|PF|＝.‎ 在Rt△EFP中，|PE|2＝|PF|2＋|EF|2＝18，所以|PE|＝3.所以‎2a＝|PE|＋|PF|＝4，a＝2.‎ b2＝a2－c2＝4，故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意可设直线AB的方程为y＝k(x－2)，‎ 令x＝4得y＝2k，点M的坐标为(4,2k)．‎ 联立 得(2k2＋1)x2－8k2x＋8(k2－1)＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝.①‎ 设直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，‎ 从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.‎ 因为直线AB的方程为y＝k(x－2)，‎ 所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，所以k1＋k2＝＋＝＋－＝2k－·.②‎ 将①代入②得 k1＋k2＝2k－·＝2k－.‎ 又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，‎ 故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．‎ ‎6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，如下图，以椭圆C的右顶点A 6‎ 为圆心的圆与直线y＝x相交于P，Q两点，且·＝0，＝3.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程和圆A的方程．‎ ‎(2)不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，已知直线OM，l，ON的斜率k1，k，k2成等比数列，记以线段OM，线段ON为直径的圆的面积分别为S1，S2，S1＋S2的值是否为定值？若是，求出此值；若不是，说明理由．‎ 解：(1)设T为PQ的中点，连接AT，则AT⊥PQ，‎ 因为·＝0，即AP⊥AQ，所以|AT|＝|PQ|，‎ 又＝3，所以OT＝|PQ|，‎ 所以＝，所以＝.‎ 由已知得c＝，所以a2＝4，b2＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ 因为|AT|2＋|OT|2＝|OA|2，‎ 所以|AT|2＋4|AT|2＝4，‎ 得|AT|＝，所以r＝|AP|＝|AT|＝，‎ 所以圆A的方程为(x－2)2＋y2＝.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 由题设知k2＝k1k2＝＝＝k2＋，‎ 所以km(x1＋x2)＋m2＝0，得＋m2＝0，‎ 6‎ 又m≠0，所以k2＝，‎ 则S1＋S2＝(|OM|2＋|ON|2)＝(x＋y＋x＋y)＝＝(x＋x)＋＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＋＝＋＝[‎4m2‎－4(m2－1)]＋＝π，‎ 故S1＋S2为定值，该定值为π.‎ 6‎