高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-1-1-1　集合的概念 42页

第 1 课时　集合的概念 必备知识 · 自主学习 1. 元素与集合 (1) 集合 导思 1. 什么是元素、集合 ? 2. 元素与集合的关系有哪些 ? 3. 有哪些常见数集 , 分别用什么符号表示 ? (2) 元素 (3) 规定 : 一个集合中的任何两个 元素都 _______. 也就是说 , 集合中的元素没 有 _____. 不相同 重复 【 思考 】 集合中的“元素”所指的就是数学中的数、点、代数式、几何图形吗 ? 请说明理由 . 提示 : 集合中的“元素”所指的范围非常广泛 , 可以是数学中的数、点、代数式、几何图形 , 也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等 . 2. 元素与集合的关系 关系 定义 记法 属于 如果元素 a 在集合 A 中 , 就说元素 a 属于集合 A _____ 不属于 如果元素 a 不在集合 A 中 , 就说元素 a 不属于集合 A ____ a∈A a ∉ A 【 思考 】 元素与集合之间有哪几种关系 ? 提示 : 对于一个元素 a 与一个集合 A 而言 , 只有“ a∈A” 与“ a ∉ A” 这两种结果 . 3. 常见的数集及表示符号 数集 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 正实 数集 符号 __ ______ Z __ R R + N N * 或 N + Q 【 思考 】 　 N 与 N + ( 或 N * ) 有何区别 ? 提示 : N + ( 或 N * ) 是所有正整数组成的集合 , 而 N 是由 0 和所有的正整数组成的集合 , 所以 N 比 N + ( 或 N * ) 多一个元素 0. 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 在一个集合中可以找到两个相同的元素 . ( 　　 ) (2) 高中数学新教材人教 A 版必修第一册课本上的所有难题能组成集合 . ( 　　 ) (3) 由方程 x 2 -4=0 和 x-2=0 的根组成的集合中有 3 个元素 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 集合中的元素是互不相同的 . (2)×. “ 难题 ” 没有严格的标准 , 所以不能构成集合 . (3) ×. 由于集合中的元素具有互异性 , 故由两方程的根组成的集合有 2 个元素 . 2.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 下列关系中 , 正确的个数为 ( 　　 ) ① ∈R.② ∉Q.③|-3|∈N.④- ∈Z. A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 D. 是实数 , 是无理数 ,|-3|=3 是自然数 ,- =-3 是整数 , 故① ②③④均正确 . 3. 已知集合 A 含有三个元素 0,1,x-2, 则实数 x 不能取的值是 _ ___ ____ .  【 解析 】 根据集合中元素的互异性可知 : x-2≠0 且 x-2≠1, 所以实数 x 不能取的值是 2,3. 答案 : 2,3 关键能力 · 合作学习 类型一　元素与集合的相关概念 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 下列每组对象 , 能构成集合的是 ( 　　 ) ① 中国最美的乡村 ; ② 直角坐标系中横、纵坐标相等的点 ; ③ 不小于 3 的自然数 ; ④ 援助湖北抗击新冠肺炎疫情的医护人员 . A.③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 2. 下列研究对象组成的总体 : ① 不超过 50 的正整数 ;② 中国的大城市 ;③ 绝对值最小的实数 ;④ 你班中考成绩在 500 分以上的学生 ;⑤sin 30°,sin 45°,cos 60°,1, 其中为集合的是 ________ .  【 解析 】 1. 选 B.① 中 “ 最美 ” 标准不明确 , 不符合确定性 ,②③④ 中的元素标准明确 , 均可构成集合 . 2.① 不超过 50 的正整数的全体是确定的 , 能构成集合 ; ② 中国的大城市是不确定的 , 不能构成集合 ;③ 绝对值最小的实数是 0, 确定 , 能构成集合 ;④ 你班中考成绩在 500 分以上的学生的全体是确定的 , 能构成集合 ;⑤ 由于 sin 30°=cos 60°, 不满足互异性 , 不能构成集合 . 答案 : ①③④ 【 解题策略 】 判断一组对象能否组成集合的策略 (1) 注意集合中元素的确定性 . 看能否给出一个明确的标准 , 使得对于任何一个对象 , 都能按此标准确定它是不是给定集合的元素 , 若具有此“标准” , 就可以组成集合 ; 否则 , 不能组成集合 . (2) 注意集合中元素的互异性、无序性 . 【 补偿训练 】 下列对象能构成集合的是 ( 　　 ) A. 高一年级较胖的学生 B. 鲜艳的颜色 C. 很大的自然数 D. 平面内到△ ABC 三个顶点距离相等的点 【 解析 】 选 D. 由于“较胖”“很大”和“鲜艳”没有一个确定的标准 , 因此 A,B,C 不能构成集合 ; D 中平面内到△ ABC 三个顶点距离相等的点是确定的 , 能构成集合 . 类型二　元素与集合的关系 ( 逻辑推理 ) 【 题组训练 】 1. 下列元素与集合的关系表示正确的是 ( 　　 ) ①0∈N * .② ∉Z.③ ∈Q.④π∈Q. A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 2. 由形如 x=3k+1,k∈Z 的数组成集合 A, 则下列表示正确的是 ( 　　 ) A.-1∈A B.-11∈A C.15∈A D.32∈A 3. 已知集合 A 含有三个元素 2,4,6, 且当 a∈A 时 , 有 6-a∈A, 那么 a 为 ( 　　 ) A.2 B.2 或 4 C.4 D.0 【 解析 】 1. 选 B.①0 不是正整数 , 所以 0∈N * 错误 ; ② 是无理数 , 所以 ∉ Z 正确 ;③ 是有理数 , 所以 ∈ Q 正确 ;④π 是无理数 , 所以 π∈Q 错误 ; 所以表示正确的为②③ . 2. 选 B. 由题干知集合 A 中的数为 3 的整数倍加 1, 选项 A,C,D 均不符合题意 . 因为 -11=3×(-4)+1, 所以 -11∈A. 3. 选 B. 集合 A 含有三个元素 2,4,6, 且当 a∈A 时 , 有 6-a∈A,a=2∈A,6-a=4∈A, 所以 a=2, 或者 a=4∈A,6-a=2∈A, 所以 a=4. 综上所述 ,a=2 或 4. 【 解题策略 】 判断元素和集合关系的两种方法 (1) 直接法 . ① 使用前提 : 集合中的元素是直接给出的 ; ② 判断方法 : 首先明确集合由哪些元素构成 , 然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可 . (2) 推理法 . ① 使用前提 : 对于某些不便直接表示的集合 ; ② 判断方法 : 首先明确已知集合的元素具有什么特征 , 然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可 . 【 补偿训练 】 1. 用符号“∈”或“∉”填空 . - ________ R;-3.14 ________ Q;  -1 ________ N;3 -2 ________ Z.  【 解析 】 根据常见数集的定义和元素与集合间的表示方法可知 , - ∈R;-3.14∈Q;-1∉N;3 -2 ∉Z. 答案 : ∈ 　∈　 ∉ 　 ∉ 2. 由不超过 5 的实数组成集合 A,a= + , 则 ( 　　 ) A.a∈A 　　　　　　 B.a 2 ∈A C. ∉A D.a+1∉A 【 解析 】 选 A.a= + < + =4<5, 所以 a∈A. a+1< + +1=5, 所以 a+1∈A, a 2 =( ) 2 +2 × +( ) 2 =5+2 >5, 所以 a 2 ∉A, = = = - <5, 所以 ∈ A. 类型三　集合中元素的特性的应用 ( 逻辑推理、数学运算 ) 【 典例 】 (2020· 滁州高一检测 ) 设 A 为实数集 , 且满足条件 : 若 a∈A, 则 ∈ A(a≠1). 求证 :(1) 若 2∈A, 则 A 中必还有另外两个元素 . (2) 集合 A 不可能是单元素集 . 【 思路导引 】 (1) 依据 a∈A, 则 ∈ A(a≠1), 求集合 A 中的元素 , 同时注意集 合中元素的互异性 . (2) 转化为判断 a= 是否有实数解 . 【 证明 】 (1) 若 a∈A, 则 ∈ A. 又因为 2∈A, 所以 =-1∈A. 因为 -1∈A, 所以 = ∈A. 因为 ∈ A, 所以 =2∈A. 根据集合中元素的互异性可知 ,A 中另外两个元素为 -1, , 结论得证 . (2) 若 A 为单元素集 , 则 a= , 即 a 2 -a+1=0, 方程无实数解 . 所以 a≠ , 所以集合 A 不可能是单元素集 . 【 变式探究 】 本例前提条件不变 , 求证以下两个问题 : (1) 若 3∈A, 则 A 中必还有另外两个元素 . (2) 若 a∈A, 则 1- ∈A. 【 证明 】 (1) 因为 3∈A, 所以 =- ∈A, 所以 = ∈A, 所以 =3∈A, 根据集合中元素的互异性可知 ,A 中另外两个元素为 - , , 结论得证 . (2) 因为 a∈A, 所以 ∈ A. 因为 = =1- , 所以 a≠1- 且 所以 1- ∈A. 【 解题策略 】 根据集合中元素的特性求值的三个步骤 【 跟踪训练 】 已知 2a∈A,a 2 -a∈A, 若 A 只含这两个元素 , 则下列说法中正确的是 ( 　　 ) A.a 可取全体实数 B.a 可取除去 0 以外的所有实数 C.a 可取除去 3 以外的所有实数 D.a 可取除去 0 和 3 以外的所有实数 【 解析 】 选 D. 因为 2a∈A,a 2 -a∈A, 所以 2a≠a 2 -a. 所以 a(a-3)≠0. 所以 a≠0 且 a≠3. 【 补偿训练 】 已知集合 A 含有两个元素 a-3 和 2a-1, (1) 若 -3∈A, 试求实数 a 的值 . (2) 若 a∈A, 试求实数 a 的值 . 【 解析 】 (1) 因为 -3∈A, 所以 a-3=-3 或 2a-1=-3. 若 a-3=-3, 则 a=0. 此时集合 A 含有两个元素 -3,-1, 符合题意 . 若 2a-1=-3, 则 a=-1. 此时集合 A 含有两个元素 -4,-3, 符合题意 . 综上所述 , 满足题意的实数 a 的值为 0 或 -1. (2) 因为 a∈A, 所以 a-3=a 或 2a-1=a. 当 a-3=a 时 , 有 -3=0, 不成立 . 当 2a-1=a 时 , 有 a=1, 此时 A 中有两个元素 -2,1, 符合题意 . 综上知 a=1. 课堂检测 · 素养达标 1. 下列各组对象不能构成一个集合的是 ( 　　 ) A. 不超过 20 的非负实数 B. 方程 x 2 -9=0 在实数范围内的解 C. 的近似值 D. 某校身高超过 170 厘米的同学 【 解析 】 选 C.A 项 , 不超过 20 的非负实数 , 元素具有确定性、互异性、无序性 , 能 构成一个集合 .B 项 , 方程 x 2 -9=0 在实数范围内的解 , 元素具有确定性、互异性、 无序性 , 能构成一个集合 .C 项 , 的近似值 , 元素不具有确定性 , 不能构成一个 集合 .D 项 , 某校身高超过 170 厘米的同学 , 元素具有确定性、互异性、无序性 , 能 构成一个集合 . 2. 设 M 是所有偶数组成的集合 , 则 ( 　　 ) A.3∈M B.1∈M C.2∈M D.0∉M 【 解析 】 选 C. 因为 2 是偶数 , 所以 2 是集合 M 中的元素 , 即 2∈M. 3. 英文短语“ open the door to...” 中的字母构成一个集合 , 该集合的元素个数是 ( 　　 ) A.7 B.8 C.9 D.10 【 解析 】 选 B. 根据集合中元素的互异性可知 ,“open the door to...” 中的不同字母共有“ o,p,e,n,t,h,d,r”8 个 , 故该集合的元素个数为 8. 4.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 给出以下说法 :(1) 集合 N 中最小的数是 0;(2) 集合 N * 中最小的数是 1;(3) 集合 Z 中最小的数为 0;(4) 在集合 Q 中任取一个元素 a, 则有 a∈R, 其中正确的是 ________ .( 填序号 )  【 解析 】 根据 N,N * ,Z,Q 和 R 的含义可知 (1)(2)(4) 正确 ;(3) 错误 . 答案 : (1)(2)(4) 5. 设集合 A 中含有三个元素 3,x,x 2 -2x. (1) 求实数 x 应满足的条件 . (2) 若 -2∈A, 求实数 x. 【 解析 】 (1) 由集合中元素的互异性可知 ,x≠3, 且 x≠x 2 -2x,x 2 -2x≠3. 解之得 x≠-1 且 x≠0, 且 x≠3. (2) 因为 -2∈A, 所以 x=-2 或 x 2 -2x=-2. 由于 x 2 -2x=(x-1) 2 -1≥-1, 所以 x=-2.