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- 2021-07-01 发布
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备课资料
备用习题
1.已知a、b是正实数,试比较an+bn与a n-1·b+abn-1的大小.
解:an+bn-a n-1b-ab n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).
①当a>b>0时,a-b>0,a n-1-b n-1>0,得(a-b)(an-1-bn-1)>0;
②当b>a>0时,a-b<0,a n-1-bn-1<0,得(a-b)(a n-1-b n-1)>0;
③当b=a>0时,(a-b)(an-1-bn-1)=0;
所以当a≠b时,an+bn>a n-1b+ab n-1;
当a=b时,an+bn=a n-1b+ab n-1.
2.已知△ABC内接于单位圆,且(1+tanA)(1+tanB)=2,
(1)求证:内角C为定值;(2)求△ABC面积的最大值.
(1)证明:由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)(tanA+tanB)=0.∵(tanA+tanB)≠0,
∴,即tan(A+B)=1.∴∠C=135°.
(2)解析:由题意,可得S△ABC= AC×BCsinC= AC×BC≤ ()2.当AC=BC时,S△ABC有最大值,最大值为S△ABC= (AC)2.
再作辅助线如图,连结OC、OA,OC交AB于D得AB⊥OC,所以AD=BD=,CD=1-,
AC 2=AD2+CD2= 2-2,所以S△ABC的最大值= (AC)2=.
3.一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h的速度匀速开往400 km处的灾区,为安全起见,每两辆汽车的前后间距不得小于km,问这批物资全部到达灾区,最少要多少小时?
解析:设全部物资到达灾区所需时间为t小时,由题意可知t相当于:最后一辆车行驶了25个 +400 km所用的时间,因此,. 当且
仅当,即x=80时取“=”.
答:这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间是10小时.
4.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米,问a、b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A、B孔面积忽略不计)
分析:应用题的最值问题,主要是选取适当的变量,再依据题设,建立数学模型(即函数关系式),由变量和常量之间的关系,选取基本不等式求最值.
解法一:设y为流出的水中杂质的质量分数,根据题意可知,其中k>0且k是比例系数.依题意要使y最小,只需求ab的最大值.由题设得4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),即a+2b+ab=30(a>0,b>0),∵a+2b≥2,∴2·+ab≤30.当且仅当a=2b时取“=”,ab有最大值.∴当a=2b时有2·ab+ab=30,即b2+2b-15=0.解之,得b 1=3,b2=-5(舍去).∴a=2b=6.故当a=6米,b=3米时,经沉淀后流出的水中杂质最少.
解法二:设y为流出的水中杂质的质量分数,由题意可知4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),
∴a+2b+ab=30(a>0,b>0).∴(0<a<30).由题设,其中k>0且k是比例系数,依题只需ab取最大值.
∴.当且仅当a+2=时取“=”,即a=6,b=3时ab有最大值18.故当a=6米,b=3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.
点评:均值不等式在实际问题中的应用相当广泛,解题过程为(1)先构造定值;(2)出现关系式;(3)验证“=”成立.
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,一条直线分△ABC的面积为相等的两部分,且夹在AB与BC之间的线段最短,求此线段长.
分析:本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与B
C之间的线段EF,同时考虑到题设中的等量关系,即S△BEF=S△ABC,因此,所选变量还应便于求两个三角形的面积,于是考虑设BE=x,BF=y.
解:设BE=x,BF=y(0<x<4,0<y<5),则S△BEF=BE·BFsinB=xysinB.
又S△ABC=BC·AC=×3×4=6,依题意可知S△BEF=S△ABC.∴xysinB=×6=3.
∵,xy=10,又,∴在△BEF中,由余弦定理得EF2=BE2+BF2-2BE·BF·cosB=x 2+y 2-2xy·=x2+y2-16≥2xy-16=4,当且仅当x=y=时,等号成立.故此时线段EF的长为2.
点评:本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数最值是不等式的重要应用,当解析式比较复杂时,利用三角函数的有关知识,巧妙地寻求等量关系,合理变形,是我们常用的一惯手法.从而使我们注意到:数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法.
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