高考数学专题复习练习第9讲 函数的应用 7页

第 9 讲 函数的应用 一、选择题 1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长 10.4%，专家 预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍，则函数 y＝f(x)的图象大致为 (　　)． 解析　由题意可得 y＝(1＋10.4%)x. 答案　D 2．甲、乙两人沿同一方向去 地，途中都使用两种不同的速度 ．甲 一半路程使用速度 ，另一半路程使用速度 ，乙一半时间使用速度 ，另 一半时间使用速度 ，甲、乙两人从 地到 地的路程与时间的函数图象及 关系，有下面图中 个不同的图示分析（其中横轴 表示时间，纵轴 表示路 程），其中正确的图示分析为（ ）． A．(1) B．(3) C．(1)或(4) D. (1)或(2) （1） （2） （3） （4） 解析　根据题目描述分析图像可知 D 正确 答案　D 3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L1＝5.06x－ B 1 2 1 2, ( )v v v v< 1v 2v 1v 2v A B 4 t S t2t1 C B A t S t2t1 C B A S t A B C t1 t2 S t t2t1 C B A S t 0.15x2 和 L2＝2x，其中 x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得最大利润为 (　　)． A．45.606 万元 B．45.6 万元 C．45.56 万元 D．45.51 万元 解析　依题意可设甲销售 x 辆，则乙销售(15－x)辆，总利润 S＝L1＋L2，则总 利润 S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x 2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2) 2＋ 0.15×10.22＋30(x≥0)，∴当 x＝10 时，Smax＝45.6(万元)． 答案　B 4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据 市场分析每辆客车营运的总利润 y(单位：10 万元)与 营运年数 x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，则每辆 客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 (　　)． A．3 B．4 C．5 D．6 解析　由题图可得营运总利润 y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x －25 x ＋12， ∵x∈N*，∴y x ≤－2 x· 25 x ＋12＝2， 当且仅当 x＝25 x ，即 x＝5 时取“＝”． ∴x＝5 时营运的年平均利润最大． 答案　C 5．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图 案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为 x，y 剪去部分的面积 为 20，若 2≤x≤10，记 y＝f(x)，则 y＝f(x)的图象是 (　　)． 解析　由题意得 2xy＝20，即 y＝10 x ，当 x＝2 时，y＝5，当 x＝10 时，y＝1 时，排除 C，D，又 2≤x≤10，排除 B. 答案　A 6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流， 现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面 积最大时，矩形两边长 x、y 应为(　　)． A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14 解析　由三角形相似得24－y 24－8＝ x 20， 得 x＝5 4(24－y)， ∴S＝xy＝－5 4(y－12)2＋180， ∴当 y＝12 时，S 有最大值，此时 x＝15. 答案　A 二、填空题 7．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理 如下： 明文 ― ― →加密 密文 ― ― →发送 密文 ― ― →解密 明文 已知加密为 y＝ax－2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文 为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则 原发的明文是________． 解析　依题意 y＝ax－2 中，当 x＝3 时，y＝6，故 6＝a3－2，解得 a＝2.所以 加密为 y＝2x－2，因此，当 y＝14 时，由 14＝2x－2，解得 x＝4. 答案　4 8．某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件，根据市场预测，销售价为 每件 100 元时可全部售完，定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件，若要获得 最大利润，销售价应定为每件________元． 解析 设售价提高 x 元，则依题意 y＝(1 000－5x)×(20＋x) ＝－5x2＋900x＋20 000 ＝－5(x－90)2＋60 500. 故当 x＝90 时，ymax＝60 500，此时售价为每件 190 元． 答案 190 元 9．现有含盐 7%的食盐水为 200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐 5 %以上且 在 6%以下(不含 5%和 6%)的食盐水，设需要加入 4%的食盐水 xg，则 x 的取值 范围是__________． 解析　根据已知条件：设 y＝200 × 7%＋x4% 200＋x ，令 5%＜y＜6%，即(200＋x)5% ＜200×7%＋x·4%＜(200＋x)6%，解得 100＜x＜400. 答案　(100,400) 10．某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收 费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附 加费 1 元．现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了 ________km. 解析　由已知条件 y＝Error! 由 y＝22.6 解得 x＝9. 答案　9 三、解答题 11．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其 中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(分) 与通话费 y(元)的关系分别如图①、②所示． (1)分别求出通话费 y1，y2 与通话时间 x 之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？ 解　(1)由图象可设 y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点 B(30,35)，C(30,15)分别代入 y1，y2 得 k1＝1 5 ，k2＝1 2. ∴y1＝1 5x＋29，y2＝1 2x. (2)令 y1＝y2，即 1 5x＋29＝1 2x，则 x＝962 3. 当 x＝96 2 3 时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当 x<962 3 时，y1>y2，即使用“便民卡”便宜； 当 x>96 2 3 时，y10)，剩下的员工平均每人每年 创造的利润可以提高 0.2x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员工创造的年总利 润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造 的年总利润，则 a 的取值范围是多少？ 解　(1)由题意得：10(1 000－x)(1＋0.2x%)≥10×1 000， 即 x2－500x≤0，又 x>0，所以 00，所以 018 时，车费 y＝25＋2(x－18)＝2x－11. (2)付出 22 元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于 3 km，且小于 18 km， 前 3 km 付费 10 元，余下的 12 元乘车行驶了 12 km，故此人乘车行驶了 15 km. 14．某学校要建造一个面积为 10 000 平方米的运 动场．如图，运动场是由一个矩形 ABCD 和分 别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成．跑道是 一条宽 8 米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其 他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元，草皮每平方米造 价为 30 元． (1)设半圆的半径 OA＝r(米)，设建立塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S(r)； (2)由于条件限制 r∈[30,40]，问当 r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为 多少？(精确到元) 解　(1)塑胶跑道面积 S＝π[r2－(r－8)2]＋8×10 000－πr2 2r ×2 ＝80 000 r ＋8πr－64π.∵πr2＜10 000，∴0＜r＜100 π . (2)设运动场的造价为 y 元， y＝150×(80 000 r ＋8πr－64π)＋30×Error! Error!＝300 000＋120×(80 000 r ＋8πr)－7 680π. 令 f(r)＝80 000 r ＋8πr，∵f′(r)＝8π－80 000 r2 ， 当 r∈[30,40]时，f′(r)＜0， ∴函数 y＝300 000＋120×(80 000 r ＋8πr)－7 680π 在[30,40]上为减函数．∴当 r＝40 时，ymin≈636 510， 即运动场的造价最低为 636 510 元.