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- 2021-07-01 发布
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郑州外国语学校2019-2020学年高一上期月考1试卷
数学
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一个是符合题目要求的)
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由已知得,
因为,
所以,故选A.
2.下列对应是集合到集合的映射的是( )
A. , ,
B. {是圆},{三角形},作圆的内接三角形
C. . ,
D. , ,中的数开平方
【答案】C
【解析】
【分析】
根据映射的定义,作出判断即可.
【详解】根据映射的定义,只要把集合A中的每一个元素在集合B中找到一个元素和它对应即可,
对于A:当x=3时,集合B中没有元素和它对应;
对于B:A中每个元素,在B都有无数个元素与之对应,不满足映射的定义,不是映射;
对于C:满足题意;
对于D:A中的元素1,在B有2个元素与之对应,不满足映射的定义,不是映射;
故选:C
【点睛】本题考查映射的概念,属于基础题.
3.已知函数的定义域为[-2,3],则函数的定义域为( )
A. [-1,9] B. [-3,7] C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的定义域为[-2,3],可得,从而有求解x的取值范围得答案.
【详解】由函数y=的定义域为[-2,3],
∴
∴对y=f(2x+1),有,解得,
即y=f(2x+1)的定义域为.
故选D.
【点睛】定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2) 对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3) 若已知函数的定义域为,则函数的定义域由不等式求出.
4.若函数,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将函数式变形,代入求值即可.
【详解】解:
故选:
【点睛】本题考查函数值的计算以及指数幂的运算,属于基础题.
5.若,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件得:,再根据指数函数和幂函数的单调性比较大小关系.
【详解】由得:
则指数函数单调性可知:
由幂函数单调性可知:
综上所述:
本题正确选项:
【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数单调性比较大小问题,解决问题的关键是建立合适的函数模型,通过单调性来比较.
6.函数的图像大致为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析:通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像.
详解:为奇函数,舍去A,
舍去D;
,
所以舍去C;因此选B.
点睛:有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的周期性,判断图象的循环往复.
7.已知函数是R上增函数,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分段函数的单调性特点,两段函数在各自的定义域内均单调递增,同时要考虑端点处的函数值.
【详解】要使函数在R上为增函数,须有在上递增,在上递增,
所以,解得.
故选D.
【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围,考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用,求解时不漏掉端点处函数值的考虑.
8.已知函数的值域为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过讨论m的范围,结合二次函数的性质得到关于m的不等式组,解出即可.
【详解】m=0时,f(x)=1,不合题意;
m≠0时,令g(x)=mx2+mx+1,
只需,
解得:m≥4,
故选D.
【点睛】本题考查了幂函数的性质,考查二次函数的性质,考查了分类整合的思想,是一道中档题.
9.定义在上的函数满足,当时,,则函数在上有( )
A. 最小值 B. 最大值
C. 最大值 D. 最小值
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数增减性的定义证明函数是减函数,即可求解.
【详解】设且,则,
,
因为时,,所以,
所以,
即,
所以函数在上是减函数,
所以在上有最小值.
【点睛】本题主要考查了定义法证明抽象函数的单调性及单调性的应用,属于中档题.
10.已知是定义在上的偶函数,且在上为增函数,则的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数在上的偶函数,可求出的值,然后根据偶函数的性质得到不等式组,解得.
【详解】解:因为是定义在上的偶函数,
所以解得故函数的定义域为且在上为增函数
则在上为减函数,
解得即
故选:
【点睛】本题考查偶函数的性质,利用函数的单调性解不等式,属于基础题.
11.已知,则不等式解集为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设,则不等式等价为,作出的图象,如图,由图象可知时,,即时,,若,由得,解得,若,由,得,解得,综上,即不等式的解集为,故选C.
12.若函数满足对任意,都有成立,则称函数在区间上是“被约束的”.若函数在区间
上是“被2约束的”,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】据题意得:对任意的都成立.由得. 恒成立. 由得.因为,所以.的对称轴为.由得.由于,所以的取值范围为.选B.
二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分.请将答案填写在题中的横线上)
13.已知集合M满足Ü,则集合M的个数是__________个.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意集合必含元素且不能同时含有元素,分类讨论即得.
【详解】解:由题意Ü,故或或
一共个满足条件,
故答案为:
【点睛】本题考查集合的包含关系,属于基础题.
14.计算:=___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据分数指数幂的运算解答.
【详解】解:
故答案为:
【点睛】本题考查分数指数幂的运算,属于基础题.
15.若在区间上,函数的最小值不小于的最大值,则正数m的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出函数的图象,利用函数的图象的交点,判断m的取值范围求解即可.
【详解】解:如图,作出与的图象,可得
由图可知,当时,在上的最小值总是小于的最大值,当时,在上的最小值总是不小于的最大值,
故答案为:
【点睛】本题考查函数与方程的应用,考查数形结合以及函数的最值的求法,属于中档题.
16.已知函数,若存在,,当时, ,则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先作出函数图象,然后根据图象可得要使存在,,当时, ,从而可分析得取值范围,将转化为关于的函数,求其值域即可.
【详解】解:作出函数的图象,
因为存在,,当时,
的最小值为,的最小值为
即
,
令
函数开口向上,对称轴为的抛物线,
函数在区间上单调递减,上单调递增;
当时
当时
所以
故答案为:
【点睛】本题考查函数与方程,数形结合思想,属于难题.
三、解答题(本大题有4小题,共36分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.设全集U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2a<x<a+3}
(Ⅰ)当a=1时,求(CUA)∩B;
(Ⅱ)若(CUA)∩B=B,求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
【详解】试题分析:(1)当时化简集合根据补集的定义求出,再由交集的定义计算可得到;(2),等价于,根据集合的包含关系可得关于的不等式组,解不等式即可得到实数的取值范围.
试题解析:(1)当时, ,
.
(2),, ;时 或 ,解得或.
18.某公司现有A、B两种产品考虑投资,它们的投资金额x与利润y(单位均为百万元)分别满足函数关系式:(其中a、b均为常数).已知当对A、B投资金额均为3百万时,所获得A、B的利润均为6百万元,目前公司计划对A、B产品总共投资8百万元,两种产品都要投资.
(1)若对A产品投资x百万元,试求投资A、B产品获得的总利润f(x)(单位:百万元);
(2)试求当A产品投资多少时,总利润达到最大值,并求出最大值.
【答案】(1)()(2) 当A产品投资2.125百万元时,总利润达到最大值,最大值为16.25百万元
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法求函数解析式,代入已知数据求出参数的值即可.
(2)换元法求函数的最值,令,将函数转化为关于的二次函数,求出函数的最值即可.
【详解】解:由题意, ,6=3b,得a=,b=2.
∴,y2=2x.
(1)对A产品投资x(百万元),则对B产品投资8﹣x(百万元),
∴投资A、B产获得的总利润,()
(2)由,设,则,
∴原函数化为
∴当t,即,(百万元)时,有最大值(百万元).
故当A产品投资(百万元)时,总利润达到最大值,最大值为(百万元).
【点睛】本题考查函数模型的应用,利用给定函数模型解决问题,属于中档题.
19.已知二次函数满足
(1)求的解析式;
(2)求在区间()上的最小值.
【答案】(1) (2) 时, 最小值为;
时, 最小值为;
时,最小值为
【解析】
【分析】
(1)换元法求函数解析式,令,则,代入解析式,求出即得;
(2)对对称轴与所给区间的位置分类讨论,求出函数的最小值.
【详解】解:(1)令 则, ==
(2)=开口向上,对称轴
当时, 在上为增函数所以时有最小值为;
当,即时,在上先减后增,
所以时有最小值为
当,即时, 在上为减函数
所以时有最小值为;
综上所述: 时, 最小值为;
时, 最小值为;
时,最小值为
【点睛】本题考查换元法求函数解析式,以及二次函数中的定轴动区间问题,属于中档题.
20.已知关于的函数 ,定义域为
(1)当时,解不等式;
(2)若函数有零点,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)令,转化为二次不等式解法;
(2)有零点即方程有解,即在上有解,
【详解】令,由可得.
(1)当时,函数可化为,
原不等式可化为或
又故即
可得
所以不等式解集为
(2)有零点即方程有解,
即在上有解,
又在上是减函数,在上是增函数,
故当时,;当时,,
即函数的值域为,则
故的取值范围是
【点睛】本题考查复合型二次不等式的解法,函数零点问题,考查了参变分离的方法,属于中档题.